关于凸函数的毕业论文

前言： 当今，在社会环境对从业人员要求具有更高学历的激励下，在各类专业人员不断进行知识更新的进程中，广泛地存在着要求提高自己的数学水平的愿望．特别对于原来只学过普通微积分课程的人来说，他们在补习各自所需要的数学知识时，因缺乏牢固的数学基础，不可避免地会遇到很多困难．本论文就是在为他们讲授数学分析理论基础课的讲义的基础上写成的．考虑到在职人员投入业余学习的时间十分有限，要他们系统地学完一门数学分析这样的大课程几乎是不可能的．一种可行而有效的做法或许是这样的--选择几个起主导作用的专题，讲授其中那些具有原则意义的概念和思想，通过举例讨论一些典型问题的解法. 序言： 自20世纪90年代后期开始，我国的高等教育改革步伐日益加快．实行5天工作制，使教学总时数减少，而新的专业课程却不断出现．在这样的情况下，对传统的专业课程应该如何处置，这样一个不能回避的问题就摆在了我们的面前．而这时，教育部师范司启动了面向21世纪教学改革计划．在我们进行"数学专业培养方案"项目的研究中，这个问题有两种方案可以选择：一是简单化的做法，或者削减必修课的数量，将一些传统的数学课程从必修课的名单中去掉，变为选修课，或者少讲内容减少课时；二是对每门课程的教学内容进行优化、整合，建立一些理论平台，减少一些繁琐的论证和计算，以达到削减课时，同时又能保证基本教学内容. 目录： 第一章 实数理论 建立实数的原则与完备有序域 * 戴德金分划说简介 无限小数与实数 实数完备性的等价命题 * 上极限与下极限 第二章 连续性 n维欧氏空间 函数概念的演进 函数极限和连续的一般定义 连续函数的整体性质 不动点与压缩映射原理简介 第三章 微分学 可微性的统一定义 可微函数的性质 微分中值定理与导函数的性质 凸函数 例题续编 第四章 积分学 定积分概念与牛顿-莱布尼兹公式 可积条件 定积分的性质 变限积分 反常积分 第五章 级数 数项级数综述 一致收敛概念的提出 一致收敛判别 一致收敛函数列(或级数)的性质 1、小学数学论文的组成 小学数学论文具有类型多样、形式活泼等特点，有的侧重于经验的总结，实验结果的阐述，包括实验过程、手段、方法和结果的记录；有的侧重于理论性的研究，包括对研究课题的提出，对研究成果的分析、推导、论证和应用等。但不论哪类论文，主要由标题、摘要、前言、正文、结论、参考文献等部分组成。 标题就是论文的总题目，是文章基本内容的缩影，古人云：“立片言以居要，乃全篇之警策。”所以拟定标题应该力求简短、明确、质朴、醒目，既要防止太冗长，又要避免太概括，使人不明了；既要防止文不对题或过于陈旧，又要避免追求新颖、空泛而没有实际的内容。 摘要一般包括本课题研究的意义，研究的内容与方法，研究的成果或价值等，便于读者迅速了解全文的概貌。所以摘要应简明扼要，引人入胜，内容全面，重点突出，且能独立使用。 前言也称引言或绪言，一般包括本课题研究的背景或起点，需要研究的问题，研究的方法、手段，研究的意义或价值。需要注意的是，对研究的意义或价值应力求实事求是，既不可拔高，也不可贬低或过分谦虚。 正文是论文的主体，作为表达作者个人研究成果的部分，所占篇幅较大，有时还必须辅以必要的小标题，应力求概念清晰，论点明确，论证严密，论据充分，具有科学性、准确性和创新性，同时条理要清楚，文字应通俗简明。 结论是对正文中所分析论证的问题加以综合，概括出基本点，这是课题解决的答案。结论作为理论分析和实验的逻辑发展，是论述的概括集中和升华，由局部到一般，由具体事实、经验，上升到理论概括，是整篇论文的归宿，所以应力求完整、准确、鲜明，还应如实指出本理论的使用范围和成果的意义，以及本文尚未解决的问题和继续研究的方向。 参考文献是反映作者严肃的科学态度和研究工作的依据，其中包括撰写该论文所参考的书籍（作者姓名、书名、版次、页数、出版者、出版年份）或期刊（作者姓名、标题、刊物名称、卷或期、页数、年份）。 2、小学数学论文的撰写过程 第一步，选题、选材。 要想写什么内容的文章，无论是理论探讨方面，还是教材教法方面和解题方法技巧方面，以及教学经验总结方面，对阐述问题的深度、广度等，要心中有数，具有明确的目的性和主题性。 无论选择哪方面的内容与具体题材，都必须力求具有先进性、针对性和实践性，要想做到这一点，首先，根据文献检索方法，尽可能多地查阅资料，掌握国内外最新研究动态。其次，深入钻研这些文献资料，看看能否得到进一步启发，有无新的见解。尽管选题可能重复，类似的题材较多，但也可以从不同侧面结合不同实例，根据不同对象写出一定的新意来，使观点更明确，方法更有效，使其先进性、针对性、实用性更强。第三，选题要从实际出发，题目大小、题材的深度和广度要恰当。 第二步，拟纲、执笔。 论文选题确定后，就要注意写好提纲，这是写好文章的基础。首先，要将内容、结构布局好，要拟定一个写作提纲，准备分几个部分，各个部分集中讲几个问题，这些部分与问题之间的关系如何，都需要进一步精心设计，使其结构严谨、层次分明，具有科学性、逻辑性。其次，要注意各种文章的特点。写理论性的文章，最好能再确定大小标题，叙述上力求论点明确，可信度强，便于别人借鉴；写教材分析方面的文章，应进行比较，提出改进意见或提示值得深入研究的问题等。 第三步，修改、定稿。 修改是文章初稿完成后的一个加工过程，它包括对论文文字的修饰，以及科学性的推敲等。论文初稿形成后，应从头至尾反复地阅读，逐句逐段推敲，审核一下文中的论点是否明确，论据是否充分，论证是否合理，结构是否严谨，计算是否正确等。一篇好的小学数学论文，应该是数文并茂。就是说，既要有好的数学内容，又要有好的文字表达。所以，文字的工夫对数学论文来说很为重要。数学论文，贵在朴实，少用浮词，免得冲淡文章的中心，文字应通俗易懂，简明扼要，用词应准确简炼，表达完整，特别是中心内容一定要阐述透彻清楚。此外，书写要规范，题号、图号、标点也要正确。修改是一项细致的工作，只有对文稿反复推敲、修改，才能消除不应有的错误。只有经过反复修改加工，文章的质量才会不断提高。

论文的研究方法主要有以下几种：

1、调查法

它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。调查方法是科学研究中常用的基本研究方法，它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解。

2、观察法

观察法是指研究者根据一定的研究目的、研究提纲或观察表，用自己的感官和辅助工具去直接观察被研究对象，从而获得资料的一种方法。

3、实验法

实验法是通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果联系的一种科研方法。其主要特点是：第一、主动变革性和控制性。

4、文献研究法

文献研究法是根据一定的研究目的或课题，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究问题的一种方法。

5、实证研究法

在科学研究中，通过定量分析法可以使人们对研究对象的认识进一步精确化，以便更加科学地揭示规律，把握本质，理清关系，预测事物的发展趋势。

毕业论文研究方法怎么写，为什么很难下笔

大学毕业后，张同被分配到中国科学院数学所，研究偏微分方程，研究室主任为吴新谋。偏微分方程是当时国内基础十分薄弱而需重点发展的学科。1年以后，正当苏联专家来华讲学之际，张同奉命响应全国干部下放劳动的号召，于1957年12月下放农村劳动。8个半月后，在大跃进形势下奉调提前回所。1960 年，因两位进修教师期满回校之需，吴新谋组织丁夏畦和张同与他们合作完成了关于常系数方程组椭圆性定义的论文。该文实际上只是玩了一点矩阵论，不料却引出了华罗庚、林伟和吴兹潜之玉石之作。但不无遗憾的是，这却是张同从1956至1962年6年间参加的唯一一项数学研究工作。大跃进之后进入了困难时期，一切政治运动暂停。此前，原子弹及三峡大坝工程的研究部门分别向数学所提出了有关冲击波及涌波的问题。这些问题都可以归结为非线性双曲型守恒律的间断解研究。按照领导的安排，政审不能参加国防任务的张同和郭於法等4人组成一个小组，由张同任组长，自行研读文献，各自选题从事有关基础理论研究。在调研中，张同被.盖尔范德（Gelfand）的文章《拟线性方程理论中的某些问题》中有关黎曼问题的论述所深深打动。描写气体运动的基本方程是欧拉方程，它由质量、动量和能量3个守恒律组成，它的最大特点和困难在于解中会出现间断现象，冲击波就是一种压缩性的间断。1858年，黎曼紧紧抓住了间断现象这一特点，提出并解决了欧拉方程一种最简单的间断初值问题（即初值为含有一个任意间断的阶梯函数），被后人称为黎曼问题。黎曼构造出了它的4类解，它们分别由前、后向疏散波（记为和）和前、后向冲击波（记为和）组装而成，即（或）+（或），并利用相平面分析方法给出了此4类解的判别条件。黎曼的这一工作开创了微分方程“广义解”概念及“相平面分析”方法之先河，具有极大的超前性。黎曼用敏锐的洞察力和巨大的原创力为非线性双曲型守恒律的数学理论奠定了第一块基石。1975年美国出版的《科学传记词典》中的《黎曼传》称，这一工作是“黎曼在数学物理方面最好的工作”。但由于黎曼所研究的是一个简化模型（一维等熵流）而不为力学家们所接受。直到二战期间，在原子弹及超音速飞行研究的推动下，应用数学权威R.柯朗（Courant）和.弗里德里希斯（Friedrichs）才将黎曼的结果推广到一维非等熵流，在前向波及后向波之间添加了一道接触间断（记为J，它是不同密度气体的界面）。黎曼解被推广为（或）+J+（或）。R，S和J统称为欧拉方程的基本波。1962年，张同被这一工作的简洁、优美和深刻所深深打动，毅然将黎曼问题选定为自己的研究方向，希望把黎曼的工作推广到更一般的方程，甚至高维的情形。他在几乎不被周围人们理解和接受的情况下，兴致盎然地走上了一条充满挑战的探索之路。几个月后，张同对盖尔范德文中提出的未解决的问题悟出了一个富有几何直观的想法：用构造凸包的方法将欧拉方程中的凸函数推广至非凸函数，从而巧妙地将黎曼的结果推广至非凸方程的情形，并澄清了有关的熵条件。1963年张同在指导中国科技大学数学系首届毕业论文时，这一想法演化成李才中、肖玲等4人的毕业论文。该工作进一步推广完善后，由张同和肖玲联名于1963年底投稿《数学学报》。遗憾的是该文直到1977年才以3页的摘要在《数学学报》发表，而全文直到1981年才在美国Journal of .发表。当1984年张同首次出访德国的海德堡大学时，听众们对凸包方法仍感到十分新鲜有趣。与此同时，吴新谋指导的毕业论文小组曾试图将黎曼的结果推广至初值含有两个间断的情形，其实质是研究两个黎曼解中所含的四道基本波的相互作用，该情形可划分为16种子情形，其中只有（+）+（+）一种子情形获得解决。在此基础上，张同和郭於法找出了前向疏散、后向压缩的一般初值，并用相平面分析方法，证明了整体解的存在性，以及初值所具有的前向疏散、后向压缩性质对时间的不变性。这是欧拉方程整体间断解存在性证明的第一个结果。1965年在《数学学报》上发表后，1967年至1975年间，后续性研究在美、苏和我国先后出现，其中包括对方程和对初值的推广以及惟一性的证明3个方面。在1985年丁夏畦、陈贵强和罗佩珠的著名工作出现以前，此文被视为我国在间断解研究方面在国际上最有影响的工作，美国国家科学院P.拉克斯（Lax）院士曾称其为“中国初值”。1963年的大好工作形势在1964年再次被政治运动所打断，直至1972年才逐步恢复。1972年至1979年间，张同和肖玲、丁夏畦、王靖华、李才中共合作完成论文6篇，内容涉及凸与非凸的黎曼问题及波的相互作用。在这些工作中，他们以硬分析为工具，在相平面上深入地研究了R线和S线的几何性质，发展了相平面分析方法，形成了自己的风格。1978年终于迎来了改革开放的新时代。中国科学院数学研究所45岁以下的研究人员大批被公派出国进修，而时年46岁的张同在国内继续研究黎曼问题，并致力培养更年轻的一代。他曾去中科院研究生院讲授数理方程，颇受欢迎。为了帮助青年学者尽快走向研究前沿，1983年张同和北大姜礼尚完全自发地在北京香山植物园联合主办了“偏微分方程暑期讲习班”。当时国家基金委尚未成立，经费十分困难，幸好得到数学所微分方程研究室主任王光寅的大力支持，使得当时国内偏、微分方程学科的青年教师和绝大多数研究生得以参加，学员达80人之多。王光寅，姜礼尚和吴兰成，张同和肖玲分别开设了3门课程，传授自己的专长。结业考试后，选出了陈贵强、辛周平、吉敏和胡钡4名优秀学员，分别在数学所和北大免费培训。他们后来大都取得了十分优异的成就，成为国际知名学者。在办班期间，张同既任负责人又授课，由于劳累过度，出现大便潜血，经医院诊断为十二指肠溃疡出血；但他仍坚持工作，直到讲习班圆满结束（此病迁延多年，8次出血，直到老年才痊愈）。由于讲习班成效显著，在许多高校要求下，连续办了五届。从第四届起复旦大学李大潜也参加合办。最后一届在苏州大学（姜礼尚时任苏州大学校长），为期一学期，共开设了8门课。这5届学员中不少人已活跃于国内、外的学术圈中。始料未及的是，学员中有5人先后成了张同的学生，在他的带领下共同开创了对二维黎曼问题的系统研究。在对一维问题进行了深入研究的基础上，1984年张同开始考虑二维问题，和学生陈贵强合作完成了两篇论文，一篇澄清了二维非线性双曲型守恒律的一些基本概念，另一篇给出了二维冲击波反射问题中出现正规反射的充要条件（它是对J.冯·诺伊曼（von Neumann）提出的有关判别法在数学上的精确化，二维冲击波的反射问题可以看成是二维黎曼问题的一个特例）。欧拉方程的二维黎曼问题是一个著名难题，在20世纪80年代甚至它的提法都有待澄清。1985年，张同和学生郑玉玺研究了以下最简二维模型（单个守恒律）的黎曼问题：初值：u（x，y，t）当t=0时在（x，y）平面上的1至4象限分别为任意常数u1，u2，u3，u4。当t>0时，初值在原点发出的4条射线上的间断，将生成四道平面基本波R或S。此问题的实质是研究这四道平面基本波如何相互作用，即要研究初值在原点的奇性当t>0时如何演化。通过深入分析原点所引起的R和S的奇性，构造出了上述问题的5类解。它是二维黎曼问题研究的一个实质性的突破，1989 年发表于《美国数学会会刊》。汇集了张同与其学生和同事们1963至1986年间合作的有关工作，张同和肖玲联名于1989年在英国朗文出版社著名的Pitman丛书中出版了专著《气体动力学中的黎曼问题和波的相互作用》。两年后，美、荷、德的数学家和力学家在《美国数学会公告》等杂志上发表了4篇书评。J.斯莫勒（Smoller）在书评中写道，“乍一看，人们可能会感到惊讶，整本书就贡献给这样一个很特殊的问题（指黎曼问题）？回答是：这个问题是整个非线性双曲型守恒律领域中迄今最重要的问题。”其他书评还称该专著可以认为是柯朗和弗里德里希斯1948年出版的名著《超音速流和冲击波》的“有价值的补充”或“续篇”。国门打开后，国际同行对张同的工作予以高度评价。春天终于来临，1978年丁夏畦与张同等同获《全国科技大会重大成果奖》；1983年张同与肖玲同获《中国科学院二等成果奖》。在1985年对单个守恒律的二维黎曼问题取得突破性的进展后，张同就转向了欧拉方程的二维黎曼问题：初值：（p，U，p）（x，y，t）当t=0时，在（x，y）平面上1至4象限分别为常状态。1986年9月根据中科院与美国国家基金会的有关协定，由美方提名，张同赴马里兰大学访问刘太平教授半年。期间张同访问加州伯克利时，与前学生郑玉玺一起对解决上述问题提出了以下的分析和猜想：（1）初值在原点发出的4条射线上间断，每条初始间断线在t>0时发射出3道平面基本波（或）+J+（或）。这12 道波在（x，y，t）空间中将在一个以原点为顶点的锥体中相互作用。为了使问题简化而又不失实质，他们引进了假设：每条初始间断线在t>0时只发射出一道平面基本波。这样问题就简化成四道基本波的相互作用。（2）根据四道波的不同组合，将问题分成16类。（3）利用他们自创的广义特征分析方法，对每类都找出了相互作用锥的边界，它们由若干固定边界（特征面、音速面）和/或自由边界（冲击波面）组装而成。锥外的解为超音流动，由初值的4个常状态和四道平面基本波构成；锥内为待求的跨音流动。（4）对锥内的解的结构（冲击波、滑移面、音速面和漩涡如何分布与组装）提出了一套猜想，它包括了气体的膨胀、冲击波的反射及漩涡的形成等结构。猜想中提出了跨音流动中若干新的定解问题。总而言之，一维黎曼问题澄清了守恒律的基本波，而二维黎曼问题则揭示出这些基本波在跨音流动中相互作用所形成的各种基本流场结构。此套猜想于1987年5月在伯克利举行的有关会议上宣布后引起强烈反响。会议主持人美国国家科学院J.格利姆（Glimm）院士在次年发表的综述性文章中称：“一套完整的猜想已经形成”。1990年“猜想”以38页的篇幅在美国发表。后续性的工作有以下三方面：A.完善分类：根据漩度的符号将滑移面分为两类（J+，J-）舒尔茨—里恩（Schulz-Rinne），拉克斯和刘旭东，张同、陈贵强和杨树礼将分类最终完善为19类。其中主要的6类（四道R，四道S和四道J各两类）都包含在原来的分类中。B.数值实验：从1993到2002年舒尔茨—里恩，科林斯（Collins）和格莱兹（Glaz），拉克斯和刘旭东，张同，陈贵强和杨树礼，库尔干诺夫（Kurganov）和塔德莫（Tadmor）分别用4种完全不同的计算格式对猜想做数值实验，计算结果完全相同，与猜想基本相符。C.严格证明：严格证明极其困难。从1986年起，张同先后带领他的9位学生从简化模型入手，逐步向欧拉（Euler）方程逼近，主要进展如下：C1.最简模型（单个守恒律）已完全解决。除前述与郑玉玺合作的工作外，张同与张朋在进一步考查初值为3片常数的情形时，发展了广义特征方法，得到了冲击波相互作用时出现类马赫反射的充分必要条件。19世纪马赫在实验室中发现了马赫反射，冯·诺伊曼（von Neumann）曾给出过一个出现马赫反射的判别条件，至今有关的实验及数值模拟研究结果无数，但数学上严格的证明尚无。此结果可以认为是向这一难题迈出的第一小步。C2.根据力学的启示，李荫藩和曾亦明于1985年在进行计算方法研究时曾将欧拉方程可拆分为零压流方程（反映惯性效应）和压差流方程（反映压差效应）：张同等进一步澄清了前者的基本波为J±，后者的基本波为R±和S±。前者的黎曼问题已由张同、盛万成、李杰权和陈绍仲完全解决。其中主要结果于1999年被收入《美国数学会专题报告》系列中。有意义的是一类新的非线性波一Dirac-Delta冲击波出现在J+和J-的相互作用中，它由密度的Delta函数支撑在冲击波面上而构成，描述了质量在低维流形上的集中现象。（最有趣的是此一新现象在欧拉方程的数值实验中也有所反映，Delta冲击波在亚音流中被磨光成smoothed delta波。）此前，这类新的非线性波由张同、谭得春和杨树礼在研究一个非物理的守恒律组时发现，除澄清了它出现的数学机制及传播规律外，还证明了它对粘性扰动的稳定性。关于Dirac-Delta冲击波的研究至今不断。压差流为跨音流，共分12类。在超音光滑解的范围内，张同和戴自换发现了方程的一种“特征分解”，进而证明了静止气体向真空的膨胀（第一类情形的极端情况）存在超音解，它不含间断，波的相互作用锥的边界由特征和真空构成。C3.欧拉方程：20世纪五六十年代苏美学者曾考虑过静止气体向真空的膨胀，但问题远未解决。1999年张同的前学生李杰权，经过数年的探索，十分巧妙地找到了一组黎曼不变量，将非性双曲型方程组变换成线性退化双曲型方程组，从而圆满解决了该问题，终于跨出了严格证明“猜想”的第一步，这是高维欧拉方程非轴对称解大范围存在性的第一个证明。还应该提及的是，张同和郑玉玺曾将4片常状态的初值推广为无穷多片常状态，而考虑欧拉方程的轴对称解，将问题归结为一个三维动力体系的奇点连接问题。不同于有关经典理论，此时轨道可通过间断（冲击波）来过渡。他们经过精细分析将问题完全解决，共构造出5类解，其中包含了漩涡、真空、冲击波、疏散波及常状态的不同组合，并找到了一个漩涡的精确解。1996年，张同与杨树礼联名申报中国科学院自然科学奖时，所长龙瑞麟写信征集美国国家科学院J.格利姆（Glimm）院士（2004年获美国国家科学奖章）的评议意见。格利姆在回信中写道：“张教授关于气体动力学中二维黎曼问题的工作，在国际学术圈中定义和领导了一个极其重要的研究方向。我认为二维黎曼问题是非线性守恒律研究中最重要的理论问题。张教授对此问题已经做出了权威性的（definitive）贡献。他的工作是原创性的纯理论的，之后被补充以数值计算的研究。”“张同教授的主要成就是对全部二维黎曼解给出了一套内容丰富的图像，这些图像远远超过了人们过去的认识，并引发出广为传播的兴趣。”是年，张同和杨树礼同获中国科学院自然科学奖二等奖。1984年以来张同曾多次应邀赴美、德、法、日、台、港、澳开展合作研究、进行学术访问、参加国际会议。1989年8月在日本召开的“非线性偏微分方程及其应用研讨会”上做90分钟邀请报告。1998年12月在北京召开的“第一届世界华人数学家大会”上做45分钟邀请报告。张同和他的9位学生在1986至1998年间的有关工作汇集成一本专著《气体动力学中的二维黎曼问题》，它也被收入了英国朗文出版社著名的Pitman丛书中，于1998年出版。2000年，美国数学会的《数学评论》杂志上发表的书评中称这一研究群体为“中国学派”。2004年张同和李杰权、张朋同获北京市科学技术奖一等奖。1986年，张同和郑玉玺完成了论文《气体燃烧理论的黎曼问题》，美国《微分方程杂志》的审稿意见称：“此文给出了具反应项的一维气体动力学方程黎曼问题第一套完整的解。此问题于1945年由柯朗和弗里德里希斯基本上按同样的形式提出，并给出了一个特解。直到此文出现之前，人们关于这个问题的认识差不多一直停留在那个状态。……它是一个巨大进展，且肯定会给此题目的研究带来崭新的面貌。……一个重要的问题……确实是一次有价值的努力。”此后，张同在1988年美国数学会和美国工业及应用数学会联合主办的《夏季讨论会》上对此问题提出了一套全面的构想：考虑了反应速度从有限（ZND）到无限（CJ）；粘性从有到无，方程从最简模型到气体动力学。经过他与合作者的不断努力，已完成论文6篇。对最简模型这套构想已基本得到证明，对气体动力学方程也取得了一些实质性进展。张同性格开朗，待人真诚；淡泊名利，甘于寂寞；坚持探索，独创一派。他带领学生们经过40年的不懈努力，终于在一个重要的难题上开创出一条新路。他曾说：“我喜欢数学就像我喜欢音乐一样，都是为了追求世上的美”。他总是陶醉于数学和音乐的美好境界之中，快乐地与学生们一起做着他们自己的数学，也品味着人生。他还说：“中国数学界有许多人比我聪明，比我用功，我非常佩服他们。就我个人而言，只是很幸运地来到了数学所这块宝地，很幸运地选了一个好题目，把精力都集中到了这个小小的领域中，形成了一点特色而已，它的真正的价值还有待时间的考验。”“这个题目的攻坚战才刚开始，我最大的愿望是能有青年人把我们找到的这条路坚持走下去，胜利正在向他们招手”。