最小二乘法毕业论文博客

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最小二乘法是通过使因变量的观测值与估计值之间的离差平方和达到最小来估计µº和µ¹的方法。1、最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。2、利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

参差平方和最小

最小二乘估计的基本原理

对于x和y的n对观察值，用于描述其关系的直线有多条，究竟用哪条直线来代表两个变量之间的关系，需要有一个明确的原则。

这时用距离各观测点最近的一条直线，用它来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其它任何直线都小。根据这一思想求得直线中未知常数的方法称为最小二乘法，即使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得µº和µ¹的方法。

例子

已知有一个这样的方程组：

Ax=bAx=b

其中A∈Rm×nA∈Rm×n ; x∈Rn×kx∈Rn×k, b∈Rm×kb∈Rm×k

当 m=nm=n 时，且 ranA=nranA=n 时，这是一个适定方程组，有唯一解 x=A−1bx=A−1b

当 m

而相应的ran(A)ran(A) 中的这个向量就是 bb 在空间 ran(A)ran(A) 中的投影。

当 m>nm>n 时，即方程的个数大于未知数的个数，最小二乘超定系统问题。超定问题是最小二乘的关键，最小二乘的的意思就是最小化残差(residual)的平方和。

给定 mm 个数据，(a1,b1)(a1,b1), (a2,b2)(a2,b2),…,(am,bm)(am,bm), 以及一个模型函数 b=f(a,x)b=f(a,x) ，其中{x1,x2,...,xn}{x1,x2,...,xn}就是要估计的参数，该参数的估计就是通过最小化如下残差的平方和求得：

S=∑mi=1∥bi−f(ai,xi)∥2S=∑i=1m‖bi−f(ai,xi)‖2

其中残差为 ri=bi−f(ai,xi)ri=bi−f(ai,xi) 根据残差函数关于未知参数是否线性，可以最把小二乘分为线性最小二乘和非线性最小二乘。

参考资料来源：百度百科-最小二乘法

最小二乘法毕业论文

最小二乘方法最早是有高斯提出的，他用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。假如想了解某个地方的月降雨量，一个月的观测当然不够，任何一个月都可能是异常晴朗或异常多雨。相反，人们应该研究几个月或至少一年甚至十年，并将所有数据加以平均。平均的结果对任何一个具体的月份并不一定能完全符合，但凭直觉，这个结果所给我们的标准降雨量图形将比只研究一个月所得到的结果要准确得多。这个原理在观察和实验科学领域是通用的。它是通过多次测量消除测量误差及随机波动。木匠的格言“量两次，再下手”也正是这个常识的一个例子。在降雨的例子中，我们用一个数来代表或一定程度地近似整个测定数据的效果。更一般的，鉴于各种理论和实际的原因，常用低维来近似说明高维的对象。在下面几种工作中都可以采用这个方法，象消除误差或忽略无关细节，从干扰数据中提取信号或找出趋势，将大量数据降低到可管理的数量或用简单的近似来代替复杂函数。我们并不期望这个近似值多么精确，事实上，在许多时候它也不用很精确。但尽管如此，我们还是希望它能保持对原始数据的相似之处。在线性代数领域，我们希望将一个高维空间的向量投影到低维子空间，完成这个工作的最普遍和最便于计算的方法之一就是最小二乘法。

当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。这是我为大家整理的关于圆的学术论文，仅供参考!

无以圆心,何以圆

[摘 要]道德和法律就好比圆心与圆，道德为圆心，法律为圆圈，没有圆心，作不出圆，也没有无圆心的圆，即，没有道德则作不出法律，也没有不以道德为支撑的法律。正所谓“法的生发起点在于道德，法的价值核心也在于道德，从某种意义上说，法就是基本道德的国家强制。”同时“法律的自觉遵守的落脚点实为一种道德自律”。

[关键词]法律;道德;道德支撑

一、道德与法的含义

法就是以权利义务为内容的、具有概括性并且由公共权力机构制定或者认可的、以国家强制力为后盾，通过法律程序保证实现的、用以约束和调整人们日常行为的社会规范。

道德是关于人们思想和行为的善恶、美丑、正义与非正义、公平与偏私、诚实与虚伪、荣誉与耻辱等观念、规范、原则和标准的总和。道德是人们最熟悉的一种社会现象，每个人处处生活在各种道德关系中。它是做人的根本，也是社会文明进步的重要标准之一。[1]

二、简述道德与法的异同

现代意义上的道德就是关于人们思想和行为善恶、美丑、正义与非正义、公正与偏私、诚实与虚伪、荣誉与耻辱等观念、规范，原则和标准的总和，是构建和谐社会重要准则之一。关于法与道德的联系，主要是在本质、功能、内容上存在着相互一致的地方。因此，在构建和谐社会中起直接和间接的作用。对市场经济，政治体制改革都起着规范和引导作用。

三、关于法律的道德支撑问题的分析

(一)自然法学派与实证法学派的主张

1.自然法学派关于法律与道德关系的基本观点

自然法观念成熟于古罗马时期，它的渊源可以追溯到古希腊荷马时代。而在近代，格劳秀斯是第一个比较系统论述自然法问题的思想家，其理论贡献之一在于他把法学从神学中分离出来，使法学摆脱了中世纪神学的桎梏而获得了独立的地位，为人本主义的自然法理论奠定了基础。他的那句“上帝不存在，自然法仍将存在”的名言，廓清了笼罩在自然法问题上的神学迷雾，否定了上帝之永恒法高于自然法的神学法观念。[2]

2.实证法学派对于法律与道德的基本理解

与自然法学派相对立的是实证法学派，在这个问题持有完全不同的见解。他们质疑自然法学派所主张的法律与道德之间的必然联系，认为这种关系只是一种“错觉”。实证主义法学家主张区分“应该”和“是”，认为法理学应当致力于研究法律实际上“是”什么，而不是它“应该”是什么。在道德信仰已然瓦解的情况下，实证主义法学否定法律与道德之间的必然联系、反对将法律作为道德的附庸也就顺理成章。[3]

(二)我国思想家对法律的道德支撑问题的基本主张

1.德治的主张者和法家的主张

一个饶有意味的情形是，德治的操作和论证往往建立在下面两个前提之上：其一，法和道德的工具主义，其共同本质在于不以人为目的;其二，法不具有道德价值和属性。历史上德治主张者主张德治天下，不主张法治于民，认为德为教化，法为刑杀，不益于安享太平和长治久安;尽管两家均有其理，但将法律与道德对峙起来，实为偏激。

2.法治论者的主张

我国古代思想家及统治者们强调道德、礼仪在治理社会中的核心规则作用，这是由自给自足的自然经济形态所决定的。自然经济要求人们固守在土地上，人与土地等不动产的结合是创造财富和人们赖以生存的基本条件，统治者所期望的是一个秩序井然的社会，他们把秩序作为法与道德所追求的首要目标。这突出体现在宪法中明确将尊重社会公德规定为公民的基本义务，民法通则中将公序良俗原则确立为民法的基本原则。[4]

(三)法律的运行过程需要道德支撑

1.立法过程需要道德支撑

道德的法律化是中西立法实践中常见的现象，其实质是把一些道德义务转化为法律义务，把道德原则转化成法律原则。立法产生的法乃是法中极小的一部分，而法律又是道德基础之上的社会规范体系，故此立法过程非常需要道德这一大的环境来支撑。作为良法，一般都要体现正义的追求、对人类幸福的追求、对法治实现的追求。也正因有了道德灌注于法律中并作为精神支柱，法律才有意义和生机。[5]

2.执法与司法过程需要道德支撑

执法与司法过程中主要有两个方面，一是恪守实体法与道德正义的冲突;二是恪守程序法与道德上正义的冲突。执法体系是由不同机关组织的执行法律而构成的互相分工与配合的和谐整体，我国行政执法要求遵循合法性原则、合理性原则、高效率原则、正当程序原则等;司法是国家司法机关依据法定职权和法定程序，具体应用法律处理案件的专门活动，其过程中必须遵循法治原则、平等原则、司法独立原则、司法责任原则等。[6]

四、案例解析

众所周知留日学生机场刺母事件阴霾还未褪尽，学生砍杀父母致一死一伤的血案，为何接连发生这样的恶性事件?究其本质，当事学生游离于社会道德体系之外，原因主要有三：一是我们家长灌输给孩子的思想是“只要学习好，啥都不重要”，这也就滋长了孩子的骄纵之情，让孩子觉得他的一切要求家长都应该满足。二是唯分数论英雄的应试教育疏忽了学生的社会道德培育，自然学生人格塑造也就多了一份功利，少了一些社会责任。三是我们家长与孩子之间缺乏了最起码的沟通，他们认为只要孩子穿得好、吃得好、上的学校好，孩子们就很知足了、很高兴了、很幸福，其实他们跟本不知道孩子们心里是怎么想的，他们最需要什么，这样孩子的人格塑造自然也就出现了短板。[7]

广东“小悦悦事件”之后，有很多人认为健全和完善社会道德的自我救济和相关司法制度成了

当务之急，又有不少人认为道德与法律根本是两个范畴事情，不能靠法律来挽救道德。

笔者认为法律不仅仅是一把利剑，法律和道德更是一条双行线，下面一条是我们所公认的道德底线，以惩处和减少犯罪;而上面那条则应该就是道德的保障，它防止的是社会道德和公共诚信的流失。同时，在立法本质上，道德是圆心，法律是圆圈，法律的制定与实施离不开道德这个圆心的定位与支撑，道德的弘扬与传承离不开法律这个圆圈的强制与规圈。因此，无以圆心，何以圆，没有道德做底线，法律也不能够空洞的存在。

[参考文献]

[1]巴尔.三种不同竞争的价值理念体系[J].现代外国哲学社会科学文摘,1993.

[2] 刘泽君.论法的价值取向[J].北方工业大学学报. 1997(04) .

[3]博登海默.法理学:法律哲学与法律方法[M].邓正来・北京:中国政法大学出版社:18.

[4]庞德.通过法律的社会控制―――法律的任务[M].北京:商务印书馆,1984:73.

[5]谷口安平.程序正义与诉讼[M].北京:中国政法大学出版社,1996:5.

[6]米而恩.人的权力与人的多样性―――人权哲学[M]:35.

[7]丹宁勋爵.法律的正当程序[M].,杨百揆,刘庸安.北京:群众出版社,1993:60.

[作者简介]郭三龙(1980―)，男，甘肃庆阳人，甘肃林业职业技术学院教师，讲师，主要从事法学、森林保护专业课程的教学与研究工作。

圆曲线测设

摘要：在公路、铁路的路线中，一般是在测设出曲线各主点后，随之在直圆点或圆直点进行圆曲线详细测设。本文通过仪器安置不同地方进行多种，提出了交点偏角法详细测设圆曲线的 方法 ，其中主要运用了偏角法测设法。

关键词：安置 交点 偏角法 圆曲线 测设

前 言

《礼记》有云：大学之道，在明德，在亲民。在提笔撰写我的毕业设计 论文的时候，我也在向我的大学生活做最后的告别仪式。我不清楚过去的一切留给现在的我一些什么，也无从知晓未来将赋予我什么，但只要流泪流汗，拼过闯过，人生才会少些遗憾!

非常幸运能够加入水利工程这个古老而又新兴的行业，即将走向 工作岗位的时刻，我仿佛感受到水利行业对我赋予新的 历史 使命，水利是一项以除害兴利、趋利避害，协调人与水、人与大 自然 关系的高尚事业。水利工作，既要防止水对人的侵害，更要防止人对水的侵害;既要化解自然灾害对人类生命财产的威胁，又要善待自然、善待江河、善待水，促进人水和谐，实现人与自然和谐相处。这种使命，更让我用课堂中的知识用于实际生产中来。特别是这两个月来的毕业设计，我越发感觉到学会学精测量基础知识对于我贡献水利是多么的重要。所以，我越发不愿放弃不多的大学时光，努力提高自己的 实践动手能力，而本学期的毕业设计，为我提供了绝好的机会，我又怎能放弃?

刚刚从老师那里得到毕业设计的题目和任务时，我的心里真的没底。作为毕业设计的主体工作，我们主要运用 电子 水准仪对某幢 建筑物进行变形观测与 计算 ，布设控制点进行平面控制测量和高程控制测量;用全站仪进行了中心多边行角度和距离的测量，并用条件平差原理进行平差，通过控制点的放样来计算土的挖方量，还有圆曲线的计算与测设。而我 研究 的毕业课题是。

大学的最后一个学期过得特别快，几乎每天扛着仪器，奔走在校园的每个角落，生活亦很有节奏。今天我提笔写毕业论文，我的毕业设计也接近尾声。不管成果如何，毕竟心里不再是没底了，挑着两个多月的辛苦换来的数据和成果，并不断的完善他们，心里感觉踏实多了。

在本次毕业设计论文的设计中要感谢水利系为我们的工作提供了测量仪器，还有各指导老师的教导和同学的帮助。

开 题 报 告

一、研究课题：《微分曲线的 应用 》

二、学科地位和研究应用领域

1.学科定义

工程测量学是研究地球空间中具体几何实体的测量描绘和抽象几何实体的测设实现的 理论 方法和技术的一门应用性学科。它主要以建筑工程、机器和设备为研究服务对象。

2.学科地位

测绘 科学 和技术(或称测绘学)是一门具有悠久历史和 现代 发展 的一级学科。该学科无论怎样发展,服务领域无论怎样拓宽,与其他学科的交叉无论怎样增多或加强,学科无论出现怎样的综合和细分,学科名称无论怎样改变,学科的本质和特点都不会改变。

3.研究应用领域

目前 国内把工程建设有关的工程测量按勘测设计、施工建设和运行 管理三个阶段划分;也有按行业划分成:线路(铁路、公路等)工程测量、水利工程测量、桥隧工程测量、建筑工程测量、矿山测量、海洋工程测量、军事工程测量、三维 工业 测量等,几乎每一行业和工程测量都有相应的著书或教材。

国际测量师联合会(FIG)的第六委员会称作工程测量委员会,过去它下设4个工作组:测量方法和限差;土石方计算;变形测量;地下工程测量。此外还设了一个特别组:变形 分析 与解释。现在,下设了6个工作组和2个 专题组。6个工作组是:大型科学设备的高精度测量技术与方法;线路工程测量与优化;变形测量;工程测量信息系统;激光技术在工程测量中的应用;电子 科技 文献 和 网络 。2个专题组是:工程和工业中的特殊测量仪器;工程测量标准。

工程测量学主要包括以工程建筑为对象的工程测量和以设备与机器安装为对象的工业测量两大部分。在学科上可划分为普通工程测量和精密工程测量。

工程测量学的主要任务是为各种工程建设提供测绘保障,满足工程所提出的要求。精密工程测量代表着工程测量学的发展方向,大型特种精密工程建设是促进工程测量学科发展的动力。

工程测量仪器的发展工程测量仪器可分通用仪器和专用仪器。通用仪器中常规的光学经纬仪、光学水准仪和电磁波测距仪将逐渐被电子全测仪、电子水准仪所替代。电脑型全站仪配合丰富的 软件,向全能型和智能化方向发展。带电动马达驱动和程序控制的全站仪结合激光、通讯及CCD技术,可实现测量的全自动化,被称作测量机器人。

三、工程测量理论方法的发展

1.测量平差理论最小二乘法广泛应用于测量平差。最小二乘配置包括了平差、滤波和推估。附有限制条件的条件平差模型被称为概括平差模型,它是各种经典的和现代平差模型的统一模型。测量误差理论主要表现在对模型误差的研究上,主要包括:平差中函数模型误差、随机模型误差的鉴别或诊断;模型误差对参数估计的 影响 ,对参数和残差 统计性质的影响;病态方程与控制网及其观测方案设计的关系。由于变形监测网 参考 点稳定性检验的需要,导致了自由网平差和拟稳平差的出现和发展。观测值粗差的研究促进了控制网可靠性理论,以及变形监测网变形和观测值粗差的可区分性理论的研究和发展。

2.工程控制网优化设计理论和方法网的优化设计方法有解析法和模拟法两种。解析法是基于优化设计理论构造目标函数和约束条件,解求目标函数的极大值或极小值。一般将网的质量指标作为目标函数或约束条件。模拟法优化设计的软件功能和进行优化设计的步骤主要是:根据设计资料和地图资料在图上选点布网,获取网点近似坐标(最好将资料作数字化扫描并在微机上进行)。值精度,可进一步模拟观测值。计算网的各种质量指标如精度、可靠性、灵敏度。

3.变形观测数据处理工程建筑物及与工程有关的变形的监测、分析及预报是工程测量学的重要研究 内容 。其中的变形分析和预报涉及到变形观测数据处理。但变形分析和预报的范畴更广,属于多学科的交叉。

(1)变形观测数据处理的几种典型方法根据变形观测数据绘制变形过程曲线是一种最简单而有效的数据处理方法,由过程曲线可作趋势分析。如果将变形观测数据与影响因子进行多元回归分析和逐步回归计算,可得到变形与显著性因子间的函数关系,除作物理解释外,也可用于变形预报。

(2)变形的几何分析与物理解释传统的方法将变形观测数据处理分为变形的几何分析和物理解释。几何分析在于描述变形的空间及时间特性,主要包括模型初步鉴别、模型参数估计和模拟统计检验及最佳模型选取3个步骤。变形监测网的参考网、相对网在周期观测下,参考点的稳定性检验和目标点和位移值计算是建立变形模型的基础。变形模型既可根据变形体的物理力学性质和地质信息选取,也可根据点场的位移矢量和变形过程曲线选取。

(3)变形分析与预报的系统论方法用现代系统论为指导进行变形分析与预报是目前研究的一个方向。变形体是一个复杂的系统,它具有多层次高维的灰箱或黑箱式结构,是非线性的,开放性(耗散)的,它还具有随机性,这种随机性除包括外界干扰的不确定性外,还表现在对初始状态的敏感性和系统长期行为的混沌性。此外,还具有自相似性、突变性、自 组织性和动态性等特征。

四、工程测量学的发展展望展望21世纪,工程测量学在以下方面将得到显著发展:

1.测量机器人将作为多传感器集成系统在人工智能方面得到进一步发展,其应用范围将进一步扩大,影像、图形和数据处理方面的能力进一步增强;

2.在变形观测数据处理和大型工程建设中,将发展基于知识的信息系统,并进一步与大地测量、地球物理、工程与水文地质以及土木建筑等学科相结合,解决工程建设中以及运行期间的安全监测、灾害防治和 环境保护的各种 问题 。

3.工程测量将从土木工程测量、三维工业测量扩展到人体科学测量,如人体各器官或部位的显微测量和显微图像处理;

4.多传感器的混合测量系统将得到迅速发展和广泛应用,如GPS接收机与电子全站仪或测量机器人集成,可在大区域乃至国家范围内进行无控制网的各种测量工作。

、GIS技术将紧密结合工程项目,在勘测、设计、施工管理一体化方面发挥重大作用。

6.大型和复杂结构建筑、设备的三维测量、几何重构以及质量控制将是工程测量学发展的一个特点。

7.数据处理中数学物理模型的建立、分析和辨识将成为工程测量学专业 教育 的重要内容。综上所述,工程测量学的发展,主要表现在从一维、二维到三维、四维,从点信息到面信息获取,从静态到动态,从后处理到实时处理,从人眼观测操作到机器人自动寻标观测,从大型特种工程到人体测量工程,从高空到地面、地下以及水下,从人工量测到无接触遥测,从周期观测到持续测量。测量精度从毫米级到微米乃至纳米级。

工程测量学的上述发展将直接对改善人们的生活环境,提高人们的生活质量起重要作用。文 献 综 述

一、圆曲线的详细测设

在各类线路工程弯道处施工，常常会遇到圆曲线的测设 工作。 目前 ，的 方法 已有多种，如偏角法、切线支距法、弦线支距法等。然而，在实际工作中测设方法的选用要视现场条件、测设数据求算的繁简、测设工作量的大小，以及测设时仪器和工具情况等因素而定。另外，上述的几种测设方法，都是先根据辅点的桩号(里程)来 计算 测设数据，然后再到实地放样。因此，在实际工作中利用上述传统测设方法，有时会因地形条件的限制而无法放样出辅点(如不通视或量距不便等)，或放样出的辅点处无法设置标桩。

在本次毕业设计的 论文课题中介绍的几种的新方法，不仅计算简单、测设便捷，而且可在不需要知道曲线上某点里程的情况下进行，从而避免了按预先给定的曲线点反算的测设数据放样不通视而转站的麻烦。同时，利用本文介绍的新方法，还可以根据线路工程施工进度的要求，灵活地选择性地放样出部分曲线;也可以用于快速地确定曲线上某一加桩的位置;若用于线路验收测量，则更加方便，验测结果更具有代表性、更可靠。

二、全站仪在任意站测设圆曲线及方法交点偏角法测设方法

用全站仪任意站测设圆曲线，安置一次仪器就能完成全部工作。虽然外业计算麻烦，但对于不能设站的转点，可谓方便灵活。但它的不足之处仍然是计算烦锁，对于不熟悉内业的外业工作者，很难实际操作。如果利用一些程序计算器，编制输入：AB 的四组坐标和半径、九个数据的程序，可迅速得出放样数据，简化了外业工作。

为了放样工作的便利,可在平面控制网中纳入一些放样点,构成GPS同级全面网。由于放样点间距离较近,在进行同步环和闭合环检验时可仅考虑各分量的较差,而不考虑相对闭合差。因为,用相对闭合差来衡量是不合理的。由于GPS接收机的固定误差,相位中心偏差以及观测时的对中误差均在1mm～5mm之间,对于几十米的短边,其相对闭合差值势必较大。3)平面控制网的设计主要考虑独立基线的选择以及异步闭合环的设计,要考虑构成尽可能多的闭合图形,并将网中处于边缘的观测点用独立基线连接起来,形成封闭图形。

同理，采用上述思路，也可测设缓和曲线。

在道路、渠道、管线等工程建设中，受地形、地质等条件的限制，线路总是不断转向。为使车辆、水流等平稳运行或减缓冲击，常用圆曲线连接，因而是线路测设的重要 内容 。在公路、铁路的路线中,一般是在测设出曲线各主点后,随之在直圆点或圆直点进行圆曲线详细测设。其测设的方法很多,诸如偏角法、切线支距法、弦线支距法、延弦法等。这些方法有一个共同点:均是在定测阶段放样出的线路交点处设站,以路线后视方向定向,在实地定出曲线主点,然后将仪器置于曲线主点(一般是在曲线起点)处,以路线交点为后视方向定向,进行圆曲线详细测设。这些方法在实际施测过程中,由于各种地形条件的限制以及施测方法的特点,可能会出现以下三种情况:

(1) 在曲线主点处无法设站。

(2) 后视方向太近,定向不准。

(3) 误差积累较大。

为此,在交点可以设站的情况下,可以采用一种新的测设方法—交点偏角法。

本文提出的交点偏角法详细测设圆曲线方法,从上述的计算,测设的方法得知,它具有以下优点:

(1)计算方便、工作量省、易于实现公路测量的自动化。从上述公式推导得知,只要知道待测设点至圆曲线中点间的弧长,便可计算出测设所需的数据;而且上述情况和的计算偏角和待测设点至交点水平距离公式相同,只是外矢距的计算方法不同,容易通过 计算机 语言编程实现公路测量的自动化。另外,本方法不需在圆曲线主点重新设站,可以在测设圆曲线主点时,同时进行圆曲线详细测设,故工作量省。

(2)测设方法简易、易于达到较高的测设精度。一般的测设方法是在交点处设站测设出圆曲线的主点后,再在ZY(或YZ)点设站,以交点方向定向进行圆曲线细部测设。由于圆曲线主点难免会存在误差,因此测设出的圆曲线误差会更大;而且在主点设站,后视方向可能较近,定向不准。而交点偏角法只需在交点设站,以线路后视方向定向,容易达到较高的测设精度。

用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维这个结果所给我们的标准降雨量图形将比只研究一个月所得到的结果要准确得多。这个原理在观察和实验科学领域是通用

论文研究方法最小二乘法

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一、OLS可以在内生变量和外生变量上用的，操作方式一样的。二、R平方代表的是模型对数据的拟合程度好不好，一般来说R方越大越好，但R方是会随着解释变量的增加而增大的，所以一般我们会看adjust R方，这个值越大越好。F值是检验模型显著程度的，F值后面对应的P值接近与0最好了。三、bivariate correlation是偏相关系数，和相关系数是不一样的，所以值当然也是不一样的，但他们都能表示变量之间的相关性。看哪个都可以的。

乘法是指将相同的数加起来的快捷方式，其运算结果称为积。乘法是算术中最简单的运算之一，最早来自于整数的乘法运算。乘法是算术中最简单的运算之一。 最早来自于整数的乘法运算。什么是乘法乘法是四则运算之一乘法是指一个数或量，增加了多少倍。例如4乘5，就是4增加了5倍率，也可以说成5个4连加。“小九九”的由来《九九乘法歌诀》，又常称为“小九九”。现在学生学的“小九九”口诀，是从“一一得一”开始，到“九九八十一”止，而在古代，却是倒过来，从“九九八十一”起，到“二二得四”止。因为口诀开头两个字是“九九”，所以，人们就把它简称为“九九”。大约到13、14世纪的时候才倒过来像现在这样“一一得一……九九八十一”。中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在“春秋”、“战国”的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。

数据拟合的最小二乘法毕业论文

最小二乘法是回归分析的一种标准方法，它通过最小化每个方程式结果中的残差平方和来近似超定系统（方程组多于未知数的方程组）。

回归分析（regression analysis)指的是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。

最重要的应用是数据拟合。 最小二乘意义上的最佳拟合将残差平方的总和最小化（残差为：观察值与模型提供的拟合值之间的差）。 当问题在 自变量（x变量）中具有很大的不确定性 时，则简单回归和最小二乘法会出现问题。 在这种情况下，可以考虑拟合 变量误差模型 所需的方法，而不是最小二乘法。

最小二乘问题分为两类：线性或 普通最小二乘 和 非线性最小二乘 ，这取决于 残差在所有未知量中是否是线性的 。线性最小二乘问题发生在 统计回归分析 中，它有 解析解 。非线性问题通常是通过迭代优化来解决的，每次迭代系统都近似为线性系统，因此两种情况下的计算核心是相似的。

多项式最小二乘法 将因变量预测中的方差描述为自变量函数与拟合曲线的偏差。

当观测值来自 指数族 且满足温和条件时，最小二乘估计和 最大似然估计 是相同的。最小二乘法也可以由 矩估计 的方法导出。

下面的讨论主要是以 线性 函数的形式提出的，但是最小二乘法的使用对于更一般的函数族是有效和实用的。同时，通过迭代地应用局部二次逼近似然（通过 Fisher 信息 ），最小二乘法可用于拟合 广义线性模型 。

最小二乘法通常归功于 卡尔·弗里德里希·高斯 （Carl Friedrich Gauss，1795），但它首先由 阿德里安·玛丽·勒让德 （Adrien Marie Legendre，1805）发表。

目标包括调整模型函数的参数以最适合数据集。 一个简单的数据集由n个点（数据对） 组成，其中 是自变量， 是由观测值获得的因变量。模型函数具有 ，在向量 中保持m个可调参数。目的是为“最佳”拟合数据的模型找到参数值。 模型对数据点的拟合度通过其残差来度量，残差定义为因变量的实际值与模型预测的值之间的差： ，最小二乘法通过最小化残差平方和S来寻找最佳参数值： ，二维模型的一个例子是直线模型。y轴的截距表示为 ，斜率为 ，模型函数由 ，请参见线性最小二乘法，以获取该模型的完整示例。

一个数据点可以由多个自变量组成。例如，当将一个平面拟合到一组高度测量值时，平面是两个自变量的函数，例如x和z。在最一般的情况下，每个数据点可能有一个或多个自变量和一个或多个因变量。

下图是一个是一个残差图，说明了 的随机波动，显示了 这个线性模型是合适的， 是一个随即独立的变量。

如果残差点具有某种形状并且不是随机波动的，线性模型就不合适。例如，如果残差图如右图所示为抛物线形状，则为抛物线模型 对数据更加合适。抛物线模型的残差可以通过 计算。

这种回归公式只考虑因变量中的观测误差（但是可替代的 全最小二乘 回归可以解释这两个变量中的误差）。有两种截然不同的语境，具有不同的含义：

通过设置梯度为0求得平方和的最小值。因为模型包含m个参数，因此有m个梯度方程： 由 ，梯度方程可以推导为： 梯度方程适用于所有最小二乘问题。每一个问题都需要模型及其偏导数的特殊表达式。

当模型由参数的线性组合组成时，回归模型是线性模型，即： 式中 是x的函数。 令 ，并将自变量和因变量转换为矩阵X和Y，我们可以按以下方式计算最小二乘，注意D是所有数据的集合。 通过将损失梯度设置为零并求解 ，可以找到最小值。 最后，将损失的梯度设置为零，并求解 ，我们得到：

在某些情况下非线性最小二乘问题有一个 解析解 ，但通常情况下是没有的。在没有解析解的情况下，用数值算法求出使目标最小化的参数​的值。大多数算法都涉及到参数的初始值的选择。然后，迭代地对参数进行细化，即通过逐次逼近得到这些参数： 式中，上标k是迭代数，增量 的向量，称为位移向量。在一些常用算法中，每次迭代该模型都可以通过对 近似一阶 泰勒级数 展开来线性化： Jacobian矩阵J是常数、自变量和参数的函数，因此它在每次迭代时都会改变。残差由： 为最小化 的平方和，将梯度方程置为0，求解 ： 经过重新排列，形成m个联立线性方程组， 正规方程组 ： 正规方程用矩阵表示法写成 这就是 高斯牛顿法 的定义公式。

在寻求非线性最小二乘问题的解时，必须考虑这些差异。

为了对结果进行统计检验，有必要对实验误差的性质作出假设。通常的假设是误差属于正态分布。 中心极限定理 支持这样的观点：在许多情况下，这是一个很好的近似。

然而，如果误差不是正态分布的，中心极限定理通常意味着只要样本足够大，参数估计就会近似正态分布。因此，鉴于误差均值独立于自变量这一重要性质，误差项的分布在回归分析中不是一个重要问题。具体来说，误差项是否服从正态分布并不重要。

在具有单位权重的最小二乘法计算中，或在线性回归中，第j个参数的方差 ，通常估计为： 其中，真实误差方差 由基于目标函数平方和最小值的估计值代替。分母，n−m，是统计自由度；请参见有效自由度以获取归纳。 如果参数的 概率分布 已知或渐近近似，则可以找到 置信限 。同样，如果残差的概率分布已知或假设，则可以对残差进行统计检验。如果已知或假设实验误差的概率分布，我们就可以导出因变量的任何线性组合的概率分布。当假设误差服从正态分布时，推断很容易，因此意味着参数估计和残差也将是正态分布的，这取决于自变量的值。

当Ω（残差的相关矩阵）的所有非对角项都为空时， 广义最小二乘法 的一个特例称为 加权最小二乘法 ；观测值的方差（沿协方差矩阵对角线）可能仍然不相等（ 异方差 ）。更简单地说，异方差是当 的方差取决于 的值，这会导致残差图产生“扇出”效应，使其朝向更大的 值，如下侧残差图所示。另一方面， 同构性 假设 和的 方差相等。

关于一组点的平均值的第一个主成分可以用最接近数据点的那条线来表示（用最接近的距离的平方来测量，即垂直于直线）。相比之下，线性最小二乘法只尝试最小化 方向上的距离。因此，虽然二者使用相似的误差度量，但线性最小二乘法是一种优先处理一维数据的方法，而PCA则同等对待所有维度。

tikhonov 正则化

在某些情况下，最小二乘解的正则化版本可能更可取。 Tikhonov正则化 （或 岭回归 ）添加了一个约束，即参数向量的 L2范数 ，即参数向量的L2范数，不大于给定值。它可以通过添加 ，其中 是一个常数（这是约束问题的 拉格朗日 形式）。在 贝叶斯 背景下， 这相当于在参数向量上放置一个零均值正态分布的 先验 。

Lasso method

最小二乘法的另一种正则化版本是Lasso（least absolute shrinkage and selection operator），它使用 ，参数向量的L1范数，不大于给定值。（如上所述，这相当于通过添加惩罚项 对最小二乘法进行无约束最小化）。在贝叶斯背景下， 这相当于在参数向量上放置一个零平均 拉普拉斯 先验分布 。优化问题可以使用 二次规划 或更一般的 凸优化方法 ，以及由具体算法如 最小角度回归 算法。 Lasso 和岭回归的一个主要区别是，在岭回归中，随着惩罚的增加，所有参数都会减少但仍然保持非零；而在Lasso中，增加惩罚将导致越来越多的参数被驱动到零。这是Lasso相对于岭回归的一个优势， 因为驱动参数为零会从回归中取消选择特征 。因此，Lasso自动选择更相关的特征并丢弃其他特征，而岭回归永远不会完全丢弃任何特征。基于LASSO开发了一些 特征选择 技术，包括引导样本的Bolasso方法和分析不同 值对应的回归系数，对所有特征进行评分的FeaLect方法

L1正则化公式在某些情况下是有用的，因为它倾向于选择更多参数为零的解，从而给出依赖较少变量的解。因此，Lasso及其变体是 压缩传感 领域的基础。这种方法的一个扩展是 弹性网络正则化 。

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对于曲线拟合函数ψ(x)，不要求其严格的通过所有数据点，也就是说拟合函数ψ(x)在xi处的偏差（亦称残差）不都严格的等于零，即为矛盾方程组：为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，要求偏差按照某种度量标准最小。这后面的分析用到了范数的概念。这种方法就叫做曲线拟合的最小二乘法。

我们新建并打开一个excel表格，在excel中输入或打开要进行最小二乘法拟合的数据。此时按住“shift”键，同时用鼠标左键单击以选择数据。单击菜单栏上的“插入”-“图表”-“散点图”图标。

此时，我们选择第一个“仅带数据标记的散点图”图标，随后我们可以在窗口中间弹出散点图窗口。鼠标左键单击上边的散点，单击鼠标右键，弹出列表式对话框，再单击“添加趋势线(R)”。右侧就会弹出“设置趋势线格式”对话框。

利用最小二乘法将上面数据所标示的曲线拟合为二次曲线，使用c语言编程求解函数系数；最小二乘法原理 原理不再赘述，主要是解法采用偏微分求出来的。

打开Excel，先将数据绘成线性图，然后在图表中添加趋势线，然后勾选：显示公式，就可以拟合出数据的公式了。

最小二乘法：

（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

拟合：

对给定数据点{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m），在取定的函数类Φ 中，求p(x）∈Φ，使误差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m）的距离平方和为最小的曲线y=p(x）。函数p(x）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

小学二年级数学小论文博客

我发现了一个规律今天，妈妈让我做几个题目：（ ）×( )=10，（ ）×( )=20 ，（ ）×( )=30，（ ）×( )=40 。太简单了。我马上填上（2）×(5)=10 ，（4）×（5）=20 ，（6）×(5)=30，（8）×(5)=40。妈妈问：“你发现这四个算式的积有什么规律吗？”我说：“这四个算式的积个位都是0。”妈妈又问：“这四个算式的乘数有什么规律呢？”我说：“每个算式里都有一个乘数是5。”妈妈又给我做了几个题目：（ ）×( )=5，（ ）×( )=15 ，（ ）×( )=25 ，（ ）×( )=35，（ ）×( )=45。也很简单，我马上填上（1）×(5)=5，（3）×(5)=15，（5）×(5)=25，（7）×(5)=35，（9）×(5)=45妈妈又问：“你看看这五个算式的积有什么规律？”我说：“这五个算式的积个位都是5。”妈妈接着问“那么这四个算式的乘数有什么规律呢？”我说：“也是每个算式里都有一个乘数是5。”“刚才给你做的九个算式里都有一个乘数是5，但是它们的积分两种情况，一种是个位是0，一种是个位是5，对吗？那么在1、2、3、4、5、6、7、8、9里，哪些数和5乘，积的个位是0；哪些数和5乘积的个位是5呢？”我说：“ 2、4、6、8和5乘，积的个位是0；1、3、5、7、9和5乘，积的个位是5。”妈妈笑着说：“你知道吗？2、4、6、8这些数都是偶数哦，1、3、5、7、9这些数都是奇数哦。”“哦，知道了，如果是偶数乘5，积的个位就是0，如果是奇数乘5，积的个位就是5，对吗？”“对了，你真聪明，学数学很有趣吧，只要你肯动脑筋，以后会发现更多的规律的。”最佳答案啊啊啊啊

二年级数学小论文怎么写如下：

小学数学自学习惯培养的重要意义

有利于学生数学学习能力的提高：自学习惯的培养能够充分调动学生在数学学习过程中的非智力因素，增加学生对数学学习的兴趣。良好的自学习惯能够促使学生自觉做好课前预习、课上认真听讲以及课后自觉复习等学习环节；能够促使学生在日常生活中注重数学知识与实际生活应用之间的联系，有助于学生数学应用能力的提升。

有利于学生学习能力的提升：自学习惯的形成能够有效提升学生的全面学习能力，这种学习能力不仅能够在数学学习过程中发挥重要作用，而且还能够在其他科目学习和相关技能学习方面发挥重要作用。自学习惯对学生产生最深刻的影响是能够促使学生自主开展探究学习，能够自觉的根据自身的知识需要和技能提升对需求的相关知识展开探究。

有利于学生的全面发展：自学习惯的培养不仅能够促使学生在日常生活、学习过程中养成良好的学习习惯，而且还能够为学生未来发展奠定良好的基础。良好的自学习惯不仅能够促使学生在学习上能够取得良好成绩，而且还能够为学生未来的工作产生重大影响。

前些天，我跟妈妈去超市。妈妈进超市买东西，让我站在付钱的地方等她。我闲着没事，就傻乎乎地看着营业员姐姐收钱。看着看着，我忽然发现营业员姐姐收的钱和找的钱基本上都是1元、2元、5元、10元、20元、50元还有100元面额的。我觉得有些奇怪，不由得想人民币为什么没有3元、4元、6元、7元、8元、9元或30元、40元、60元等等呢？等到妈妈来了我问她，妈妈神秘地冲我眨眨眼说：“你动脑筋想想呢？妈妈相信你能自己弄明白为什么的。我定下心，”认真仔细地便走便想了起来。过了一会儿，我蹦了起来高兴地喊道：“我知道了，因为1元、2元、5元就可以随意组合成3元、4元、6元、7元、8元、9元，只要有10元、元、元同样可以组合成30元、元、元??”20504060妈妈听了满意地直点头，又向我提了一个问题：“如果只是为了能随意组合的话，那只要1元不就够了吗？干吗还要2元、5元呢？”我说：“只用1元要组成大一点的数就不太方便了呀。”这下妈妈脸上绽放出灿烂的笑容，夸我会观察，爱动脑筋，我听了真比吃了最喜欢的冰糖葫芦还要舒服。我想告诉大家：其实在我们身边到处都有数学问题，只要你多观察、多动脑，你就会有很多意外的发现，不信你我就比试比试！

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