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初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。 后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。 伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。” 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。 高等代数的基本内容 代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等代数与其他学科的关系 代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？ 首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。 其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。
行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
数学定义
n阶行列式
设
是由排成n阶方阵形式的n²个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数，其值为n！项之和
式中k1,k2,...,kn是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和，那末数D称为n阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4！个形为
的项的和，而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为
(－1)3.
若n阶方阵A=（aij）,则A相应的行列式D记作
D=|A|=detA=det(aij)
若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.
标号集：序列1,2,...,n中任取k个元素i1,i2,...,ik满足
1≤i1 i1,i2,...,ik构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有 个子列.因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集，C(n,k)的元素记作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示 σ={i1,i2,...,ik} 是{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk。 性质 ①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。 ②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。 ③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。 ④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。 什么是行列式 行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵A映射到一个纯量，记作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维度空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数 行列式的竖直线记法 矩阵A的行列式有时也记作|A|。绝对值和范数|矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： ， 行列式det(A)也写作 | A | ，或明确的写作： ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的历史 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。 行列式的早期研究 关孝和在《解伏题之法》中首次运用行列式的概念。1545年，卡当在著作《大术》中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”。这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。 1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了、乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。 1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。[5]由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：代表第i行第j列。莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知。 任意阶数的行列式 1730年，苏格兰数学家科林•麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版。 1750年，瑞士的加布里尔•克拉默首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。[8]其中行列式的计算十分复杂，因为是定义在置换的奇偶性上的。 此后，关于行列式的研究逐渐增多。1764年，法国的艾蒂安•贝祖的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法[10]同是法国人的亚历山德•西奥菲勒•范德蒙德则在1771年的论着中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端。 1772年，皮埃尔-西蒙•拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式的概念。一年后，约瑟夫•拉格朗日发现了的行列式与空间中体积的联系。他发现：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。 行列式在大部分欧洲语言中被称为“determinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡尔•弗里德里希•高斯在他的《算术研究》中引入的。这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线的性质。在同一本着作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法。 行列式的现代概念 进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。奥古斯丁•路易•柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是阿瑟•凯莱在1841年率先使用的）柯西还证明了行列式行列式的性质（实际上是矩阵乘法），这个定理曾经在雅克•菲利普•玛利•比内的书中出现过，但没有证明。 十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中[12]。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。 与此同时，行列式也被应用于各种领域中。高斯在二次曲线和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划归为标准型时的判别依据。之后，卡尔•魏尔斯特拉斯和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了解析失败 (PNG 转换失败; 请检查是否正确安装了 latex, dvips, gs 和 convert): \lambda 矩阵的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代。1832年至1833年间卡尔•雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁•查尔•卡塔兰发现了所谓的雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系 现代的行列式概念最早在19世纪末传入中国。1899年，华蘅芳和英国传教士傅兰雅合译了《算式解法》十四卷，其中首次将行列式翻译成“定准数”。1909年顾澄在著作中称之为“定列式”。1935年8月，中国数学会审查各种术语译名，9月教育部公布的《数学名词》中正式将译名定为“行列式”。其后“行列式”作为译名沿用至今。 行列式的直观定义 一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下： 其中，Sn是集合{1,2,...,n}上置换的全体，即集合{1,2,...,n}到自身上的一一映射（双射）的全体； 表示对S全部元素的求和，即对于每个σ∈S，在加法算式中出现一次；对每一个满足1≤i,j≤n的数对(i,j)，ai,j是矩阵A的第i行第j列的元素。 σ表示置换σ∈Sn的置换的奇偶性，具体地说，满足1≤i 如果σ的逆序共有偶数个，则sgn(σ) = 1，如果共有奇数个，则sgn(σ) = − 1。 举例来说，对于3元置换σ=(2,3,1)（即是说σ(1)=2，σ(2)=3，σ(3)=1而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此sgn(σ) = 1，从而3阶行列式中项a1,2a2,3a3,1的符号是正的。但对于三元置换σ=(3,2,1)（即是说σ=3，σ=2，σ=1）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此sgn(σ) = − 1，从而3阶行列式中项a1,3a2,2a3,1的符号是负号。 注意到对于任意正整数n，S_n共拥有n个元素，因此上式中共有n个求和项，即这是一个有限多次的求和。 对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图1中红线和蓝线）。 σ表示置换σ∈Sn的置换的奇偶性，具体地说，满足1≤i 如果σ的逆序共有偶数个，则sgn(σ) = 1，如果共有奇数个，则sgn(σ) = − 1。 举例来说，对于3元置换σ=(2,3,1)（即是说σ(1)=2，σ(2)=3，σ(3)=1而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此sgn(σ) = 1，从而3阶行列式中项a1,2a2,3a3,1的符号是正的。但对于三元置换σ=(3,2,1)（即是说σ=3，σ=2，σ=1）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此sgn(σ) = − 1，从而3阶行列式中项a1,3a2,2a3,1的符号是负号。 注意到对于任意正整数n，S_n共拥有n个元素，因此上式中共有n个求和项，即这是一个有限多次的求和。 对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图1中红线和蓝线）。 2阶矩阵的行列式： 3阶矩阵的行列式： 但对于阶数n≥4的方阵A，这样的主对角线和副对角线分别只有n条，由于A的主、副对角线总条数 = 2n < (n − 1)n < n! = Sn的元素个数 因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如4阶行列式中，项a1,2a2,3a3,1a4,4就不是任何对角线的元素乘积。不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。 另外，n×n矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个n元向量，这时矩阵的行列式也被称为这n个n元向量组成的向量组的行列式 一个n维行向量乘以一个n维列向量是一个数，或者可以看成一个1*1的矩阵。一个n维列向量乘以一个n维行向量得到一个n*n的矩阵，这个矩阵的秩是1（若行向量和列向量都不为零向量）。因为假设a为一个n维列向量，b=[b1,b2,...,bn] 为一个n维行向量，则a*b=a*[b1,b2,...,bn]=[a*b1,a*b2,...,a*bn]，可以看出各列之间是线性相关的（都是a乘以一个数），所以若a和b都不为0向量时，a*b是一个秩为1的n*n的矩阵。所以当然不是所有的行列式都可以表示成一个行向量和一个列向量的乘积的形式。但是，任意非零矩阵都可以表示成若干个秩1矩阵的和，而秩1矩阵都可以表示为一个列向量乘以一个行向量，所以可以表示为sum_{i=0}^m a_i*b_i 的形式，其中a_i为列向量，b_i为行向量。 范德蒙行列式的国内外正处于研究中。行列式是一个重要的数学工具，它不仅有着悠久的历史，更具有广泛的应用.范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的，作为一种特殊的行列式--范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美，而且具有十分广泛的应用.正确的掌握使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果，利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单，化繁琐为简便然而要正确、适当的构造和应用范德蒙行列式去有效解决问题绝非易事.因此，本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面较为系统的探讨了范德蒙行列式的应用，并对方法和技巧作了一点总结，希望帮助初学者更好的理解和掌握范德蒙行列式及其广泛的应用。 引言: 问题的提出在实践中存在许多解n元一次方程组的问题，如① ② 运用行列式可以解决如②的n元一次方程组的问题。2 排列定义1 由……n组成的一个有序数组称为一个 级排列。n级排列的总数为（n的阶乘个）。定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 行列式定义（设为n阶）：n阶行列式是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由 项组成，其中带正号与带负号的项各占一半， 表示排列 的逆序数。 阶行列式具有的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等.（ ） 事实上，若记 则 说明：行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行( )或两列( )，行列式变号. 例如 推论 若行列式 有两行（列）完全相同，则 . 证明: 互换相同的两行, 则有 , 所以 . 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 ，等于数 乘以此行列式，即推论：(1) 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) 中某一行(列)所有元素为零，则 ；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即.证: 由行列式定义性质6 行列式 的某一行（列）的各元素都乘以同一数 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变 ，即计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 行列式的计算数字型行列式的计算 1. 三角化法例1 .解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…， 列都加到第1列上，行列式不变，得. 例2 .解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．2. 2．递推法 例3 计算行列式 之值。解 把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式继续使用这个递推公式，有 而初始值 ，所以 例4 计算 .解：., ,,3．数学归纳法当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。 例5 计算行列式 .解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解当 时， 假设 时，有 则当 时，把 按第一列展开，得由此，对任意的正整数 ，有4．公式法例6 计算行列式 之值。解 由于 ,故用行列式乘法公式，得因 中， 系数是+1，所以 。行列式的概念与性质的例题 例7 已知 是6阶行列式中的一项，试确定 的值及此项所带的符号。解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标 应取自1至6的排列，故 ，同理可知 。直接计算行的逆序数与列的逆序数，有 。亦知此项应带负号。抽象行列式的计算 例8 若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为 则行列式 （ ）。解 由A～B，知B的特征值是 。那么 的特征值是2，3，4，5.于是 的特征值是1，2，3，4。有公式得， 。含参数行列式的计算 例9 已知 ，求 。解 将第3行的-1倍加至第1行，有所以 。关于 的证明 解题思路：①设证法 ；②反证法：如 从A可逆找矛盾；③构造齐次方程组 ，设法证明它有非零解；④设法证矩阵的秩 ；⑤证明0是矩阵A的一个特征值。特殊行列式的解法 1 范德蒙行列式定义：行列式 称为n级的范德蒙行列式。例10 计算行列式 之值。解 把1改写成 ，第一行成为两数之和， 可拆成两个行列式之和，即分别记这两个行列式为 和 ，则由范德蒙行列式得，故 拉普拉斯定理设在行列式D中任意取定了 个行，由这 行元素所组成的一切 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 。(其中：① 级子式：在一个 级行列式 中任意选定 行 列 。位于这些行和列的交点上的 个元素按照原来的次序组成一个 级行列式 ，称为行列式 的一个 级子式。②余子式：在 中划去这 行 列后余下的元素按照原来的次序组成的 级行列式 称为 级子式 的余子式。③代数余子式：设 的 级子式 在 中所在的行、列指标分别是 则 的余子式 前面加上符号 后称为 的代数余子式)。例11 求行列式 。解：在行列式 中取定第一、二行，得到六个子式：它们对应的代数余子式为根据拉普拉斯定理3 结束语老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘，严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。感谢我的老师对我的关心、指导和教诲！ 感谢我的学友和朋友对我的关心和帮助 解: c1+c2+...+cn [所有列加到第1列]n(n+1)/2 2 3 ... n-1 nn(n+1)/2 3 4 ... n 1n(n+1)/2 4 5 ... 1 2 ... ...n(n+1)/2 n 1 ... n-3 n-2n(n+1)/2 1 2 ... n-2 n-1第1列提出公因子 n(n+1)/2, 然后ri-r(i-1), i=n,n-1,...,2 [从最后一行开始,每一行减上一行]1 2 3 ... n-1 n0 1 1 ... 1 1-n0 1 1 ... 1-n 1 ... ...0 1 1-n ... 1 10 1-n 1 ... 1 1按第1列展开1 1 ... 1 1-n1 1 ... 1-n 1 ... ...1 1-n ... 1 11-n 1 ... 1 1c1+c2+...+cn-1 [所有列加到第1列]-1 1 ... 1 1-n-1 1 ... 1-n 1 ... ...-1 1-n ... 1 1-1 1 ... 1 1ci+c1, i=2,3,...,n-1-1 0 ... 0 -n-1 0 ...-n 0 ... ...-1 -n ... 0 0-1 0 ... 0 0行列式 = n(n+1)/2 * (-1)^[(n-2)(n-1)/2]*(-1)^(n-1)*n^(n-2)= (-1)^[n(n-1)/2]*[n^n+n^(n-1)]/2. 最后一个行列式按第一列展开，不就是 |x xy 0 ... 0| 0 1 x+y ... 0 0 0 1 ... 0 ........ 0 0 0 ... x+y 么？如果不说它是几阶的，你能说它和【原行列式】有什么区别么？实际上，对原行列式进行处理时，r3以后和c3以后的元素都没有动，当然就是这样的个样子！而它比原行列式【低一阶】，这是由《展开》过程注定了的！ 使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果，最后用数学归纳法证明结果正确。 除了分解因式，还是分解因式。 范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列式.若递归方程的n个解为a1,a2,a3,...,an则范德蒙行列式为： | 1 1 1 1 ... 1 | | a1 a2 a3 ... an | | a1^2 a2^2 ....an^2 . | | ... .... | | a1^(n-1) a2^(n-1) ...an^(n-1) | 共n行n列用数学归纳法. 当n=2时 范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立 现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有: 首先要把Dn降阶,从第n行起用后一行减去前一行的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1于是就有Dn=∏ (xi-xj)(其中∏ 表示连乘符号,其下标i,j的取值为m>=i>j>=2),原命题得证. 从最后一行起到第2行，每一行都减去上面一行的 x 倍，去掉第1行第1列，提取 (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)，剩下一个4阶范德蒙行列式，如此循环下去可得最后结果。 (1)+(3) x 7/3，应该是 | 0 4 -10/3 | |0 -5 5 | |3 9 2 | 第一行第二列的10，算错了，应该是4= -17-(-7/3)*9。 用4代入，最后算出的结果会是10，而不是100。 行列式在数学中 是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。 关于范得蒙(vandermonde)行列式|111...........1||a1a2a3............an||a1^2a2^2a3^a..........an^2||....|=d|....||....||a1^(n-1)a2^(n-1)a3^(n-1)...an^(n-1)|行列式形式也可写成（更美观）|1a1a1^2...a1^(n-1)||1a2a2^2...a2^(n-1)||....||....||....||1anan^2...an^(n-1)|按第二方式写出的行列式第i行第j列元素可表示为a（ij)=ai^(j-1)这样的行列式就是范德蒙德行列式，其结果为:ii(ai-aj)1<=j应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，是行列式的奠基者。他给出了用二阶子式和它的余子式来展开行列式的法则，还提出了专门的行列式符号。他具有拉格朗日的预解式、置换理论等思想，为群的观念的产生做了一些准备工作。一种特殊的行列式以他的名字命名，但数学界有不同的看法，因为这一行列式并未出现在他的论文中。 线性代数行列式的计算技巧： 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2„1n）等于，故 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n阶行列式的元素满足 则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由 知，即 故行列式Dn可表示为 由行列式的性质 当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.。 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 4．降阶法 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 5．递推公式法 递推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为递推公式（其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。 6．利用范德蒙行列式 7．加边法（升阶法） 加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 8．数学归纳法 9．拆开法 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。 线性代数行列式有如下计算技巧： 1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘，其结果等于kA。 2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。 3、若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。 4、行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。 线性代数行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 扩展资料： 线性代数重要定理： 1、每一个线性空间都有一个基。 2、对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E，则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。 3、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。 4、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。 5、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。 6、矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。 7、解线性方程组的克拉默法则。 8、判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。 注：线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 参考资料来源：百度百科-行列式 参考资料来源：百度百科-线性代数 第一、行列式的计算利用的是行列式的性质，而行列式的本质是一个数字，所以行列式的变化都是建立在已有性质的基础上的等量变化，改变的是行列式的“外观”。 第二、行列式的计算的一个基本思路就是通过行列式的性质把一个普通的行列式变化成为一个我们可以口算的行列式（比如，上三角，下三角，对角型，反对角，两行成比例等） 第三、行列式的计算最重要的两个性质： （1）对换行列式中两行（列）位置，行列式反号 （2）把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变 对于（1）主要注意：每一次交换都会出一个负号；换行（列）的主要目的就是调整0的位置，例如下题，只要调整一下第一行的位置，就能变成下三角。 矩阵的加法与减法运算将接收两个矩阵作为输入，并输出一个新的矩阵。矩阵的加法和减法都是在分量级别上进行的，因此要进行加减的矩阵必须有着相同的维数。 为了避免重复编写加减法的代码，先创建一个可以接收运算函数的方法，这个方法将对两个矩阵的分量分别执行传入的某种运算。 首先以第一行第一列的数据为基础，通过初等行变换将第一列中a11下面的数据变为0；再以第二行第二列的数据为基础，通过初等行变换将第二列中a22下面的数据变为0；以此类推，直至将行列式变为正三角行列式的形式，将对角线上的数据相乘计算即可。(可根据自己的计算习惯进行改进) 一般思路就是将行列式转化为三角行列式的形式进行计算。 我会帮忙看着. 统计学研究对象和研究方法 一、统计学的研究对象 一般来说，统计学的研究对象是自然、社会客观现象总体的数量关系。正是因为统计学的 这一研究的特殊矛盾，使它成为了一门万能的科学。不论是自然领域，还是社会经济领域，客观 现象总体的数量方面，都是统计学所要分析和研究的。 二、统计研究的特点 统计学研究对象的特点有如下几点： 1、数量性。统计学的研究对象是自然、社会经济领域中现象的数量方面，这一特点是统计学（定 量分析学科）与其他定性分析学科的分界线。数量性是统计学研究对象的基本特点，因为，数字 是统计的语言，数据资料是统计的原料。一切客观事物都有质和量两个方面，事物的质与量总是 密切联系、 共同规定着事物的性质。 没有无量的质， 也没有无质的量。 一定的质规定着一定的量， 一定的量也表现为一定的质。但在认识的角度上，质和量是可以区分的，可以在一定的质的情况 下，单独地研究数量方面，通过认识事物的量进而认识事物的质。因此，事物的数量是我们认识 客观现实的重要方面，通过分析研究统计数据资料，研究和掌握统计规律性，就可以达到我们统 计分析研究的目的。 2、总体性。统计学的研究对象是自然、社会经济领域中现象总体的数量方面，即统计的数量研 究是对总体普遍存在着的事实进行大量观察和综合分析， 得出反映现象总体的数量特征和资料规 律性。 自然、 社会经济现象的数据资料和数量对比关系等一般是在一系列复杂因素的影响下形成 的。 在这些因素当中， 有起着决定和普遍作用的主要因素， 也有起着偶然和局部作用的次要因素。 由于种种原因，在不同的个体中，它们相互结合的方式和实际发生的作用都不可能完全相同。所 以，对于每个个体来说，就具有一定的随机性质，而对于有足够多数个体的总体来说又具有相对 稳定的共同趋势，显示出一定的规律性。例如，对工资的统计分析，我们并不是要分析和研究个 别人的工资，而是要反映、分析和研究一个地区、一个部门、一个企业事业单位的总体的工资情 况和显示出来的规律性。 统计研究对象的总体性， 是从个体的实际表现的研究过渡到对总体的数 量表现的研究的。 3、具体性。统计研究对象是自然、社会经济领域中具体现象的数量方面。即它不是纯数量的研 究，是具有明确的现实涵义的，这一特点是统计学与数学的分水岭。数学是研究事物的抽象空间 和抽象数量的科学，而统计学研究的数量是客观存在的、具体实在的数量表现。统计研究对象的 这一特点，也正是统计工作必须遵循的基本原则。正因为统计的数量是客观存在的、具体实在的 数量表现，它才能独立于客观世界，不以人们的主观意志为转移。统计资料作为主观对客观的反 映， 只有如实地反映具体的已经发生的客观事实， 才能为我们进行统计分析研究提供可靠的基础， 才能分析、探索和掌握事物的统计规律性。否则，虚假的统计数据资料是不能成为统计数据资料 的，因为它违背了统计研究对象的这一特点。 4、变异性。统计研究对象的变异性是指构成统计研究对象的总体各单位，除了在某一方面 必须是同质的以外， 在其他方面又要有差异， 而且这些差异并不是由某种特定的原因事先给定的。 就是说， 总体各单位除了必须有某一共同标志表现作为它们形成统计总体的客观依据以外， 还必 须要在所要研究的标志上存在变异的表现。否则，就没有必要进行统计分析研究了。 三、统计学研究方法 统计学根据研究对象的性质和特点，形成了它自己专门的研究方法，这些基本方法是：实 验设计法、大量观察法、统计描述法和统计推断法。 （一）实验设计 所谓实验的统计设计就是指设计实验的合理程序，使得收集得到的数据符合统计分析方法的要 求，以便得出有效的客观的结论。它主要适用于自然科学研究和工程技术领域的统计数据搜集。 （二）大量观察法 大量观察法是统计学所特有的方法。 所谓大量观察法， 是指对所研究的事物的全部或足够数量进 行观察的方法。 社会现象或自然现象都受各种社会规律或自然规律相互交错作用的影响。 在现象 总体中，个别单位往往受偶然因素的影响，如果任选其中之一进行观察，其结果不足以代表总体 的一般特征；只有观察全部或足够的单位并加以综合，影响个别单位的偶然因素才会相互抵消， 现象的一般特征才能显示出来。 大量观察的意义在于可使个体与总体之间在数量上的偏误相互抵 消。 （三）统计描述 统计描述是指对由实验或调查而得到的数据进行登记、审核、整理、归类、计算出各种能反映总 体数量特征的综合指标，并加以分析从中抽出有用的信息，用表格或图形把它表示出来。统计描 述是统计研究的基础，它为统计推断、统计咨询、统计决策提供必要的事实依据。统计描述也是 对客观事物认识的不断深化过程。它通过对分散无序的原始资料的整理归纳，运用分组法、综合 指标法和统计模型法得到现象总体的数量特征， 揭露客观事物内在数量规律性， 达到认识的目的。 （四）统计推断 统计在研究现象的总体数量关系时， 需要了解的总体对象的范围往往是很大的， 有时甚至是无限 的，而由于经费、时间和精力等各种原因，以致有时在客观上只能从中观察部分单位或有限单位 进行计算和分析，根据局部观察结果来推断总体。在一定置信程度下，根据样本资料的特征，对 总体的特征做出估计和预测的方法称为统计推断法。 统计推断是现代统计学的基本方法， 在统计 研究中得到了极为广泛的应用， 它既可以用于对总体参数的估计， 也可以用作对总体某些分布特 征的假设检验。从这种意义上来说，统计学是在不确定条件下做出决策或推断的一种方法。 四、统计工作过程 一般来说主要包括统计设计、统计调查、统计整理、统计分析、统计预测这样五个阶段。其 中心阶段为调查、整理和分析三个阶段。 统计学的研究对象和方法 一、统计的含义 统计一词有着丰富的内涵。一般讲到“统计”，可以从三个方面理解，即统 计实践、统计资料和统计理论。 （一）统计实践活动 统计是适应社会经济发展的需要和国家管理的需要而产生和发展的。 统计实 践活动就是人们有目的搜集、 整理和分析实际资料的工作过程， 涉及社会、 经济、 文化、科技等各个方面。统计作为一种社会实践活动，已有四、五千年的历史。 据考证，在我国原始社会的末期及奴隶社会形成的过程中，已经出现了统计的萌 芽，“结绳记事”是最早的统计调查活动，并且将所记之事分为“大事”和“小 事”，以“结”的大小来表示。这说明原始人类已经开始有目的积累资料了。中 国奴隶制社会的统计活动的主要内容是“丁口”和“田亩”，即人口和耕地，其 目的主要是为了战争和贡赋。经过漫长的封建社会，统计活动的范围逐渐拓宽， 内容也逐渐丰富，除了人口和耕地统计之外，财产统计、产量、仓储统计、交通 运输统计、矿冶统计、物价统计、军费统计、驿传统计、财政统计、海关统计等 也慢慢产生和发展，并在漫长的岁月里积累了一定的统计资料。但由于封建社会 战乱频繁，灾害连连，因此，积累并保存起来的统计资料连贯性较差，且基本不 具有可比性。民国时期的统计已经逐步按行业进行，具备了一定规模。新中国成 立后，统计实践得到了极大的发展，如今的统计活动，已涉及国民经济和社会生 活的各个方面，取得了很大的成绩，积累了丰富的资料，为我国的经济建设和社 会发展做出了重大贡献。 （二）统计资料 统计资料是经过统计调查和统计整理以后得到的反应社会经济实际的统计 成果，是人类活动各数量方面客观情况的记录，包括数据资料和文字资料，以数 据资料为主。统计数字、统计分析报告、统计台帐、统计表、统计图等都是统计 资料。例如，汉和帝末年全国总人口 5,300 多万，垦田数 732 万多顷；康熙年间 人口数为 27,355,462 人（公元 1721 年），垦田数达 7,336, 顷；1997 年全国 农业总产出 174,498,000 千元， 工业总产出 615,301,208 千元等等， 都是统计资料。 目前，我们搜集和积累的统计资料已经十分丰富，大量的统计资料多以各种统计 公报、《统计年鉴》、数据库以及光盘等的形式公布和收藏。 （三）统计理论 统计理论是对统计实践活动的理论概括和总结， 是阐述统计实践活动的基本 理论和基本方法，统计理论的系统化和科学化结晶成统计学。统计学目前已经发 展成一个涉及范围广泛、内容丰富多彩的学科体系，包括数理统计学、经济统计 学、社会统计学和自然科学方面的统计学等等。 统计实践、统计资料和统计理论三者之间存在着密切的联系。统计实践是基 础，统计资料和统计理论都是在统计实践的基础上产生和发展的。统计资料来源 于统计实践，没有统计实践就没有统计资料，同时统计资料又服务于统计实践， 没有一定数量的、积累起来的统计资料，新的统计工作将难以做好。统计理论是 对统计实践活动的理论抽象和总结，理论来源于实践，但又反过来指导统计实践 活动，使统计实践活动更科学、更有效，使取得的统计资料更符合客观实际，更 具有使用价值。统计实践的不断发展，不但可以获得更加丰富多彩的统计资料， 也会不断丰富统计理论，促进统计理论的发展和完善。因此，统计一词的三种含 义是相互联系的，不能将它们分割开来。统计实践与统计学的不断发展和不断丰 富的过程，也是统计不断实践、认识、再实践、再认识的过程。 二、统计学的研究对象 关于统计学的性质和研究对象问题，是我国统计理论界长期以来争论较多、 分歧较大的问题，本书无意参与这种争论，我们取“统计学是一门方法论科学” 这样的理念，认为统计学主要是研究方法论的，并且，本书将统计学界定在社会 经济统计学这样的框架之内。 在这样的前提下， 我们讨论统计学的研究对象问题。 在讨论这一问题时，将统计的研究对象和统计学的研究对象加以区分是有益的。 （一）统计认识的对象 从哲学的意义出发，任何事物都存在质和量两个方面，是质和量的统一，研 究一种事物可以从量的方面进行，也可以从质的方面进行，对事物量的方面的研 究是在对事物的质的方面有所把握的基础上进行的。 统计是从量的方面对社会经 济现象进行观察研究的，即统计的认识对象是社会经济现象的数量方面。虽然统 计是研究社会经济现象的数量方面的， 但它对现象数量方面的研究并不是孤立进 行的，而是在质与量的相互联系中研究量的，如果离开了事物质的方面，为研究 量而研究量，那就不是统计学了。统计研究事物数量方面的目的，在于通过对事 物量的方面的观察和量变规律的研究， 逐步把握事物的质和对事物质的方面的认 识。因此，统计对社会经济现象数量方面的认识包括量的规模、现象之间的数量 联系、现象数量的变化规律、现象质与量互变的数量界限等，而对事物量的这些 方面的研究，都不是仅对个别事物观察所能得到的，必需通过对现象的大规模研 究才能有效，因此，统计的研究对象具有如下的特点： 1. 总体性。统计认识社会经济现象的数量方面必须是对总体现象的认识， 而非对个体现象的认识。因为，只有通过对总体的数量方面的观察，才能发现现 象存在的共性和规律性。例如，我们可以通过对一个国家或地区的众多工业企业 的研究，了解工业企业的生产能力、生产规模、产品结构和工业品满足社会需要 的程度等方面的情况。但如果只对该国或该地区的个别工业企业进行观察，则无 论我们的工作做得多么细致， 也不可能得到整个工业产品的结构及其满足需要程 度的信息，因为它不具备代表性。 统计对社会经济现象的研究要求具有总体性， 是基于满足统计研究的目的来 考虑的。但强调总体性的要求，并不排斥统计对社会经济个体现象观察的重视。 事实上，统计对总体事物的研究是从对个体的观察开始的，例如在人口统计中， 如果没有对一个自然人各方面情况的仔细观察和记录， 就得不到对人口总体的总 人数、性别比例、地区分布、出生率、平均寿命等方面的数量认识。因此，统计 对个体现象进行观察的目的，是为了认识总体的数量特征。 2. 社会性。统计对象的社会性可以从三个方面进行考察，一是统计的认识 对象是社会经济现象的数量方面，因而统计本身也就有了社会性。二是统计认识 的主体是社会的人，人的阶级性（社会性）决定了认识立场和认识结论上的社会 性。三是一切社会经济活动都和人的利益有关，不同的人群有着不同的利益和利 益关系，因此人们相互间的利益分割和利益冲突，必将在统计上显示出来。统计 为一定的阶级和一定的社会集团服务，古今中外，概莫能外。因此，我们说，统 计具有社会性。 （二）统计学的研究对象 如前所述，统计学是统计实践活动的理论概括和总结，并反过来指导统计实 践活动，因此，统计学的研究对象可以表述为：社会经济总体现象的数量特征及 其规律性、统计认识活动过程本身和认识方法。 三、统计学的研究方法 每门学科都有其特定的研究对象，不同的研究对象，需要用不同的方法去研 究。 当然， 同一种研究方法可以用于不同的研究对象。 统计学有自己的研究方法。 这里所讨论的是统计学研究中使用的最基本的方法。 （一）大量观察法 大量观察法是统计学（包括数理统计学、经济统计学、社会统计学、其他统 计学等）中的特有方法。它是指统计在研究社会经济现象等的数量方面时，必须 对总体现象中的全部或足够多数的个体进行观察， 以达到对现象总体数量特征及 其规律性的认识。社会经济总体现象是复杂性的，它是在各种错综复杂的因素影 响下形成的，总体中的个体之间存在着数量上的差异，如果统计仅对少数个体进 行观察，就会失之偏颇，得不出合乎实际的结论来。概率论证明：随着观察次数 （个体）的逐步增多，样本指标和总体指标之间的离差将缩小，样本平均数将逐 步逼近总体平均数，样本的分布将逐步趋同于总体的分布。因此，只有被观察的 个体“足够多”的时候，才能消除偶然因素影响造成的误差，样本对总体才有足 够的代表性，用样本指标推断总体指标时，才具有较高的可靠性。“足够多”意 味着样本容量要比较大，理论认为，样本容量 30 以上为大样本。但在实际中， 人们为了确保统计结果的可靠性，往往选取更多的个体进行观察，具体数目可由 抽样原理计算确定。 （二）统计分组法 统计分组既是统计资料整理的方法，也是统计分析的基本方法之一。根据统 计研究问题的目的不同， 可以选择不同的分组标准对总体进行不同的分组以反映 总体的构成和现象之间的依存关系。例如要研究我国国有企业的有关情况，选择 “企业规模”为标准进行分组，结果可以反映国有企业中大、中、小型企业的数 量和比例；选择“盈亏状况”进行分组，可以观察国有企业的亏损面及亏损额， 发现问题的严重性，等等。 （三）综合指标法 所谓综合指标法， 就是根据大量观察获得的资料， 计算、 运用各种综合指标， 以反映总体一般数量特征的统计分析法。通常使用的综合指标主要有总量指标、 相对指标、平均指标、变异指标等。这些指标各自从不同的角度对总体的特征进 行刻划，将其结合运用，可以更加全面、深入地分析社会经济总体现象的数量方 面。 （四）时间数列分析法 这是一种分析社会经济现象在较长时间上发生、 发展情况及变化趋势的统计 方法。一般来说，现象在较长历史时期内，会发生较大的变化，这种变化是受多 种因素影响形成的，这些因素有些是可以量化的、可以预期的，有些是难以或不 能量化和预期的，前者可以用统计的方法进行分析，后者则不能。影响时间数列 变化的因素主要有：长期趋势、季节变化、循环波动、偶然性因素等等。通过适 当的方法对这些因素进行必要的测算和分析，是统计研究的重要方面。 （五）指数分析法 现象的总体是复杂的，其发展变动受其构成要素变动的影响，但这些构成要 素往往不可以直接相加， 很难进行直接的观察比较， 因此需要逐个因素进行分析， 分析它们的变化对总体变动的影响程度和影响方向。 例如多种不同类型商品价格 的总变动受各种商品价格变动的影响， 多种产品总成本的变动受每种产品单位成 本变动的影响， 社会劳动生产率的变动受各部门、 各行业劳动生产率变动的影响， 等等。指数分析法就是用来解决此类问题的。 （六）相关分析法 现象是复杂的，同时现象之间也是相互联系的。有些现象相互间存在着确定 的联系，当某一现象变动一定量时，相关现象随之变动，且变动的量是确定的。 比如在价格既定的条件下， 鲜蛋的销售量和销售额之间的关系， 就是确定的联系。 但有些现象之间存在的是一种不确定的关系，如施肥量和作物产量之间的关系、 工业品生产批量和单位成本之间的关系、人们身高和体重之间的关系等等，这些 现象之间的关系是密切的，但却是不固定的。它们相关的程度和方向是视情况不 同而不同的，相关分析就是要研究这些现象之间相互关系的程度和方向，为对现 象之间关系的进一步研究分析奠定基础。 （七）抽样推断法 抽样推断法，是指按照随机原则从总体中选择一少部分单位进行调查，并根 据登记结果对总体的数量特征做出有一定正确性和一定把握性的估计的统计方 法。这种方法主要用于难以进行全面调查的场合（如总体规模巨大或总体为无限 总体等）和不宜或不能进行全面调查的场合（如对部分工业品质量性能的破坏性 试验等）。当然在可以进行全面调查或进行其他非全面调查的场合，抽样调查仍 然具有独到特点。比如人口调查，可以用普查的方法取得全面资料，也可以用抽 样的方法推断全面的情况。抽样推断所依据的虽然是少数单位的情况，但其目的 却在于取得总体的数量特征。目前，抽样的方法在经济、社会、医疗卫生、体育、 科研等许许多多的领域都得到了广泛的应用， 而且在各种非全面统计调查方法中 居于主导地位。 统计制度和统计工作过程 一、统计制度 统计制度在不同的国家和地区、或一个国家的不同历史发展阶段上，都是不 同的。例如，美国没有专门的国家统计局，其统计资料分别由不同的政府部门负 责搜集和公布，如有关经济方面的资料由美国商业部提供，劳动工资方面的资料 由美国劳工部负责搜集和公布等。这和中国有别。本节对我国的统计制度和统计 工作做些简单介绍。 （一）统计管理体制 新中国成立后，在中央财经委员会计划局内设立了统计处，负责规划全国的 财经统计工作。1952 年，成立国家统计局，领导全国的统计工作。从那时起， 国家建立了由国家统计局，各省、自治区、直辖市统计局，市、县、区统计局等 组成的政府专门统计系统和各级政府职能部门及大中型企业内设的专业统计机 构，共同进行国民经济和社会各方面的统计工作，实行统一领导、分级管理的管 理体制，政府统计部门受上级统计部门和同级人民政府的双重领导。这基本上保 证了各级政府管理决策及社会各方面对统计资料的需求。 现在我国所有的官方统 计数字一律由政府统计部门会同有关部门搜集、由各级政府统计局公布。这保证 了全国统计数字的权威性和协调统一。 （二）统计调查制度 新中国的统计调查制度是从 1950 年开始的。1950 年 3 月在中财委统计总处 的领导下，进行了第一次全国工业普查，此后全国各种统计调查报表制度先后建 立起来，而且多是定期报表，如《工业统计报表制度》 《运输邮电统计报表制度》 《物资统计报表制度》《基本建设统计报表制度》《贸易统计报表制度》《农业 统计报表制度》《劳动统计报表制度》《文教卫生统计报表制度》和各项专门调 查等。在新中国统计调查的历史上，曾出现过一些问题，50 年代初期滥发统计 报表就是其中的一例。据统计，那时中央政府各部门和各级地方政府部门共发放 各种统计表格 34,993 种。“文革”期间，统计制度受到了很大的破坏，统计报 表到 1975 年才得以恢复。80 年代以后，人们开始思考统计制度的改革问题，从 统计队伍来说，政府统计部门重新组建了农调队，成立了城调队，90 年代又成 立了企调队。从调查方法制度上来讲，过去实行的全面统计报表制度，已不能满 足经济改革开放对统计的要求，必需进行改革。以定期普查和抽样调查为主、多 种调查方法相结合，是我国现行的统计调查体系的基本特征。调查方法制度是随 社会、经济的发展和政治、经济管理体制的改革而不断改革和完善的。今后，民 间统计机构和统计业务可能会有较大发展，并作为政府统计的必要补充，共同承 担满足社会各方面对统计需求的任务。 （三）统计法制 统计法制是保证统计工作依法进行、保证统计资料及时、客观、真实地反映 社会经济现实的必要手段。中国第一个具有法律意义的统计文件是 1950 年东北 人民政府批准公布的《东北统计报告暂行规定》。1953 年，中央人民政府政务 院以命令的形式发出了《关于充实统计机构加强统计工作的决定》，它为在全国 有组织、有领导地建立统一的、系统的、科学的统计工作铺平了道路，并对以后 的统计工作建设产生了深远的影响。1954 年，在治理滥发统计表格的基础上， 颁发了《关于制定及审批调查统计报表的暂行办法》和《关于调查统计报表制订 送审的几项规定》，在一定程度上规范了统计报表制度。1962 年，中共中央、 国务院发布了《关于加强统计工作的决定》，要求在领导上、业务上、组织上加 强统计工作，同一切虚报、瞒报统计数字的违法行为作斗争。1963 年 3 月国务 院发布了《统计工作试行条例》，这是新中国的第一个统计法规，具有重要的现 实意义和深远的历史意义。1983 年 12 月 8 日《中华人民共和国统计法》正式公 布，并于 1984 年 1 月 1 日起实施。《中华人民共和国统计法》是我国统计史上 第一部正式法规，该法规的颁布，标志着我国统计工作真正开始走上法制轨道。 现在许多地方政府也已制定了统计法规性的条例， 《河南省统计工作管理条例》 如 等，使得统计工作的法制管理真正切实可行。没有规矩，不成方圆。在社会主义 市场经济条件下，统计业务越来越多，统计工作涉及的方面越来越广，统计主体 也将由“一元”发展成“多元”。在这个过程中，将会不断有新的情况和新的问 题出现，因此统计法制建设须将得到不断的加强和完善。 二、统计工作过程 从理论上讲， 一项完整的统计工作可分为四个阶段， 即统计设计、 统计调查、 统计整理和统计分析。 统计设计，是根据统计研究对象的特点和研究的目的、任务，对统计工作的 各个方面和各个环节的通盘考虑和安排，是统计认识过程的第一阶段，即定性认 识的阶段。统计设计之所以必要，是因为统计是一项需要高度集中统一的工作， 没有预先的科学的设计，没有具体的工作规范，就难以达到预期的目的。因此在 一项大规模的统计活动开始前，必需进行统计设计。 统计调查，是根据统计研究的对象和目的要求，根据统计设计的内容、指标 和指标体系的要求，有计划、有目的、有组织地搜集统计原始资料的工作过程， 是统计认识过程的第二个阶段，是定量认识的阶段。统计用数字说话，而各种统 计数字都直接来自于统计调查， 管理者和决策者都需要根据大量翔实的统计信息 进行管理和决策，科研工作者也需要根据统计调查得到的资料进行科学研究。调 查是统计的基础，没有调查，就没有发言权。调查的方式方法主要有统计报表制 度、普查、抽样调查、典型调查、重点调查等。 统计整理，是指根据统计研究的目的，将统计调查得到的原始资料（和次级 资料）进行科学的分类和汇总，使其条理化、系统化的工作过程，是统计认识过 程的第三阶段。 这个阶段的主要任务就是为统计分析阶段准备能在一定程度上说 明总体特征的统计资料。但在实际工作中，统计整理与统计调查和统计分析并非 总是截然分开的，而是相互交织在一起的，它是统计调查的继续，也是统计分析 的开始。统计调查和统计整理都是一种定量认识活动。 统计分析，是统计认识过程的最后阶段，是在统计整理的基础上，根据研 究目的和任务， 利用科学的统计分析方法， 对统计研究对象的数量方面进行计算、 分析的工作过程。统计认识的结论要从分析中得出，因此，这一阶段虽然是对统 计资料的计算分析，但其目的却是要揭示统计研究的对象的状况、特点、问题、 规律性等，所以这是统计认识的定性阶段。 因此，从认识的顺序来看，统计设计、统计调查、统计整理和统计分析这 四个阶段， 是从定性认识开始， 经过定量认识， 再到定性认识的循环往复的过程， 即定性认识（统计设计）→定量认识（统计调查和统计整理）→定性认识（在定 量认识的基础上进行的统计分析）的过程。 再次重申， 统计认识过程的这四个阶段的划分， 在很大程度上只是理论上的， 相对的，实践中，统计工作过程是很难这样分开的。 你好啊，你的数列求和的方法探讨开题报告选题定了没？开题报告选题老师同意了吗？准备往哪个方向写？开题报告学校具体格式准备好了没？准备写多少字还有什么不懂不明白的可以问我，希望可以帮到你，祝开题报告选题顺利通过，毕业论文写作过程顺利。 先说下开题报告的内容1、课题的来源及选题的依据。主要是研究生对其研究方向的历史，现状和发展情况进行分析，着重说明所选课题的经过，该课题在国内外的研究动态，和对开展此课研究工作的设想，同时阐明所选课题的理论意义、实用价值和社会经济效益，以及准备在哪些方面有所进展或突破。2、对所确定的课题，在理论上和实际上的意义、价值及可能达到的水平，给予充分的阐述，同时要对自己的课题计划、确定的技术路线、实验方案、预期结果等做理论上和技术可行性的论证。3、课题研究过程，拟采用哪些方法和手段，目前仪器设备和其他各方面条件是否具备。4、阐述课题研究工作可能遇的困难和问题，以及解决的方法和措施。5、估算论文工作所需经费，说明经费来源。再谈下开题报告的要求1、开题时间：开题报告至迟应于第三学期末完成。凡未按时开题着，可酌情在论文成绩中减1至5分。2、研究生要进行系统的文献查阅和广泛的调查研究，写出详细的文献综述，并进行现场考察和初步的试验研究，然后写出5000字左右的书面开题报告，并制定出详细的论文工作计划，经导师审阅、修改后进行开题报告。开题前研究生应将有关的参考文献和已做过的作为开题依据的各种理论分析、试验数据，事先印发给参加会议的有关人员。3、开题报告必须在学院或教研室(研究室)中进行，组成3至5人的开题报告审查小组，并邀请本专业的教师、学生参加，听取多方面的意见。审查小组成员应事先审阅提交的开题报告及有关资料，为开会做好准备。会议应发扬学术民主，对研究生的开题报告进行严格审核和科学论证。对选题适当、论据充分、措施落实的，应批准论文开题；对尚有不足的，要限期修改补充，并重做开题报告。若再次开题不能通过。则取消研究生学籍，终止培养。4、开题通过后，应将开题报告与论文工作计划经导师、教研室主任和学院院长签字后交校学位办公室。研究生、导师、学院各存一份开题报告和论文工作计划的复印件，以便定期检查论文工作。5、开题通过后，一般不得改变研究课题。确有特殊情况需要更改课题者，由导师写出书面报告说明理由，经教研室主任、学院院长、研究生教育学院院长批准后，方可另做开题报告，改换研究课题，更改研究课题后仍不能进行下去的，则对研究生取消学籍，并取消指导教师指导研究生的资格。 擅长的 原创的我帮的.递推法计算行列式论文开题报告
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