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不可能通项极限不是0，但是级数收敛的。
一个是数列{an}是否收敛的问题。
关于数列收敛，指的是数列是否有极限。如果有极限，不管极限是多少（不能是无穷大），那么这个数列就是收敛的。
第二个是指级数Σan是否收敛
关于级数是否收敛是指，前n项和Sn=a1+a2+a3+……an组成一个新的数列
S1，S2，S3……Sn……是否收敛
这个数列要收敛，当然必须要有an的极限是0才行，
所以通项极限不是0，但是存在，这说明数列收敛，但是级数不收敛。
对于级数而言，如果部分和数列极限存在，则级数收敛；对于正项级数，其部分和数列是单调递增的，而单调有界则极限存在，所以正项级数收敛的充要条件只要求有界即可。
1、部分和是指前n项的和，不是任意部分的和；
2、正项级数收敛的充要条件不是其部分和有界，而是部分和数列有界。
简单计算一下即可，答案如图所示
你说的这种情况是不会出现的，级数收敛的必要条件是通项趋于0。若通项不趋于0，则级数是发散的。你是看错了吧？
这个级数在p>1时收敛，在p≤1时发散，可以如图分别用比较判别法分析。
与调合级数比较，lim n^(-1-1/n) / n^(-1) =lim 1/n^(1/n) = 1，由比例判别法知两者同敛散，故原级数发散。上式最后一步是常用极限n开n次方=1，证明可假设此式=1+a，即n=(1+a)^n，二项展开并放缩即可证得a=0。
根据正项级数的一般式情况选用 比较审敛法、比值审敛法、根植审敛法等。 先根据莱布尼茨审敛法判别交错级数的敛散性，若交错级数收敛， 再判断对应的正项级数的敛散性， 正项级数发散，则交错级数条件收敛； 正项级数收敛，则交错级数绝对收敛。
根据基本不等式，有：√(a_n)/n<=(a_n)/2+1/[2*(n^2)]。而题设正项级数∑an收敛；且级数∑1/[2*(n^2)]亦收敛。从而正项级数∑√an/n也收敛。#
数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。 这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。(—·) 人们已经创造了很多检测级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？这不能笼统地回答．一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．就我们已经介绍的若干检测方法而言，对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法： (1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋千零，则考虑其它方法． (2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法． (3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法．对于某些正项级数，可以考虑使用积分判别法．这是因为比值判别法与根值判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大． (4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数． (5)级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，因此，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。但是，要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易，因而一般在检测具体级数的敛散性时，使用柯西判别准则是有困难的，甚至是无法进行的．不过，对于某些具体的级数，使用柯西判别准则也是行之有效的．因此，我们也要考虑它的使用，特别是上述诸多方法行不通的时候。 (二) 回顾一下正项级数敛散性的判别法．比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象．然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较．这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况．为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小．这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把‘尺子’的精密度不够。人们发现p—级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p—级数更为精密，称为对数尺子。仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子’相比较，建立了一个比一个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等．但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生．因为人们证明过，任何收敛的正项级数都存在另一个收敛的正项级数被它优超，而任何发散的正项级数都存在另一个发散的正项级数优超它．因此，比较判别法是检测正项级数的敛散性的根本方法．从理论上说，恰当的比较对象总是客观存在的，因此，比较判别法适应于一切正项级数。然而，恰当的比较对象要实际寻找出来很难．因此，还是要建立象比值判别法那样实质上已有固定比较对象且使用起来很方使的判别方法．
数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。 这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。(—·) 人们已经创造了很多检测级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？这不能笼统地回答．一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．就我们已经介绍的若干检测方法而言，对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法： (1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋千零，则考虑其它方法． (2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法． (3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法．对于某些正项级数，可以考虑使用积分判别法．这是因为比值判别法与根值判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大． (4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数． (5)级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，因此，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。但是，要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易，因而一般在检测具体级数的敛散性时，使用柯西判别准则是有困难的，甚至是无法进行的．不过，对于某些具体的级数，使用柯西判别准则也是行之有效的．因此，我们也要考虑它的使用，特别是上述诸多方法行不通的时候。 (二) 回顾一下正项级数敛散性的判别法．比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象．然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较．这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况．为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小．这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把‘尺子’的精密度不够。人们发现p—级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p—级数更为精密，称为对数尺子。仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子’相比较，建立了一个比一个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等．但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生．因为人们证明过，任何收敛的正项级数都存在另一个收敛的正项级数被它优超，而任何发散的正项级数都存在另一个发散的正项级数优超它．因此，比较判别法是检测正项级数的敛散性的根本方法．从理论上说，恰当的比较对象总是客观存在的，因此，比较判别法适应于一切正项级数。然而，恰当的比较对象要实际寻找出来很难．因此，还是要建立象比值判别法那样实质上已有固定比较对象且使用起来很方使的判别方法．
n趋于无穷时n次根号2趋于1，所以级数发散
是数学专业课的《数学分析》的下册的内容
数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。 这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。 (—·) 人们已经创造了很多检测级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？这不能笼统地回答．一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．就我们已经介绍的若干检测方法而言，对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法： (1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋千零，则考虑其它方法． (2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法． (3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法．对于某些正项级数，可以考虑使用积分判别法．这是因为比值判别法与根值判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大． (4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数． (5)级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，因此，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。但是，要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易，因而一般在检测具体级数的敛散性时，使用柯西判别准则是有困难的，甚至是无法进行的．不过，对于某些具体的级数，使用柯西判别准则也是行之有效的．因此，我们也要考虑它的使用，特别是上述诸多方法行不通的时候。 (二) 回顾一下正项级数敛散性的判别法．比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象．然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较．这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况．为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小．这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把‘尺子’的精密度不够。人们发现p—级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p—级数更为精密，称为对数尺子。仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子’相比较，建立了一个比一个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等．但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生．因为人们证明过，任何收敛的正项级数都存在另一个收敛的正项级数被它优超，而任何发散的正项级数都存在另一个发散的正项级数优超它．因此，比较判别法是检测正项级数的敛散性的根本方法．从理论上说，恰当的比较对象总是客观存在的，因此，比较判别法适应于一切正项级数。然而，恰当的比较对象要实际寻找出来很难．因此，还是要建立象比值判别法那样实质上已有固定比较对象且使用起来很方使的判别方法．
一、极限的唯一性：数列的极限如果存在，则唯一。二、保号性：如果数列的极限不为 0，则从某项往后的所有项与极限同号。三、有界性：如果数列存在极限，则数列有界。四、存在性：单调有界数列必有极限。
定理(唯一性)：若数列{ an }收敛，则它只有一个极限.
证：设a=lim( n→∞) an，对任何b≠a，取ε0=(|b-a|)/2，则在(a;ε0)之外有{ an }的有限个项，从而，在(b;ε0)之内至多只有{ an }的有限个项，所以b不是{ an }的极限。
所以收敛数列只有一个极限.
定理(有界性)：若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有：| an |≤M.
证：设lim( n→∞) an=a，取ε=1，存在正数N，对一切n>N，有|an -a|≤1；
又|an|-|a|≤|an -a|≤1；∴|an|≤1+ |；
记M=max{|a1|,|a2|,…, |aN|,1+|}，则|an|≤M，∴{an}为有界数列.
所以收敛数列有界.
定理(保号性)：若lim( n→∞) an=a>0(或<0)，则对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得当n>N时，有an>a’(或an 证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，使得n>N时，有an>a-ε=a’； 当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，使得n>N时，有an<ε+a=a’. 所以原命题得证. 定理(保不等式性)：设{an}与{bn}均为收敛数列. 若存在正数N0，使得当n> N0时，有an≤bn，则lim( n→∞) an≤lim( n→∞) bn. 证：设lim( n→∞) an=a，lim( n→∞) bn=b. 则ε>0，正数N1 ,N2，使当n>N1时，有an>a-ε; 当n>N2时，有bn<ε+b. 取N=max{N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε 由ε的任意性，得a≤b，即lim( n→∞) an≤lim( n→∞) bn. 所以原命题得证. 注：当an 定理(迫敛性)：设收敛数列{an},{bn}都以a为极限，数列{cn}满足： 存在正数N0时有an≤cn≤bn，则数列{cn}收敛，且lim( n→∞) cn=a. 证：ε>0，正数N1,N2， 使当n>N1时，有an>a-ε; 当n>N2时，有bn<ε+a. 取N=max{ N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε ∴数列{cn}收敛，且lim( n→∞) cn=a. 原命题得证。 定理(四则运算)：若{an}与{bn}为收敛数列，则{an+bn}，{an-bn}，{an·bn}也都是收敛数列，且有 lim( n→∞) (an±bn)=lim( n→∞) an±lim( n→∞) bn，lim( n→∞) (an·bn)=lim( n→∞) an·lim( n→∞) bn 当bn为常数c时，有lim( n→∞) (an+c)=lim( n→∞) an+c， lim( n→∞) (can)=c lim( n→∞) an 若bn≠0及lim( n→∞) bn≠0，则{an/bn }也是收敛数列，且有 lim( n→∞) an/bn =(lim( n→∞) an)/(lim( n→∞) bn ) 证：设lim( n→∞) an=a，lim( n→∞) bn=b，则对ε>0，正数N1,N2， 使当n>N1时，有|an-a|<ε; 当n>N2时，有|bn-b|<ε. 取N=max{N1,N2}，则当n>N时，有|an-a|+|bn-b|<2ε. 又|(an-a)+(bn-b)|=|(an +bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε. ∴lim( n→∞) (an+bn)=a+b= lim( n→∞) an+lim( n→∞) bn; ∵an-bn=an+(-1)bn， ∴lim( n→∞) (an-bn)=a-b= lim( n→∞) an-lim( n→∞) bn也成立. 另|anbn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)| ≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε. 由收敛数列的有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn| ∴当n>N时，有|anbn-ab|<(M+|a|)ε. ∴lim( n→∞) (an·bn)=lim( n→∞) an·lim( n→∞) bn. ∵an/bn =an·1/bn ， ∴lim( n→∞) an/bn =(lim( n→∞) an)/(lim( n→∞) bn )也成立. 由于lim( n→∞) bn=b≠0，根据收敛数列的保号性，存在正数N3，使得当n>N3时有 |bn|>1/2|b|. 取N’=max{N2,N3}，则当n>N’时有 |1/bn -1/b|=|bn-b|/|bn b| <2|bn-b|/b^2 <2ε/b^2 . ∴lim( n→∞) 1/bn =1/b. 第一，有界性，如果函数收敛，那么这个函数一定有界。第二，唯一性，如果函数收敛，那么函数有且只有一个极限值。 性质 1、唯一性 思维导图 如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。 2、有界性 定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn| 定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件 3、保号性 若数列某项起Xn>0（或Xn<0）且{Xn}收敛于a，则a>0（或a<0）， 扩展资料： 收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a| 根据定义，R=lim|an/an+1| 幂级数，2113是数学分析当中重要概念之一，5261是指在级数的每一项均为与级数项序号4102n相对应的以常1653数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。设是定义在某区间I上的函数列，则表达式(1)称为定义在区间I上函数项级数。如果式（1）上的各项都是定义在区间上的幂函数，函数项级数(2)称作幂级数，其中为常数，称为幂级数的系数。扩展资料：幂函数的性质：一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。三、当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。参考资料来源：百度百科-幂级数 幂级数的收敛性质：幂级数收敛的判别方法：∑x^（2n+1）/（2n+1），收敛半径R=lima/a=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)=lim(2n+3)/(2n+1)=1。当x=1时，幂级数变为∑1/(2n+1)。>∑1/[2(n+1)]=(1/2)∑1/(n+1)。后者发散，则级数发散；当x=-1时，幂级数变为-∑1/(2n+1)。因∑1/(2n+1)发散，则级数发散。故收敛域是x∈(-1，1)。即x∈(-1，1)时收敛，x∈(-∞，-1]∪[1，+∞)时发散。建议：用比较判别法判断级数的收敛性时，通常构造另一级数。根据另一级数判断所求级数的敛散性。 幂级数的收敛域可以分为以下两步：第一步，求幂级数的收敛半径R，从而得到收敛区间；第二步，讨论幂级数在±R处的敛散性，得到收敛域。判别的时候利用正项级数敛散性判别或者交错级数判别的莱布尼兹判别法就行了，一般来说难度不会过大，因此本文不予赘述。一般教材中提及了收敛半径的求法，并没有明确地说为何。这里就要涉及前面提到的判别正项级数收敛的比式判别法和根值判别法了。我们可以用将幂级数视为正项级数处理，按照比式判别法或者根值判别法的条件可以得到关于x的不等式，这里不等式的解集刚好就是幂级数的收敛区间。虽然这样的处理看上去不是很严密，但是可以帮助我们理解计算收敛半径的方法。我们有求幂级数收敛半径的两个公式；R=limn→∞1|an|√n以及R=limn→∞∣∣anan+1∣∣，前者对应的是根值判别法，后者对应的是比式判别法。不过要注意这与判别法极限式有倒数的关系。具体该用哪一公式，还是需看的形式。如果它有次方，那么用根式判别式的形式，即前面那个公式要好一些。如果有阶乘或者常数的指数的形式，用比式判别法的形式，即后面那个公式要好一些。当然，这也不是绝对化的，主要看哪种形式的极限比较好求，也不是一概而论，还需要一定量的解题积累经验。由于有明确的公式可以套用，只涉及到公式的选择问题，因而这个问题并没有太大的技巧性。例1：求幂级数∑n=0∞xnn⋅2n的收敛域数列的通项有n次方，可以使用根值判别法的形式；两项求比值后形式也简明，也可以使用比式判别法的形式，极限都比较好求，因此不需要纠结用哪一个公式更好，直接做就可以了。这里对求收敛半径这一步骤用两种不同方法，而最后判别两端点处的敛散性方法是统一的。幂级数的敛散性毕业论文