波利亚解题思路论文模板

数学归纳思想在各学段之特点和教学启示

第一章 导论

波利亚的解题方法

“怎样解题”表主要由四部分构成：了解问题，拟定计划，实现计划，回顾。 了解问题包括

①未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？ ②可能满足什么条件？

③画一个图，引入适当的符号 拟定计划包括：

你以前见过它吗？

你知道什么有关的问题吗？

注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题。 ? 这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？ ? 你可以改述这个问题吗？回到定义！ ? 你若不能解决这问题，试先解一个有关的问题。你能想出一个更容易着手的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更特殊的问题？一个类似的问题？你能解决问题的一部分吗？

你用了全部条件吗？

实现计划包括：

实行你的解决计划，校核每一步骤。

回顾包括：

你能校核结果吗？你能校核结果吗？ ? 你能用不同的方法得出结果吗？

你能应用这个结果或方法到别的问题上吗？

在对“怎样解题”表进行分析的基础上，我们按照“怎样解题”表中的解题程序来解决一个生活中的实际问题，以此更好地体会和运用“怎样解题”进行解题。

例如：

有两个容积分别是4升和9升的容器，怎样从一条河中恰好取出6升水？

首先我们需要弄清问题。 通读这个问题，可以得到： 已知数：一个4升的容器

一个9升的容器 需满足条件：恰好取出6升水

假设：有两个具有相同底面的的圆柱形容器，其高之比为9︰4（如下图所示）

再次，我问需要分析思考这个问题，拟定计划。

联系我们所学知识，进行回顾联想：我们可以将大桶装满，再将大桶的水尽可能多的倒入小桶中，这样我们可以得到5升水。我们能不能得到6升？

通过上面的思考，可寻找思路：设想我们面前大桶里有6升水，而小桶是空的。从前面的从前面的什么情况我们可以得到6升水？我们可以将大桶装满9升水，但必须再倒出3升水。为了做到这一点，我们的小桶中必须是1升水！

因此我们想到，将水在两个桶之间倒来倒去时，我们也许已经做了类似的事情，而正是在现在这一时刻，我们想起图（2）的这种情况可由图（1）中所示的方法产生：将大桶装满，然后倒出4升水到小桶中，再将小桶中的水倒入河中。这样连续两次，我们最终遇到了某些已知的东西，并且遵循倒着干的分析方法，找到了适当的操作顺序。

确实，我们已经以倒过来的次序找到了合适的顺序，剩下来要做的只是把这一过程反过来，从我们在分析中最后到达的点开始。首先，我们施行图A所示的操作，就得到了图B，然后我们过渡到图C，再过渡到图D，最后过渡到图E，沿着我们的步骤回溯上去，我们最终成功地得到了要求的东西，成功实现了计划。

在上述过程中无一有些值得深思的地方。迂回前进、脱离目标、倒着干、不遵循通往目标的直接道路走，会造成某种心理上的障碍。在我们发现了适当的操作顺序后，思维必须遵循与实际操作恰好相反的次序进行。由于学生对这种逆向的顺序有一种心里上的反感，所以如果不小心地提出的话，可能会使一个相当有能力的学生都难以理解这个方法

然而通过倒着干来解决一道具体题目并不需要天才，而是一种在每个人能力所及限度内的常识性程序，任何有一点常识的人都能做到。我们专注于所要求的目标，我们想象我们想要的最后位置，我们从前面哪个位置可以到达这里？提出这个问题是很自然的，而提出这个问题时我们就在倒着干了。十分初级的题目可以很自然地引导我们倒着干。

第一步，彻底理解问题问题既不能太难也不能太简单。你不要迎难而上，主动去找太难的问题，也不要随遇而安，专找自己会做的问题。为了确保真正理解问题，你最好把问题用自己的话换成各种形式反复重新表达。 无论怎么重新表达，别忘了要指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？ 第二步，形成解决思路 这一步的关键是获得好思路。你过往解决问题的经验、已经掌握的知识，这些是思路的来源。你要问自己：有没有解决过与当前相关的问题？当时用的办法现在还能否适用？要不要做以及做哪些调整？ 如果思路始终不肯降临，你就试试改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，逐一替换，直到找到与之相似而你又解决过的问题。 第三步，执行 获得思路需要掌握知识、良好习惯、专注、还有运气，执行它就相对简单，主要是耐心。要反复提醒自己：每一步都要检查。 检查有两种，一种是直觉，直觉是问你自己，这一步是不是一眼看去就是对的？一种是证明，证明是问你自己，能不能严格证明这步是对的？两个都有用，但是两回事。 第四步，总结 绝不能解决完问题就了事，那就浪费了巩固知识和提升技巧的机会。你再检查一遍论证过程，尝试用另外的方法解题，寻找更明快简捷的方法，还要问，这次的解法能否用来解决其他问题？ 总结是最好的启发时刻。来源《怎样解题：数学思维的新方法》（ How to Solve It： A New Aspect of Mathematical Method ）。它出自大数学家波利亚（G. Polya）之手。在成名之前，波利亚曾经是中学数学老师，学生当中有冯·诺伊曼。解决问题的问题清单 与四步解题法相对应的，有个完整的提问清单。即使你面对的不是数学题而是人生种种难题，四步解题法及问题清单也极有价值。 它适用于无数其他情境，帮助每个人寻找各自问题的解决之道，不论它是什么问题。 1. 在理解问题阶段的问题清单是： 求解什么未知数？已知什么？条件是什么？条件充不充分？但凡能画图，一定要画，把条件分解成各个部分，把问题用自己的话重新讲，反复讲。 2. 在构思解题思路阶段的问题清单是： 以前有没有见过相似或相关问题？以前用过的方法这次能否适用？不相似的地方是否需要引入辅助假设？条件有没有用足？能不能构造比现在更简单一点点的问题，先解决简单的？如果微调已知数、条件，甚至改变求解的未知数，能否找到解题线索？ 3. 在执行解题思路阶段的问题清单是： 每一步都检查过了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？ 波利亚认为，这些问题清单： 必须要系统、自然、明显、符合常识，防止打断形成思路的进程； 必须要反复问，把它内化成肌肉反应； 必须要有一般性，不仅适用于眼下的问题，还能适用于所有情境； 必须要从一般性问题逐渐引到具体问题，激活思路，再回到一般性问题上来，如此反复迭代。