无理函数最值问题求解举例武延霞摘要：无理函数的最值问题在中学数学中求解比较困难，本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法，如换元法，微分法，几何法，复数法，向量法等等。关键词：无理函数最值 复数法 向量法 数学中的函数最值问题求解是常见的，在日常生产生活、科研中都会遇到。解决方法也是很多，如图象法，均值不等式法，换元法，向量法等等，到大学的课程中我们常用的是求导法，这些方法在实际运用中灵活多变。而无理函数的最值问题在中学数学中求解比较困难，本文将结合例题给出无理函数最值问题的几种解法。1 换元法： 根据函数表达式的特点，将某一部分看作一个整体用一个新的变元来代替，以达到简化表达式、变为熟悉且易于求解的形式。例1：求 的最小值。解：函数的定义域为 ，令 ，则 , 当 即 时， 取最小值 。2 微分法：若 在区间 上可导， 是 的唯一稳定点，并且 是 的极值点，则当 是极大（小）值点时， 就是 在 上的最大（小）值。例2：求 的最小值 。解： 在 上可导，所以 令 得稳定点 （舍负）。又 时， ， 时， 的最小值为 3 几何法：运用数形结合的思想将最值问题转化成几何图形的性质问题，通过几何的有关知识求解。例3： 、 两地合用一个变压器，若两地用同型号线架设输电线，问变压器设在输电干线上何处时，所需输电线最短。解：设 长为 ， ，由题意可知求出 的最小值即可。又 建立直角坐标系，如图所示：则 ， ， ，原问题就转化为求 轴上一点 到 两点距离和的最小值问题。由几何知识，点 在线段 上时 取最小值（ 为 关于 轴的对称点）。此时 ， 将变压器建在 之间离 处所需输电线最短。4 复数法：求形如 的最小值，令复数 满足 ， 且 或 为常数，利用不等式 来求解。例4：求函数 的最小值。解：令 ， 则 ,由不等式 可得 在这里能否取到呢?我们来验证一下：若 ，则 与 在同一条直线上且方向相反， 而由上式可推得 ，矛盾。 不是 的最小值。由此我们知道 不能任意取，究竟怎么样取值才能使不等式 中等号成立？ 若想利用不等式中号，即 ，取 ，由 为一常数， 的实部需取 ，设 的虚部为 ， 反向，则 ， 此时 ，其中不等号可以取到， 同理，若想利用不等式中 号，即 ,取 ， ， ，同样解出 总结上述过程，我们可以用“用加取等号取反，用减取等号相同”来概括 和 的取法，即如果利用 ，我们取 与 中 的符号相反；如果利用 ，我们取 与 中 的符号相同。5 向量法：构造函数 使 为常数。令 ， ，则 （ 为 的夹角）根据 的取值范围可以求得函数的最值。例6：求函数 的值域。解： 的定义域为 ，令 ， ，则 ， , （ 为 的夹角） 时 ， , 与 的终点如图1所示 由图1可知 与 同向时， 与 的夹角最小，此时 当 时， 与 的夹角最大，此时 所以值域为 。 注：求 的最值，利用 ，需要 为一常数，若不是常数，可以进行适当的系数配凑使其为一常数。例2：求函数 的值域。解：由题意可知定义域为 ，令 ， 则 ， ,由 得： ， 与 的终点如图2所示当 与 同向时， 与 的夹角最小，此时 当 时， 与 的夹角最大，此时 所以值域为 结束语：本文讨论了常见的几种无理函数的一些解法，还有许多无理函数以及它们的解法没有讨论到，有待进一步研究。参考文献：[1]李宇祎．函数最值问题的处理方法[J]．雁北师范学院学报，2004，01：52－53页．[2]潘玉晓．关于函数最值问题的探讨[J]．南阳师范学院学报，2004年第4卷第9期．[3]武增明．用 解两类无理函数最值问题[J]．数学教学杂志社，2006，11：31页．[4]孙家永．函数最值之正规求法及舍弃原理[J]．高等数学研究 2006年第5期： 47页．[5]张怀德．极值点与最值点、稳定点及拐点的关系[J]．甘肃高师学报 2005年第十卷第五期．[6]刘安．关于连续函数最大最小值的唯一性准则[J]．衡阳师范学院 2005年3月．[7]华东师范大学数学系．数学分析第二版[M]．北京：高等教育出版社， 1991年3月第2版： 192页．[8]华东师范大学数学系．数学分析第三版[M]．北京：高等教育出版社，145页．[9]杨宝珊．闭区间上连续函数最值点的讨论[J]．内蒙古教育学院学报．1997年12月第4期．[10]陈祥平．闭区间上连续函数最值[J] ．昌潍师专学报 2000年第19卷第2期．
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