微积分论文发表笔记

1.无穷小替代 看一个厉害的例题: 还有一个容易忽略，等价无穷小在什么时候都可以用吗，，，拿题来说事→_→很容易知道解答1，2，都是错的，但why??? 这两种解答看着很高级，其实，就是在扯淡。这就和我们的等价无穷小，有关，等价无穷小替代，是有条件，不能随便乱替的， 一般来说，加法减法不能（特别是分子，如果一用，分子为零，极限就为零了）。                 指数对数复合的函数一般也不行。你记住要是乘除随便用，其他的时候不建议用。 注意：一组强大的结论来几个考研题爽爽。。。2分钟，2分钟，，完全没问题吧①渐近线有三种情况，但是对于某一个具体的曲线来说，一个曲线可以有 无数条铅垂渐近线 ，但是仅仅 最多有两条水平渐近线和两条斜渐近线 。 ②求渐近线中要用到求极限，这里要特别注意，这里的极限都是单侧极限，如果你只用极限而不注意单侧极限，非常容易计算错误。但是一般来算的时候，都是直接做当x→∞来计算。 ③由水平渐近线和斜渐近线是在x→∞的极限，所以在同一侧(都是x→＋∞或都是x→-∞ )的水平渐近线和斜渐近线 不能同时存在 .求渐近线的实质就是求函数的极限,因此要熟记各种渐近线的定义和求极限的方法 . 那我们该如何具体计算渐近线呢，常考的题型，第一就是直接让你写出某类渐近线，这种情况下，你就不用再去判断了，还有一类比较难，就是让你求渐近线的条数，对于这种问法的试题,应该先验证有没有铅直渐近线，也就是看函数有没有间断点且函数在这些点处的极限是不是无穷，因为间断点的个数可能有多个，注意每个间断点都要验证，再验证水平渐近线，注意过程包含正负无穷两种情况，每种情况都要验证，最后验证斜渐近线，这种题容易落下某一条渐近线。 计算步骤： 第一：先找铅垂渐近线，找函数的无定义点和定义区间的端点，即： 第二：求水平渐近线，这时候的y1 是一个常数。第三：求斜渐近线。先看一个例题1：答案与解析： 例题2：答案与解析：B 对于渐近线问题，我们要分三条路去思考，水平、垂直和斜渐近线；x趋于正无穷或负无穷的时候，e^{1/x^2}趋于1，arctan的部分趋于pi/4，从而说明有水平渐进线，y=pi/4； 正无穷和负无穷方向是同一条水平渐近线，那么我们也就不需要考虑斜渐进线了； 再来看垂直渐近线，垂直渐近线的本质是寻找无穷间断点。这里可能的点就是x=0,x=1,x=-2; x=0确实是无穷间断点，但是x=1和x=-2都是y的可去间断点；这里有一条水平，一条垂直渐近线。 例题3：这个题不是什么难题，但也告诉我们一点求极限时，有些极限是要记住的。因为在同一极限过程中，指数＞幂函数＞对数函数。那么这个题，当x→+∞时，明显是0。所以是水平渐近线。 更深有关渐近线的研究，请留言获取。 小结论： 设一个函数为f(x) . 若f'(x¹)=0且 f''(x¹) !＝0.则x¹是此函数的一个极值点。 驻点 极值点 拐点。不定积分的理解定积分的定义求极限 数竞真题： 等价无穷小：判断原函数是否存在，以及是否可积。 第一：这两个概念应该说是在不同的地方提出的，原函数是再讲不定积分时引入的，而是否可积，则是在定积分中引入。 第二：我们要清楚，无论是原函数是否存在或者是否可积，都必须在某个区间上来说，脱离了区间，谈论并没有什么意义。 先看定理：有关极限是否存在的线性运算结果的讨论，一般有以下结论：①存在±存在=存在.②不存在±存在=不存在.③不存在±不存在的结果不确定.同样对第二个可以做出推广，第三个不行。不连续±连续＝不连续不可导±可导＝不可导例题：（张宇1000题）解答纵观整个数学书，求定积分常用的也就如下几种方法： 凑微法 负代换法 分部积分法 递推法 区间再现法 组合积分法：①参元组合 ②分解组合 对称式 化为部分分式 主要说较难的方法： 一般来说，在对称区间上我们可以用“奇零偶倍”这个性质来算，但有时不乏会遇到不是奇函数或者偶函数的，那我们怎么弄呢，用负代换这样一来，对于定积分的对称区间问题，我们都能解决了，我们来总结一下，内容的原地址 表格法式的分部积分与微分算子求二阶非齐次线性方程的特解

很好的一本关于介绍微积分知识的书；多希望自己在高中时期，就能接触到这样一本书呀，不至于面对枯燥的数学理论知识，只能死记硬背，其实数学理论、数学模型，是很美的，有内在美，我也越来越发现这种美，并且能够欣赏这种美，当然可能和年龄成长有关，阅历增长，理解能力也在增长。微积分其实是人类观察世界一种很自然的方式，也是数学领域的基础理论，在很多学科有所发展。其中的一个细节让我印象深刻：思想比细节更重要。我个人觉得这是一种化繁为简的抽象能力，能够在纷繁复杂的现实世界中，抽丝剥茧，提炼出更高维度的知识智慧，进而反哺可以更好的理解现实世界，使认知水平上升至更高层次。

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在 处连续，当 无限趋近于 时， 无限逼近于 L ,则： 例:

洛必达(伯努利)法则：

处理 或者 时的极限:

极小的自变量 所造成的极小的因变量变化 ， 的变化率即导数，导数并不是瞬时变化率，而是某点处附近(很近很近)的变化率

线性函数的变化率时恒定的，同理，常数函数的变化率为0。 可以理解为n维空间边长为x的“空间大小”，如正方形面积、正立方体体积....以此类推，然后从几何角度推出幂函数的导数。三角函数可以从圆几何角度推导导数。指数函数比较特殊，在每一点的导数，与其f(x)的大小成正比关系，当这个比为1时，函数的变化率等于其本身的值！！此时指数函数的底为自然对数 。而对数函数为指数函数的逆函数，可以反向推导数。

设 R 上的函数 f(x) 满足在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

设 R 上的函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内可导，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得

设 R 上的函数f(x),g(x)在[a,b]的闭区间内连续，(a,b)开区间内可导，且对于任意 ， ，则至少存在一个 使得：

罗尔中值定律、拉格朗日中值定律、柯西中值定律说的是一回事，某个函数在某个区间内连续、可导，那么这个函数在区间中必然至少存在一点，该点的导数等于该函数在该区间的平均导数。从几何上看，任意某个函数在某个区间中必然存在至少一个点，该点的切线等于将函数首尾相连形成的直线的斜率。当这个直线的斜率为0时，即罗尔中值定律。也就是说，拉格朗日中值定律时是罗尔中值定律的推广版本，而后者是前者的一个特例。而柯西中值定律是拉格朗日的推广版本，原函数的形式变成了参数函数形式，将定律右侧的df/dg=df/dx/dg/dx,即变成 。

导数的含义是对于某个函数，自变量的微小变化对因变量又多大的影响，即 。对于多元函数，自变量不再是单一的，这时候引入了偏导数的概念，即对于多个自变量的函数，其中一个变量在其余变量不变的情况下，其微小的变化对因变量有多大的影响。有点类似于控制变量法。例如函数 在 处的偏导数为:

伸缩求和是一个非常重要的求和方法，核心是构建一个可以相邻元素互相抵消的函数，替换原函数。 例如，求 ，可以从构造函数 开始

如果函数 f 在区间[a,b]上连续，那么在区间(a,b)内必有一点C，满足：

如果函数 阻碍区间 上连续，定义函数 为 ，那么 F 在[a,b]上是可导函数，且

如果函数 f 在[a,b]区间上连续， F 是 f 的反导数，那么有 常用不定积分：

求不定积分的一些常见方法:

分部积分法的核心思想是 例如:

泰勒公式的本质是用多项式函数去逼近光滑函数：

若函数 在x=a 处是光滑的，则f 在x=a处的最接近的多项式函数为: 例如 在x=0处的近似函数为