几何测度论投稿期刊

高维空间中低维点集的测度及低维点集上的积分理论。 20世纪初测度论的建立，使得人们对Rn中的子集关于n维勒贝格测度μn的行为有了很好的了解。大部分函数论由于勒贝格积分论而产生了巨大变化。但是在处理与Rn中低维点集有关的数学问题时遇到了困难。例如著名的普拉托问题，在二维曲面时尚可以结合共形变换和狄利克雷原理巧妙地应用勒贝格方法而解决。而在曲面的维数超出2时,这些经典的方法就失败了。几何测度论正是在这种背景下产生。它始于1914年C.卡拉西奥多里关于测度论的基础性工作，经过几十年的发展，熔合了来自分析、几何、代数拓扑中的许多技巧，产生了许多新的概念，成为数学研究的一个有力工具。 豪斯多夫测度与可求积集合 在卡拉西奥多里的工作出现以后的开始20～30年内，大部分的兴趣在于了解Rn中的子集关于m 维豪斯多夫测度, 积分几何测度等各类测度的行为。对于A嶅Rn,0≤k∞,δ0,定义A的k维豪斯多夫测度（简称hk测度）为 ，式中。hk测度是Rn中的一个博雷尔正则测度。又定义inf{k:hk(A)=0}为A的豪斯多夫维数,简称h 维数。当k=n时，hn(A)=μn(A)，n=0时h0(A)为A的元素个数。0和n中间每个数均可出现为Rn中某个子集的h 维数。例如康托尔集的h 维数为ln2/ln3。 设A的hk测度有限, 在k0时,若存在Rk中某个有界子集到 A的李普希茨映射（即二点距离的增长比受到某个正常数控制的映射）,那就称A为k可求积集（k=0时为有限集，也称可求积集）。如果A除了一个hk测度为0的子集外,为可列个k可求积集合覆盖,就称A为(hk,k)可求积集。集合的可求积性质是一阶光滑流形的某种推广。事实上,A为(hk,k)可求积集合的充要条件是：除了一个hk测度为0的子集外,它可由Rn中可列个C1类k维子流形所覆盖。可求积集合的这种描述使得对于它的构造的研究，特别是它的射影性质的研究成为几何测度论的重要内容。在A不含有hk测度大于0的k可求积子集时,称A为纯粹(hk,k)不可求积集合。 设p:Rn→Rk为正交射影,即保持内积不变的线性映射。其共轭记为p*,它的全体记为(n,k),正交群O(n)=O(n,n)通过右乘可递地作用在(n, k)上。这个运算在(n,k)上诱导出惟一的不变测度θ*,使得空间(n,k)关于θ*的全测度等于1，那么当A为(hk,k)可求积集合时，成立 式中。上式右边即为A的积分几何测度I，它先在A与n-k维仿射子空间p-1(y)的交集上积分，然后让p取遍所有正交射影。因此这个式子反应了 (hk，k)可求积集合的射影性质。这是求平面曲线长度的克罗夫顿方法的推广，也类似于柯西寻求凸体周界面积的方法。另一方面, 对于hk测度有限的任何博雷尔集B，总存在博雷尔子集C嶅B,使得，,且(B\C为纯粹(hk,k)不可求积。进一步,成立,当且仅当B为(hk,k)可求积。以上这些结果首先为A.S.贝斯尔科里奇对平面上的h1测度得到。1947年，H.费德雷尔证明了一般情形。 在几何测度论发展早期就知道，对于Rn中每个勒贝格可测集W以及Rn到Rk的李普希茨映射?，有面积公式 ，式中Jk?(x)为?的雅可比式。在?为一一时，右边的积分就等于hk(?(W)),因此对于n可求积集合,它的hn测度就等于微分几何中的 n维体积。利用映射在一点“近似可微”这个概念, 可以将这个公式推广到Rn中的(hk,k)可求积集合。但在?(W )的h 维数小于n时，公式反映的信息很少。1957年，费德雷尔证明：对每个李普希茨映射,及每个μn可测集W 成立余面积公式： 。面积公式与余面积公式分别应用于目标空间的维数至少为n与至多为n的情形。因此可将它们看成是对偶的公式，余面积公式也已被推广到(hk,k)可求积集合的情形。这些公式的研究使得人们了解到，关于可微映射的积分变换的本质上的假定在于对这个映射的雅可比式秩的限制。 密度 密度与近似切锥是描述一个测度局部行为的两个重要概念。对于拉东测度v，以α为心,r为半径的球关于v的测度与的比值，在r→0时的上极限与下极限分别称为测度v在α点的k维上密度与k维下密度。二者相等时就称为k维密度 k(v,α)。利用上密度可以定义集合的近似切锥，它何时成为向量空间与该集合的可求积性质和射影性质有着深刻的联系。利用密度定义的另一个重要概念是集合在一点的外法线。当集合有光滑边界时，这个概念非常直观，在一般情形相当复杂。 给定点集Q，如下定义新的测度у墯Q:集合G关于у墯Q 的测度у墯Q(G)=у(Q∩G)。集合A在一点b的外法线是如下确定的一个单位向量u=n(A，b),当Q1为过b点且以u为法向的超平面围成的半空间(x-b)·u0时，,Q2为另一半空间(x-b)·u0时,。这个概念只含有点集A关于μn的测度论行为，而不用预先知道A的拓扑结构,甚至边界的概念也未提到。这样可塑的概念使高斯-格林公式推广到相当一般的程度:设集合A嶅Rn,令,。如果对每个紧集,那么对Rn上有紧集的每个李普希茨一阶向量场ξ，成立 。另一方面，若以BdryA记A的普通边界，那么在对Rn的每个紧集K，都有时,上述条件满足，从而推广的高斯-格林公式也成立。 整流 长期以来，人们就寻求着n维空间中“k维积分区域”的分析与拓扑的描述。这个概念应该保留微分流形的光滑性与整系数多面体链的组合性质所带来的好处，同时为满足变分的需要，这类区域应具有某种紧致性质。“整流”正是为这样的需要而产生。 设U 为Rn中的开集，以m(U)记紧支集落在U内的m 阶光滑微分形式全体。m(U)上的线性泛函称为m维流,其全体记为m(U)。流S ∈m(U)的支集sptS理解为U内的最小相对紧子集C, 使得对一切满足 sptφCU\C的 φ∈m(U ), 有S(φ)=0。流这个概念是由法国数学家G.-W.德·拉姆为研究霍奇理论而引入的。由于一个曲面决定于对定义在它上面的任意 m阶光滑微分形式的积分运算。因此m 维几何曲面可以分析地表示成一个流。特别地,由点α0,α1,…,αm生成的单纯形若落在U内,那么它也代表一个流。这种流的整系数线性组合，称为U中的一个整系数多面体链。如果一个流可以用整系数多面体链关于李普希茨映射的像来逼近，就称它为可求积流。利用边缘算子д可以构成新的流дS,定义为дS(φ)=S(dφ)。这里d为外微分运算，如果S与дS均为可求积流,就称S为整流。例如每个一维整流是总长度小于∞的有限多条单弧与可数条单闭弧的和。Rn 中的每个n维整流可表示成,其中e1,e2,…,en为Rn的切空间的标准基，A为使得推广的高斯-格林公式成立的勒贝格可测集。当1mn时，Rn中的m维整流是相当复杂的。但重要的是，由紧支集在同一有界集内且按某个范数有界的整流组成的集是紧的。正是这一点形成了变分学中新的几何方法。 如果流S可以表示成R+дT，R和T都是可求积流,就称S为整平坦链。利用边缘算子可以建立这类流的同调理论。它与局部李普希茨范畴内的、整系数的经典奇异同调论同构。但对于积分问题，相交理论等，这种链群明显地优于奇异链群。因为与奇异链不一样，一条平坦链与其分刈等同,这就简化了循环的构造,并得到较好的实系数上循环。不仅如此，还发现所谓的等周不等式不仅对经典的微分几何中某些特殊情形成立，而且对这种同调论有类似估计，这就将代数拓扑与测度论联系起来了。 可以用流的理论来研究普拉托问题，存在性定理表明极小曲面总是一个m维局部可求积流，即这样的流S∈m(U),对每个x∈U，总存在紧支集在U内的可求积流R，使x媂spt(S-R)。曲面的光滑性问题就是sptS的光滑性问题。若α∈sptS存在领域V嶅Rn,使V∩sptS为C2类m维子流形,就称α为正则点，否则就称奇点。由于几何测度论的发展,使高维普拉托问题取得重大进展。当m ≤6时极小曲面是光滑的,在m≥7时奇点集的h 维数不超过m-7。 类似于局部可求积流，可以定义局部整流，局部整平坦流。后者与流形上分析中的实解析子簇与复解析子簇有十分密切的关系。 弱可微函数 又称有界变差函数。Rn上光滑函数的可微性可以用这样的方法来刻画：对于Rn上有紧支集的李普希茨向量场ξ，成立 ，但是右边的积分并不一定要求?光滑,仅要求?局部μn可积。因此ξ(x)的这个线性泛函可以看成 ? 的测度论意义下的弱微分，只要它满足里斯表示定理的有界性假定。这种? 称作弱可微函数。开集上的弱可微函数全体记为BV(),则BV()按范数形成巴拿赫空间。弱可微函数曾在各种场合下出现，首先在勒贝格面积论，而后在偏微分方程论中，特别地，它是极小曲面的理论中的有力工具。 参考资料： 参考书目 H. Federer,Geometric Measure Theory,Springer-Verlag, Berlin, 1969.

ETH Zürich概况它继承了德语区学校低调的气质，实务的作风，同时在学术方面又将德语区其他大学远远甩于其后。它有着全球排名前二十学校的研究实力，名气却不如英美全球前二十学校。但若要列举其校友，恐怕没人会否认他作为全球顶尖大学的地位。首先是已收诺奖三十粒以上，且为首届世界数学家大会主办方。知名校友有：在数学领域有：集合论里的康托；闵可夫斯基；现代有：动力系统里的Moser；分析里的Ahlfors等；物理领域有爱因斯坦；泡利；X光的发现人、第一个诺贝尔物理学奖获得者伦琴等；计算机领域有冯诺伊曼；同时，光合作用、胡萝卜素、叶绿素、核磁共振等影响人类文明进程的重大科学发现也是由ETH的科学家所完成。尽管科学界造神的年代早已一去不复返，但ETH各路大牛仍然发保持着昔日的领军地位：基本各个领域都处于世界领先水平，尤其是建筑、生物、化学、物理、机械、计算机科学、数学等领域；各个实验室、研究小组均由大师带团。学校经费充足，3D打印机、论文数据库从来不缺；学费极其低廉，每年学费不到一万人民币；学生福利充足：食堂便宜，部分学生可以住进性价比高的学生宿舍，体育馆免费开放，低价开设许多户外课程；学校和教授提供大量TA、RA机会；博士平均工资全球最高。师资力量（部分）我在ETH Zürich选的课多集中于probability theory, stochastic analysis, mathematical finance。这三个领域外加actuarial mathematics，构成数学系第三组Gruppe3。本组大师云集，最近十年共有八位正教授（两位已退休，其中一位回德国当起了荣誉教授，现在常驻七位）在位，在各自领域几乎全是顶尖学者。Wendelin Werner2006年Fields Medal得主。Alain-Sol Znitmann巴黎高师毕业的法国纯概率学家，与法国著名概率学家Nicole El Karoui, Jean-Michel Bismut, Pierre Priouret, Marc Yor等人师出同门，研究random field, random walk, random media等，跟数学领域最高奖Fields Medal得主获奖者Pierre-Louis Lions合作过SDE with reflecting barrier；自己得过概率论学界的Davidson Prize。Paul Embrechts概率论与应用概率论大牛，学术界与金融、精算界通吃的数学家，ETH Risk Center老大，主攻风险管理领域需要的数学工具，比如Copula，Extreme Modeling，random measure，risk measure等，全球范围内在actuarial mathematics领域无出其右，在Copula等领域发的论文都是奠基之作，熟悉此方向的朋友请自行scholar.google。瑞士金融界，Basel Committee，Bachelier Finance Society等机构把他当神仙一样供着。主要写过两本书，第一本是Quantitative Risk Management: concepts. techniques and tools，我在投行工作的朋友说这本书是the book of QRM而不是a book of QRM。第二本是Modeling Extremal Events: for insurance and finance，引用次数已经达到5000+。学术网络覆盖全球所有顶尖学者，带过的博士学生多位成为欧美执教的大牛。Freddy Delbaen早年研究实分析和泛函分析，金融数学领域最高产的数学家，最重要的两篇文章分别奠定了风险度量和目前最一般的套利理论的基础（套利理论又是金融数学的基础），了解这个结论需要非常扎实的概率论和泛函分析功底。学生中成为顶尖专家的至少有三位，我所了解的这三位，一个是得过Fields Medal的Jean Bourgain, IAS@Princeton，二阶倒向随机微分方程的创始人Patrick Cheridito, ORFE@Princeton, affine processes领域最重要的人物Damir Filipovic, EPFL（很早也拿到了Princeton的tenure track assisant professorship）。学术杂志Mathematical Finance的荣誉顾问（一共就两三位）。晚年和做控制论和倒向随机微分方程的顶尖华人数学家合作，比如Shige Peng, Ying Hu, Shanjian Tang。熟悉此领域的朋友肯定知道这几人如雷贯耳的大名。Martin SchweizerETH科班出身，概率与金融数学学家，早期概率与金融数学学家Hans Follmer的学生，研究金融数学中的hedging问题应该是全球最好的学者，常年在诸多顶尖会议任plenar speaker，ETH金融数学杂志Finance and Stochastics主编。他做的学问极其理论，虽然文章都带金融背景，但实际上不是数学家基本没法看懂他的论文，只要金融问题一到他手上全部变成driven by semimartingale；发表的金融数学文章基本都在Annals of Probability, Annals of Applied Probability这类数学杂志上，也很有自己独特的风格。早年为了研究hedging而专门发展了一套approximating random variables by stochastic integrals的理论。也得过概率论领域的Davidson Prize。最近几年有数位学生在顶尖大学数学系任教，比如Columbia University的Marcel Nutz。他应该是目前Gruppe3授课水平最高的人，自己为几门概率课写过专门为ETH学生准备的教材；同时他也是典型的严谨到极致瑞士人：上课前只拿两张纸到教室，然后就不停地边讲解边板书，板书内容和讲义有几乎完全一致，只有每一小节结束的时候才会停下来看一眼讲义，然后继续讲。上课不允许违纪：曾经有一个同学上课小声讨论问题被轻微呵斥过。但私下是非常和蔼的大师，因为硕士论文是由他监督，所以有过几次私下会面的经历。Halil Mete Soner控制论、几何测度论大师Wandel Fleming的学生，当然自己也是控制论大牛，研究兴趣跨了多个数学分支，涉及控制论，非线性偏微分方程，微分几何，倒向随机微分方程等，也是二阶倒向随机微分方程的创始人。曾是ORFE@Princeton建系以来第一个Whytes' 55 Proefssor。在Brown Univeristy读博士是由美国国防部出资赞助。后来冷战结束，自己和在CMU的同事Steven Shreve（后来也成为大名鼎鼎的金融数学家）、Stanford的Darrel Duffie等巨匠做了不少金融数学中的随机控制问题。现任Bachelier Finance Society的Senior Secretary，任SIAM等诸多杂志Editor。前些年被挖至ETH。Josef Teichmann纯数学出身，曾在著名泛函分析与金融数学家Walter Schachermayer做postdoc。和affine processes的创始人、ETH毕业的博士Damir Filipovic研究affine processes，做的非常理论；同时也做stochastic partial differential equations，也是该领域的杰出学者。同时也研究affine processes和SPDE相关的利率理论，最近拿了个Bachelier Finance Society的大奖。做的非常理论和前沿，目前很少看懂他的论文。Hans Follmer还有几位年轻助理教授，都是有美国、法国、德国顶尖学校学术背景的佼佼者。下面一个conference的speaker list大致可以反应ETH在金融数学领域的地位。Methods of Mathematical Finance: a conference in honor of Professor Steven Shreve's 65th birthday.学制ETH每年有两个学期，每个学期持续12-13周，考试一般有两个session，一个是期末考试end-of-semester exam session；一个是exam session，与期末考试间隔开，一般在新学期开学之前；一般来说冬季的exam session在一月中旬到二月开学前；夏季的exam session在八月，也就是六月放假往后数两个月。这种考试安排直接的后果就是圣诞假期和暑假基本都处于复习的状态，也就是说全年很少有长假。课程只根据我的学习经历向大家介绍ETH的教学风格。我在ETH选过的课有Probability and Stochastic Analysis Category:Probability TheoryApplied Stochastic ProcessesBrownian Motion and Stochastic CalculusBackward Stochastic Differential Equations and ApplicationsLevy Processes and Continuous State Branching ProcessesStochastic Optimal ControlAn Introduction to the Modeling of ExtremesNumerical Analysis of Stochastic Differential EquationsNumerical Analysis of Stochastic Partial Differential EquationsMathematical Finance and Quantitative Risk Management Category:Mathematical Foundations for FinanceMathematical FinanceQuantitative Risk ManagementInterest Rate TheoryComputational Methods for Quantitative Finance: PDE MethodsMathematics Student Seminar: Efficient Numerical Methods for Option Pricing另外在隔壁苏黎世大学（UZH）学过的课有Finance and Economics Category:Financial EngineeringContinuous Time Quantitative FinanceEconomic Foundations for FinanceAdvanced Financial EconomicsExercises for Finance EconomicsAdvanced Financial EconomicsCredit RiskCounterparty Credit Risk ManagementResearch Seminar for Finance关于这些课程的部分内容，鄙人有两篇文章对其做了部分介绍，请戳随机过程、机器学习和蒙特卡洛在金融应用中都有哪些关系？ - 知乎用户的回答想成为一名宽客怎么选择读研学校以及专业？宽客的职业规划？ - 知乎用户的回答（以下使用首字母简写）这些应该属于金融数学大类的课，所有课程均由Gruppe3的教授及其团队讲授。相比美国、英国同类项目，ETH在这领域的教学和研究相当理论，从数学理论的深度来比较，欧美项目讲的深度基本只能到金融数学领域最基础的课MFF，FE和QRM的深度：MFF最终讲到semimartingale入门及其金融应用；FE会讲比较前沿的建模方法，比如affine-jump diffusions, Levy processes, time change以及variance swap, exotic options等derivatives；QRM会包括extreme modeling和copula。PDE for Finance是按Sobolev space理论来讲；NASDE在测度论和泛函的基础上严格证明所有随机积分的构建和性质，解的性质，数值算法的收敛理论等。ETH概率论与金融数学方向所有课程的基础是probability theory，始于测度论，大致是Probability: Theory and Examples, Rick Durret的简明版，除了measure theory, law of large numbers, central limit theorems之外会详细介绍discrete martingale的极限性质和收敛性质等。相对来说，ETH提供的应用课程不算太多，但actuarial mathematics领域有比较丰富的应用课程，同时也为业界人士准备。BMSC是通往高级随机分析的第一门课，以后打算在业界发展的学生已经不太需要这门课了。这门课相当于Protter, Marc Yor等人所著随机分析教材的入门版。Martin Schweizer教授教的BMSC内容大致包括: general theory of probability and stochastic processes, Feller processes, Markov processes, Brownian motion and properties, stochastic integral, semimartingale, Ito's formula，stochastic differential equations and PDEs, (generalized) backward stochastic differential equations, Levy processes。记得前几课时随机过程一般理论讲的比较抽象；几乎所有定理和性质全给证明，是比较规矩的数学课。BSDEs，SOC，SPDEs, MF等课已经超出绝大多数数学硕士认知的范畴，基本是给数学博士或者有志于攻读博士学位的硕士开的专题课，大体内容是讲数学paper，一般鲜有硕士来上：比如BSDEs课上就我一个硕士，博士坚持到最后的也只有一人（其中缘由可能是授课老师是个口语不好的中国post-doc）；SOC可能有4个硕士4个博士；SPDEs大概有3个硕士4个博士。2014年春季学期为LP&CSBP单独开了一门课，讲的不难，花了几课时讲了非常有趣的Continuous State Branching Processes（与金融里的affine processes有很多关联）。MF课上基本就是读概率论和金融数学领域的前沿paper，需要BMSC为先修课程外加较好的测度论、泛函分析基础才能懂里面的semimartingale和沿着semimartingale的随机积分理论以及几个非常复杂的金融数学定理，涉及最广义的Fundamental Theorem of Asset Pricing under Semimartingale，Convex Duality，甚至BSDEs等。MF2013年出了一个比较潦草的PDF讲义，请戳，内容大致是Semimartingale TheoryMathematics of Arbitrage in Discrete ModelMathematics of Arbitrage under SemimartingaleSuper-replicationUtility Maximization: Stochastic Control Approach and HJB EquationUtility Maximization in Discrete Model: Convex Duality ApproachUtility Maximization under Semimartingale: Convex Duality ApproachNASPDEs更加理论，这门课与金融数学有一定关系但学习金融数学的学生已经不上这课了，可以认为是纯概率或者纯数值分析课程，主要讲Banach space上的随机微分方程理论及其数值方法。Seminar的上法是：老师分配论文给各个学生，学生弄明白以后要做slides和presentation，涉及数值方法的还要编程跑程序演示结果。我去年做的是一种新颖的基于傅立叶变换的期权定价方法：Option Pricing under affine processes and Levy processes with Fourier-cosine method, and applications in European option and exotic option pricing.Talk and ConferenceGruppe3主导的Talks in Probability, Talks in Financial and Insurance Mathematics, Risk Center基本每周都有全球各地的speaker讲他们的最新成果；每年都有各种各样的学术会议，比如2012年为Freddy Delbaen庆生搞了个perspectives in probability and analysis: conference in honor of Freddy Delbaen，请遍所有顶尖专家。2013年与京都大学搞概率随机的团队分别在苏黎世和京都搞了conference；此外每年九月都有Risk Day，都是由全球顶尖的概率与金融数学家主持。ETH主办金融数学杂志Finance and Stochastics，是金融数学和应用概率界水平不错的杂志，主编是Martin Schweizer。Editorial Board成员也包括了北美、欧洲主要大牛。作业2013年以前是作业累计分数达到60%－80%（根据课程来定），才有资格考试。作业难度较大，一学期若有三门课有作业，那基本一直在赶deadline。后来据说每学期一般四到六门课有作业的本科生抱怨很大，于是取消了这一制度。考试基础课以笔试为主要形式，有些会有期中考时，有些会有上机考试。笔试题量非常大，如果对教材不能倒背如流，那是很难完成所有题目的。其他课以口试为主：教授一般会把考生叫到办公室，然后一对一，一问一答，一般会带一个博士做笔录；有时候会要你在黑板上板书，有时候会让你在纸上写；有些教授变态到要求全部细节，比如Alain-Sol Znitmann，有些教授只要求你掌握其核心思想，比如Halil Mete Soner，有一些书写失误则不影响分数。排除运气成分，拿满分的必要条件是能理解并记忆讲义里的所有内容，几乎达到可以给学生讲课的水平。ETH数学专业的学生随着年级的升高，平均分会越来越高，部分原因是不合格的已经逐渐被淘汰了；所以能拿到本科学位并且进入硕士阶段学习的ETH学生都非常强悍，以至于认识他们之后大家都嫌弃自己不是ETH本科出身。论文所有项目都需要写论文，硕士论文30学分，大概占总学分的1/3或者1/4（根据专业来定），时间5-6个月；可以自己联系教授做supervisor，也可以去业界做和应用相关的项目。论文推荐的工作时间是每周60小时左右，应该算是很大的工作量。一般来说，教授会根据学生的兴趣给出需要看的论文清单，然后学生在规定时间内全面理解该论文对应的问题，并能写出一片清晰、易读、完整的学位论文。每个专业总有几个学生能做出新东西并发表在国际杂志。奖学金、工资ETH向少量硕士生提供奖学金。根据我目前的了解，本科阶段研究水平极其突出的人，有很大几率拿到硕士全额奖学金。关于申请奖学金，一般要求在申请的时候写research proposal，如果写的非常牛，牛到直接可以当做个问题做下去，甚至可以成为硕士论文、博士阶段的研究方向，是可以拿到奖学金的。另外，和ETH学术联系紧密的FDU、NUS等校的学生相对容易拿到。博士生工资相当高，当然也看具体专业吧。化学等似乎稍微少点，数学比较多，可能是因为不需要实验器材的缘故。也有不少公派博士。

1959年，生于浙江省宁波镇海十七房郑家河跟沿。1981年，于浙江大学数学系毕业，后赴美国留学。1985年，获美国明尼苏达大学数学博士学位。1985-1987年间，在美国纽约大学科朗研究所任助教。1988年，始任芝加哥大学数学系正教授(时年仅29岁)。1989年，回到纽约大学，任科朗研究所终身教授。

林芳华在几何测度论、偏微分方程、几何分析等数学领域有突出的贡献，特别是在液晶(liquid crystal)晶格组合的方程性质方面，有很大学术成就，被公认为是这一方面的代表。

1990年，在日本京都举行的国际数学家大会上，时年仅31岁的林芳华被邀请作大会45分钟学术报告。这是继数学家吴文俊、陈景润被邀作报告后(均在文革期间，惜未能成行)，时隔10多年之久终于又有中国数学家被邀请在国际最高级别的数学家大会上作报告。

林芳华最近的研究工作主要集中在刻划超导、超流物理性质的金兹堡-朗道方程(Ginzburg-Landau Equation)方面，以及在调和映照方面。

2005年，当选为美国科学与艺术院院士

2004年，陈省身奖(第三届世界华人数学家大会)

2002年，美国数学会Bocher奖(Bocher Memorial Prize，与陶哲轩及Daniel Tataru同时获奖)

基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学。这是具体的专业，如果是研究方向的话，要看各自学校的导师构成和研究方向决定了。比如基础数学里面研究方向可以有：01偏微分方程及其在物理、生物和医学中的应用02偏微分方程一般理论、微局部分析03奇异偏微分方程理论04复与超复边界行为05多复变函数论06Boltzmann方程07非线性双曲守恒律组08动力学方程数学分析理论09李群上的调和分析10函数空间及其上的算子理论11奇异积分方程数值方法12分形几何13泛函分析及其应用14算子空间，量子概率15Hp鞅论16几何分析17代数几何18动力系统及遍历理论19复几何20几何测度论21微分几何22奇异流形上的分析23李群与李代数24矩阵分析及其应用25数理经济26微分拓扑与奇点理论