关于酉矩阵的博士毕业论文

幺正矩阵表示的就是厄米共轭矩阵等于逆矩阵。对于实矩阵，厄米共轭就是转置，所以实正交表示就是转置矩阵等于逆矩阵。实正交表示是幺正表示的特例。

定义

若一n行n列的复数矩阵U满足

其中

为n阶单位矩阵，

为U的共轭转置，则U称为酉矩阵（又译作幺正矩阵、么正矩阵。英文：Unitary Matrix, Unitary是归一或单位的意思）。即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置

为其逆矩阵：

若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，

酉矩阵U不改变两个复向量的内积：

扩展资料：

若U为n阶方阵，则下列条件等价：

（1）U是酉矩阵

（2）

是酉矩阵

（3）U的列向量构成内积空间C上的一组标准正交基

（4）U的行向量构成内积空间C上的一组标准正交基

酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值为±1。

酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，酉矩阵U可被分解为

其中V是酉矩阵，

是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。

酉矩阵的相关性质：设有矩阵 ，则（1）若 是酉矩阵，则 的逆矩阵也是酉矩阵；（2）若 是酉矩阵，则 和也是酉矩阵；（3）若 是酉矩阵，则 ；（4） 是酉矩阵的充分必要条件是，它的 个列向量是两两正交的单位向量。酉方阵在量子力学中有着重要的应用。酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。

如果QQ*=I,其中Q*表示Q的共轭转置，I是单位阵，那么称Q是酉阵。实的酉阵即正交阵。

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域 K，也就是 实数域或复数域。如此则存在一个分解使得M = UΣV*，其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是半正定m×n阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然U和V仍然不能确定。) 奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。