有限元分析论文读后感

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。 有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。 对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为： 第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。 第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。 第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。 第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。 第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。 大型通用有限元商业软件：NASTRAN,ASKA,SAP,ANSYS,MARC,ABAQUS,JIFEX等。

最近学习有限元方法的另一个全新的认识是：有限元分析的结果是可以进行非实验的验证。刘轶军的书和电子工业出版社的Moaveni的“有限元分析——ansys理论与应用”都强调了这一点。不仅通过网格细化程度的调整可以观察已得解的精确性，而且可以通过后处理的方法求出边界点的载荷等方法来验证解的正确性及精确性。这方面在今后的读书和实践中要注意去整理和积累。

在之前的几篇文章中，我们介绍了非线性有限元分析中的超弹模型，同时也详细介绍了Arruda-Boyce和neo-Hookean两个经典模型。今天我们就来介绍另一个经典的超弹模型：Mooney-Rivlin。 Mooney-Rivlin分别以两位力学家M. Mooney和R. S. Rivlin的姓氏组合来命名。1940 年，Mooney在著名的Journal of Applied Physics期刊发表一篇名为A theory of large elastic deformation的论文，8年后的1948年，Rivlin在Philosophical Transactions of the Royal Society of London期刊上发表了名为Large elastic deformations of isotropic materials的文章。于是就有了今天的Mooney-Rivlin模型，曾一度统领橡胶力学研究的整壁江山。同时，也为其他以应变张量不变量（invariant）为核心的模型奠定了基础。另一类超弹模型是以主拉伸（principal stretches）为核心的模型，如Ogden模型，我们会在以后的文章中介绍到。 1893年，Mooney出生于美国密苏里州的堪萨斯城，24岁时获得密苏里大学的本科学位，30岁时获得芝加哥大学的博士学位。曾是美国国家研究委员会的的会士（National Research Council Fellow）,也曾经在西部电气公司和美国橡胶公司担任物理学家。和我们之前介绍的Rivlin一样，Mooney博士将一生的工作和研究都贡献给了高分子材料力学。当然Mooney要比Rivlin年长个20多岁。关于Rivlin博士已经在上一篇文章中有介绍，这里就不再赘述了。 和其他超弹模型一样，我们用弹性应变能来表征力学性能。Mooney-Rivlin根据阶数高低，常见的有4种：2参数，3参数，5参数，和9参数应变能。 Mooney-Rivlin 2参数的弹性应变能为： Mooney-Rivlin 3参数的弹性应变能为： Mooney-Rivlin 5参数的弹性应变能为： Mooney-Rivlin 9参数的弹性应变能为： 从上面的4个弹性应变能公式可以看出： 1. 高阶数的应变能模型可以模拟更加复杂的应力-应变曲线，但也意味着需要更多的计算量，实验，以及参数拟合。同时增加了非线性求解器的负担，可能会导致更难收敛。 2. Mooney-Rivlin模型是多项式（Polynomial）模型的特殊形式。当N=1时，多项式模型缩减为2参数Mooney-Rivlin，当N=2时，多项式模型缩减为5参数Mooney-Rivlin；当N=3时，多项式模型缩减为9参数Mooney-Rivlin。 3. 2参数模型中，当参数C01为零时，简化为Neo-Hookean模型（C10系数2倍关系）。非零的C01项使得单轴拉伸受力下的变形预测更为准确，但该模型还不能准确模拟多轴受力数据。或者由某种变形试验得到的数据，不能用来预测其它类型的变形。 4. 2参数模型的剪切模量为定常系数\mu=2（C10+C01），不适合用来模拟炭黑填料硫化橡胶。C10和C01均为正定常数。对于大多数橡胶，C10/C01≈0.1~0.2时，在应变150%以内可得合理的近似。 5. 三项或多项Mooney-Rivlin模型可以描述非定常剪切模量。然而，引入高次项后需小心计算，因其可能会产生不稳定应变能值，得到超出试验范围的非物理结果。 这四种函数的Mooney-Rivlin模型实际仿真中应该选用哪个呢？往往根据材料实验的应力-应变曲线来确定。如单曲率（没有拐点）应力应变曲线，可以使用2或3参数。双曲率（含有一个拐点）可以使用5参数。三曲率（含有2个拐点）可需选用9参数模型。 同时为了产生有效且正确的超弹材料特性，Mooney-Rivlin参数须满足特定的正定性要求。如不能满足这些约束条件，可能导致求解无法收敛。对于不同参数的Mooney-Rivlin，满足正定性的参数约束要求如图所示。 总体来说，Mooney-Rivlin模型得到了广泛的认可和应用。尤其是在小应变范围内（0~100%拉伸和30%压缩）能够较好的表征橡胶材料的力学行为。不同参数的模型也提供给用户针对不同工况更多的选择。然而，Mooney-Rivlin也有一些局限性： 1. 不适合用于变形超过150%的工况。 2. 高阶Mooney-Rivlin由于参数较多，参数相对比较难从手册或文献中获得，需要通过对实验数据的曲线拟合来得到。 3. 不适用于可压缩超弹材料，如泡沫材料的分析。 4. 对所输入数据范围以外的实验数据的预测误差较大。 本例中，我们将使用5参数Mooney-Rivlin对橡胶材料的压缩状态进行分析。 定义Mooney-Rivlin超弹材料 这里我们模拟橡胶材料，并输入参数为：C10=-0.55 MPa, C01=0.7 MPa, C20=1.7 MPa, C11=2.5 MPa, C02=-0.9 MPa, D1=0.001 MPa^-1。 建立模型 建立一个直径为10mm，高为10mm的圆柱体。划分网格。固定底部约束。并对顶部面施加向下5mm的位移。 求解 由于非线性较强，我们设置30个子步。并点击求解按钮。 查看结果 等效应力分布如图所示。可以发现在等步位移工况下，应力呈非线性分布递增。 下面送上操作视频，供大家参考。

南工大的学生伤不起啊，伤不起！