论文动点问题研究分析

现在我是高一，理科极品。中考二次函数动点，一般是分几问，第一问求函数解析式。已知有一个或几个动点的轨迹，求某平面图形面积的最值，通过勾股定理一类，表示面积的函数式，在再求出其最值。P.S：当时我中考的考题如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－ x+ ，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）.（1）求出点B、C的坐标；（2）求s随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.【解】（1）把y＝4代入y＝－ x＋ ，得x＝1. ∴C点的坐标为（1，4）. 当y＝0时，－ x＋ ＝0，∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.∴BC＝ ＝ ＝5.∴sin∠ABC＝ ＝ .①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，则QN＝BQ•sin∠ABC＝ t.∴S＝ OP•QN＝ （4－t）× t ＝－ t2＋ t（0＜t＜4） .②当4＜t≤5时，（如备用图1），连接QO，QP，作QN⊥OB于N.同理可得QN＝ t.∴S＝ OP•QN＝ ×（t－4）× t. ＝ t2－ t（4＜t≤5）.③当5＜t≤6时，（如备用图2），连接QO，QP.S＝ ×OP×OD＝ （t－4）×4. ＝2t－8（5＜t≤6）.（3）①在0＜t＜4时，当t＝ ＝2时，S最大＝ ＝ .②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝ t2－ t，当t＝－ ＝2时，S最小＝ ×22－ ×2＝－ .∴抛物线S ＝ t2－ t的顶点为（2，－ ）.∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.∴当t＝5时，S最大＝ ×52－ ×5＝2.③在5＜t≤6时，在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.）【思路分析】（1）点B、C的横、纵坐标分别已知，将其代入直线CB的表达式y=－ x+ ，可求出点B、C的坐标. （2）根据三角 形面积公式列函数关系式，注意需分三种情况讨论. （3）按（2）中的三种情况，结合所列函数的性质分别求出最大值，最后加以综合，得出结论.【方法规律】此题综合考查一次函数、二次函数、三角函数等知识，较以往压轴题难度降低，一改往年抛物线上架构几何图形的压轴 题特点，令人耳目一新，也更实用. 解题关键是结合图形特征分类讨论；能灵活应用一次函数、二次函数的性质，结合自变量取值范围的限制条件求最值.【易错点分析】考虑问题不全面，只讨论其中一种或二种情况.【关键词】一次函数，二次函数【难度】★★★★☆【题型】压轴题

动点公式是(a+b)÷2，数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析。点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。

动点问题解题技巧：

1、数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数。

2、点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a-b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3、数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。