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矩阵的奇异值分解（SVD）是指，将一个非零的 实矩阵 , , 表示为三个实矩阵相乘的形式: 其中， 是 阶正交矩阵, 是 阶正交矩阵， 是由降序排列的非负的对角线元素组成的 矩形对角矩阵, 满足
成称为矩阵 的奇异值， 的列向量称为左奇异向量， 的列向量称为右奇异向量
ps：奇异值分解不要求矩阵 是方阵，矩阵的奇异值分解可以看作是方阵对角化的推广
以上给出的奇异值分解又称为完全奇异值分解，实际常用的是奇异值分解的紧凑形式和截断形式。
设有 实矩阵 , 其秩为 :
紧奇异值分解 :
其中， 是 矩阵, 是 矩阵， 是 阶对角矩阵；矩阵 由完全奇异值分解中 的前 列、矩阵 由 的前 列、矩阵 由 的前 个对角线元素组成。紧奇异值分解的对角矩阵 的秩与原始矩阵 的秩相等。
截断奇异值分解 ：
其中， ， 是 矩阵, 是 矩阵, 是 阶对角矩阵; 矩阵 由完全奇异值分解中 的前 列矩阵 由 的前 列、矩阵 由 的前 个对角线元素组成。对角矩阵 的秩比原始矩阵 的秩低
（1）设矩阵 的奇异值分解为 , 则以下关系成立:
（2）矩阵 的奇异值分解中，左奇异向量，右奇异向量和奇异值存在一一对应的关系
（3）矩阵 的奇异值分解中，奇异值 是唯一的，而矩阵 和 不 是唯一的。
（4）矩阵 和 的秩相等, 等于正奇异值 的个数 包含重复的奇异值，奇异值都是非负的)
（5）矩阵 的 个右奇异向量 构成 的值域 的一组标准正交基
从线性变换的角度理解奇异值分解:
矩阵 表示从 维空间 到 维 空间 的一个线性变换， 和 分别是各自空间的向量。
奇异值分解可以看作, 将线性变换 转换为三个简单变换. 例如下图, 给出了原始空间的标准正交基 (红色与黄色)，经过坐标系的旋转变换 、坐标轴的缩放变换 , 坐标系的旋转变换 ，得到和经过线性变换 等价的结果。
奇异值分解定理：设A为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V，使得：A = U*S*V’其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。推论：设A为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V，使得A = U*S*V’其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。说明：1、 奇异值分解非常有用，对于矩阵A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，满足A = U*S*V’。U和V中分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。AA'的正交单位特征向量组成U，特征值组成S'S，A'A的正交单位特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成SS'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。2、 奇异值分解提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（S的阶数）和A的秩相同，一旦秩r确定，那么U的前r列构成了A的列向量空间的正交基。matlab奇异值分解函数 svd格式 s = svd (A) %返回矩阵A的奇异值向量[U,S,V] = svd(A) %返回一个与A同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列[U1,S1,V1]=svd(X,0) %产生A的“经济型”分解，只计算出矩阵U的前n列和n×n阶的S。说明：1.“经济型”分解节省存储空间。2. U*S*V'＝U1*S1*V1'。2 矩阵近似值奇异值分解在统计中的主要应用为主成分分析（PCA），它是一种数据分析方法，用来找出大量数据中所隐含的“模式”，它可以用在模式识别，数据压缩等方面。PCA算法的作用是把数据集映射到低维空间中去。数据集的特征值（在SVD中用奇异值表征）按照重要性排列，降维的过程就是舍弃不重要的特征向量的过程，而剩下的特征向量张成空间为降维后的空间。3 应用在很长时间内，奇异值分解都无法并行处理。（虽然 Google 早就有了MapReduce 等并行计算的工具，但是由于奇异值分解很难拆成不相关子运算，即使在 Google 内部以前也无法利用并行计算的优势来分解矩阵。）最近，Google 中国的张智威博士和几个中国的工程师及实习生已经实现了奇异值分解的并行算法，这是 Google中国对世界的一个贡献。
假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域 K，也就是 实数域或复数域。如此则存在一个分解使得M = UΣV*，其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是半正定m×n阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然U和V仍然不能确定。) 奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。
线性代数中，我们所说的矩阵的特征分解，即为：然而，要满足特征分解，矩阵必须为方阵，否则无法直接求解特征值。 对于一般矩阵，我们如果也要对其进行分解成3个矩阵乘积 ，其中 为 的矩阵， 为 的方阵， 为 的矩阵， 为 的矩阵。 矩阵如何分解呢？首先，它应该满足一个条件，它是方的！那么如何把矩阵变成方针呢？ 一个矩阵乘以它的转置即为方阵。 那么接下来的分解就是对与构造方阵的分解。还是特征分解的老步骤。这里，先提一下， 是半正定矩阵： 。由于 满足矩阵交换乘积，有 ，且 。 我们可以设 的特征值为 ，设 的特征值为 ，且不为0的特征值个数相等。因此，有矩阵半正定，特征值非负，可以开根号。特征值从右上角开始写，直到写到最后一个非零特征值。其余元素均为0。 刚才提及的是矩阵的奇异值分解的方法，现在我们初步看一下这个方法在降维中的应用。 令 ， 为矩阵对角线元素。 奇异值分解后的矩阵可以表示为：令特征值从大到小排列，意味着前面的较大的特征值保留了矩阵较为重要的特征，后面的较小的特征值保留了矩阵比较细节的特征。以图像的压缩为例子： 压缩钱图像矩阵为 ，意味着参数有 个，只取前 个特征值，参数有 。误差为： 。 也可以用作在神经网络的加速运算，之后提及。 下面是图片压缩的例子（转自知乎@DeepWeaver）
好写哦！科技论文，专业性这么强，写出来，也是只有专业人员才能明白。首先，序言：把矩阵的乘法原理，加以介绍、解释和说明，这些就是书上现成的东西。接着介绍其应用都有哪些，具体在哪些方面。最后说明本文主要介绍哪些方面的具体应用及事例。进入正文，集中写清楚，你要介绍的应用及事例。字数要多，就多写，写详细一些；字数一般，就写得一般，就可以啦。。。祝成功！
我的毕业论文题目是矩阵的乘法及其应用~个人感觉相当简单~我是数学与应用数学专业
随机环境中经济增长模型研究广义生产函数假设下的经济增长模型分析考虑市场预期的供求关系模型基于Matlab的离散事件模拟用风险预算进行资产配置有向图上的PAR贯序模拟系统单圈图的一般Randic指标的极值问题模糊数学在公平评奖问题中的应用模糊矩阵在环境评估中的初步应用模糊评判在电脑中的初步应用数学家的数学思想Riemann积分定义的网收敛表述微积分思想在不等式证明中的应用用有限的尺度标量无限的过程-略论极限ε语言在微积分及现代数学中的位置及意义微积分思想在几何问题中的应用齐次平衡法求KdV-Burgers方程的Backlund变换Painleve分析法判定MKdV-Burgers方程的可积性直接法求KdV-Burgers方程的对称及精确解行波求解KdV-Burgers方程因子有向图的矩阵刻划简单图上的lit-only sigma-game半正则图及其线图的特征多项式与谱分数有向图的代数表示WWW网络的拓扑分析作者合作网络等的拓扑分析古诺模型价格歧视用数学软件做计算微分方程的计算器用数学软件做矩阵计算的计算器弹簧－质点系统的反问题用线性代数理论做隐含语义搜索对矩阵若当标准型理论中变换阵求法的探讨对矩阵分解理论的探讨对矩阵不等式理论的探讨(1)对矩阵不等式理论的探讨(2)函数连续性概念及其在现代数学理论中的延伸从有限维空间到无限维空间Banach空间中脉冲泛函微分方程解的存在性高阶脉冲微分方程的振动性具有积分边界条件的分数阶微分方程解的存在唯一性分数阶微分方程的正则摄动一个形态形成模型的摄动解一个免疫系统常微分方程模型的渐近解前列腺肿瘤连续性激素抑制治疗的数学模型前列腺肿瘤间歇性激素抑制治疗的数学模型病毒动力学数学模型肿瘤浸润数学模型耗散热方程初边值问题解的正则性耗散波方程初边值问题解的正则性耗散Schrodinger方程初边值问题解的正则性非线性发展方程解得稳定性消费需求的鲁棒调节生产函数的计量分析企业的成本形态分析的研究分数阶Logistic方程的数值计算分数阶捕食与被捕食模型的数值计算AIDS传播模型的全局性分析HIV感染模型的全局性分析风险度量方法的比较及其应用具有区间值损益的未定权益定价分析模糊规划及其在金融分析中的应用长依赖型金融市场股票价格与长相依性分数布朗运动下的外汇期权定价不确定性与资产定价加油站点的分布与出租车行业的关系
如果A是mxn的矩阵,rank(A)=r.可以把A分解成mxr的满秩矩阵X和rxn的满秩矩阵Y的乘积,即A=XY且rank(X)=rank(Y)=rank(A)=r,这样的分解就叫满秩分解,当然当r>0时满秩分解不唯一.一般来讲用Gauss消去法就能给出满秩分解,线...
好写哦！科技论文，专业性这么强，写出来，也是只有专业人员才能明白。首先，序言：把矩阵的乘法原理，加以介绍、解释和说明，这些就是书上现成的东西。接着介绍其应用都有哪些，具体在哪些方面。最后说明本文主要介绍哪些方面的具体应用及事例。进入正文，集中写清楚，你要介绍的应用及事例。字数要多，就多写，写详细一些；字数一般，就写得一般，就可以啦。。。祝成功！
其实你的问题本身就有疑问。A=1 0 10 1 1这个矩阵的显然秩=2，第2列和第3列是他的一个极大无关组，即：a2=[0 1]^T, a3=[1 1]^T。因为a1可以由a2,a3来表示.(a1=a3-a2)所以B=0 11 1A本身就是最简行阶梯型。所以Cr=1 0 10 1 1那你说A=B*Cr吗？显然是不对的！*************************************************其实B中的极大无关组，不是随便选的，你不能说是“某个极大无关组”，而是特定的几大无关组。B中的列向量，必须是Cr的非零首元所在的那个列的列向量！！！！比如本题，Cr的非零首元是C11和C22，那B的选取只能是A的第一列和第二列，即B=1 0 0 1这样就对了。A的第二列和第三列虽然也是一个极大无关组，但它并又有和C中的非零首元对应上，因此就不对。
(1)逐个输入矩阵，如：A=[1 3 2; 1/3 1 2; 1/2 1/2 1]（2）用函数eig，如:[VA,DA]=eig(A)VA为特征向量矩阵，每列一个特征向量，DA为对角矩阵，每个对角线元素为一个特征值。（3）最大特征根是最大特征值吧？运算结果DA= + + + + + + + + - 所以A矩阵的最大特征根为.（4）其他矩阵类推。
就是要求你的文章能够说明怎么能够迅速找出特征值和特征向量以及他们在解题解决一些复杂问题方面有较其他方法更为方便实用的地方
用命令 [P,D]=eig(A)可求得方阵A的特征值与特征向量，上面命令中求得的P,D是两个方阵，满足AP=PD因此对角阵D的主对角线元素为A的特征值，P的每一列为A的特征向量，以列数相同相对应。
求n阶矩阵A的特征值的基本方法：根据定义可改写为关系式，为单位矩阵（其形式为主对角线元素为λ- ，其余元素乘以-1）。要求向量具有非零解，即求齐次线性方程组有非零解的值。即要求行列式。 解次行列式获得的值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的，即为输入这个行列式的特征向量。具体操作以右图为例。定义1设是一个阶方阵（即使一个n*n的矩阵），是一个数，如果方程(1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3)即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．===显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（Ⅰ）（Ⅱ）若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：定理1属于不同特征值的特征向量一定线性无关.
不太懂编程, 不过有现成工具可用.Mathematica只需要一个函数就能得到所有特征值和对应的特征向量:Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]数值结果用:N[Eigensystem[{{1, 1/3, 1, 1/6, 1/5, 1/3, 1/2},{3, 1, 3, 1/3, 1/4, 1/2, 1/2},{1, 1/3, 1, 1/5, 1/5, 1/5, 1/3},{6, 3, 5, 1, 1, 2, 1},{5, 4, 5, 1, 1, 2, 2},{3, 2, 5, 1/2, 1/2, 1, 1/2},{2, 2, 3, 1, 1/2, 2, 1}}]]输出为{{, + I, - I, + I, - I, + I, - I}, {{, , , , , , 1.},{ - I, + I, - I, + I, - I, + I, 1.},{ + I, - I, + I, - I, + I, - I, 1.},{ - I, - I, + I, + I, - I, - I, 1.},{ + I, + I, - I, - I, + I, + I, 1.},{ - I, + I, + I, + I, - I, - I, 1.},{ + I, - I, - I, - I, + I, + I, 1.}}}第一组为特征值, 后面为依次对应的特征向量.所以只有一个实特征值: , 相应特征向量:{, , , , , , 1.}.刚看到另一个一样的问题(不过(1,6)和(6,1)两个位置不一样).特征向量乘以非零数还是特征向量.作为权重是要各分量之和为1?那不妨将上面所得特征向量除以各分量之和, 得.{, , , , , , }.
用 Matlab 的计算结果为:>> eig(M) --所有特征值ans = + - + - + - >> [V,D]=eig(M);V = - + - + + - + - + - + - - + + - - + + - - + - + + - 每一列是对应的特征向量对的不齐, 对应 特征值 的特征向量是
|λE-A|=|λ-1 2 -2|=(-1)^2×|-2 -4 λ+2| (把第一行和第二行互换，再把新的第一行和 |2 λ+2 -4| |λ-1 2 -2| 第三行互换) |-2 -4 λ+2| |2 λ+2 -4|=|-2 -4 λ+2|=(-1)×|-2 -4 λ+2| |0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3| |0 λ-2 λ-2| |0 λ-2 λ-2| |0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3|=(-1)×|-2 -4 λ+2|=(λ+7)(λ-2)^2. |0 λ-2 λ-2| |0 0 1/2×(λ+7)(λ-2)|所以，A的特征值为-7，2，2.