灰色理论模型国内外研究现状论文

基于灰色系统理论的灰色模型GM（Grey Model）可以进行数列预测、灾变预测、季节灾变预测、拓扑预测和系统综合预测。地基沉降预测是GM模型的数列预测，这种预测的特点是要求对被预测值等时距的观测[199]。

最常用的灰色预测模型是GM（1，1）模型，但 GM（1，1）模型仅适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，而对于非单调的摆动发展序列或具有饱和状态的“S”形序列，可以考虑建立GM（2，1）模型、DGM模型、Verhulst模型等[200]。

由前述曲线拟合法预测结果可知，S 形成长曲线模型（Pearl 曲线模型）的预测效果最好，因此，本书利用可以描述饱和状态过程（S形过程）的灰色 Verhulst模型来预测淤泥软基的沉降发展趋势。灰色Verhulst模型是在德国生物学家Verhulst（1837）所建立的Verhulst模型上发展而来的。灰色Verhulst模型的建模及求解过程如下[200]。

设相同时间间隔内的沉降增量数据序列为原始序列，且原始序列S（0）为

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S（0）的一次累加生成序列（1 –AGO序列）S（1）为

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式中： ，k=1，2，…，n。

S（1）的紧邻均值生成序列Z（1）为

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且Z（1）满足：

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则可得灰色GM（1，1）幂模型为

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当θ=2 时的GM（1，1）幂模型即为灰色Verhulst模型，其灰色微分方程为

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灰色Verhulst模型的白化方程为

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记灰色Verhulst模型参数列为 =[a，b]T，其中-a为发展系数，b为灰色作用量，令：

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则参数列 的最小二乘估计为

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灰色Verhulst模型之白化方程的解为

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灰色Verhulst模型的时间响应式为

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模型预估值（还原值） 为

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为了评价预估模型的可信度，必须对模型的精度进行检验，常用的检验方法有：

1）残差检验——残差检验是对模型预估值 和实测值S（0）（k）之间的残差q（k）和相对残差（误差）ε（k）进行逐点检验，其中：

残差q（k）=S（0）（k）- ，k=1，2，…，n

相对残差（误差） ，k=1，2，…，n

2）关联度检验——关联度检验即检验灰色模型值曲线与建模序列曲线的相似程度。

3）后验差检验——后验差检验是对残差分布的统计特征进行检验，它由后验差比值C和小误差概率P 这两个指标共同检验。

记原始数列S（0）（k）的方差为 ，残差数列q（k）中非零残差的平均值和方差分别为 和 ，则后验差比值C和小误差概率P分别为

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灰色模型的精度等级=max（P的级别，C的级别），P，C的级别通过查表 确定。

表 灰色预估模型的精度检验

Tobacco is one of our province's important economic crops. The face of increasingly fierce competition in domestic and international tobacco market, only to obtain the stability of tobacco production and tobacco can improve the quality of life in the market. Tobacco leaf quality improvement depends on the chemical composition of the internal coordination. Tobacco in as many as 1872 kinds of chemical composition, chemical composition index number of complex relationship. Many indicators of an increase of the chemical composition of tobacco leaf quality analysis and evaluation difficult. For this problem, the paper selected province eight major tobacco varieties, using the gray statistical analysis of these tobacco variety of conventional chemical composition of the 10 indicators. Statistical analysis to determine the gray all the chemical composition of the ash divided class area. Reference Rui new method described in the data analysis and processing, establishment of the gray statistical model to test the model and determine the function of different gray Whitening and calculate a chemical composition of their ash class indicators, the conclusion that a chemical composition of the index Statistics coefficient gray type. So as to arrive in the chemical composition of flue-cured tobacco on the quality of tobacco. The results showed: total nitrogen, chloride, proteins are A class index, the largest influence on the quality of tobacco leaf; nicotine, sugar, Sri wood g value, total sugar, nitrogen and potassium than the B category are indicators of the tobacco quality A class of targets after impact. Statistical analysis of the gray leaf chemical composition can be suitable on the divided region to verify the reasonableness of tobacco suitable for the region to determine the chemical composition, raw leaf tobacco group selection formula.

刘敏1，2 刘艳芳1，2 张雅杰1，2 刘洋1，2 夏玉平3

（1.武汉大学资源与环境科学学院，武汉，430079；2.武汉大学教育部地理信息系统重点实验室，武汉，430079；3.南方数码科技有限公司，广州，510665）

摘要：考虑到传统地价指数编制的难度和信息的滞后性以及常用预测方法忽视地价指数是随时间变化呈现上涨趋势的非平稳随机过程造成预测精度低的问题，通过为城镇地价指数提供一种新的预测方法，满足政府、开发商等市场主体对土地市场信息的需求，构建了城镇地价指数灰色——马尔柯夫预测模型，对深圳2004年第三、四季度地价指数进行预测，并将预测结果与实际值比较，吻合度较高。

关键词：地价指数；灰色理论；马尔柯夫；预测

地价指数是反映某一区域或某一城市的土地价格在时间上的平均变动和综合变动方向及变动程度的相对指标，是城镇土地市场变化的晴雨表，它体现的是基于规划条件下的各规划地块之间的相对地价比例关系，在很大程度上消除了房地产估价的实效性约束。随着社会主义市场经济的发展，土地市场的日益活跃和完善，地价指数的重要性得到越来越多的体现，无论是政府对土地市场的宏观管理，还是地产开发商的投资开发决策，或是土地估价中可比实例的交易日期修正，都离不开地价指数的指导。但采用传统的方法测算地价指数难度大，本文试通过建立灰色——马尔柯夫预测模型，采用某地区历史的地价指数数据预测同一地区未来的地价指数，是地价指数预测在方法上的一种有创意的尝试。

1 我国地价指数编制现状

目前我国对地价指数的具体测算方法主要有两种，即拉氏公式和帕氏公式。拉氏公式是以基期为权数综合方法，表明在基期地价水平的条件下地价的综合变化，公式为：

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式中，P为报告期的平均地价；P0 为基期的平均地价；q0 为基期土地交易量。

帕氏公式也是加权综合指数公式，它与拉氏公式的区别在于是以报告期为权数的综合方法，表明在报告期地价水平的条件下地价综合变动的程度，公式为：

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式中，P、P0 分别为报告期和基期的平均地价；qk为报告期土地的交易量。

由于拉氏公式在定基指数的数列中各期权数相同，因此采用基于拉氏指数公式的加权平均指数公式测算的地价指数不仅能较好反映地价水平的变化、反映地价结构的影响，而且还可以很方便地计算环比地价指数，使地价指数的可比性增加，并有利于地价的动态研究，所以较常采用拉氏公式测算地价指数。

但无论采用拉氏公式还是采用帕氏公式都需要取得区域基期和报告期的平均地价数据，数据的获取存在以下困难：①单纯的土地交易较少，大部分的土地交易伴随着房产交易，因此难以直接获得土地的交易价格，一般要借助估价手段，通过复杂的计算求取；②土地市场是不完全竞争市场，土地交易价格受主观因素影响大，很多交易属于非正常交易；③土地价格具有地区性和个别性特征，因此不同地块不仅价格不同，价格内涵也有可能不一致，因此要从地价的构成因素上对土地价格进行修正，直接测算地价指数难度也较大。

鉴于直接测算地价指数存在以上的困难，同时缺乏前瞻性，因此采用一定的数学方法，利用历史的地价指数数据预测未来的地价指数具有实践意义。目前地价指数预测较常采用趋势外推法，利用计算机建立线性趋势预测模型和二次曲线趋势预测模型进行预测，但是这两种预测模型没有考虑到地价指数是随时间变化呈现上涨趋势的非平稳随机过程，由于受各种随机因素（如政府部门的土地供应政策、金融政策等）的影响，时序数据总是围绕这一变化趋势出现波动、跳跃，产生偏差，因此只能用于短期预测，对于长期预测就无法保证精度。

2 地价指数的灰色——马尔柯夫预测思想

灰色预测和马尔柯夫链预测是两种用于时间序列类型问题的预测方法，灰色模型的优点是适于预测时间短，数据资料少，波动不大的系统对象，不足之处是对随机波动大的数据序列预测准确度低；马尔柯夫链理论优点是适于预测随机波动大的动态过程，局限性在于马尔柯夫链预测对象要求具有马氏性和平稳过程等均值的特点，两种方法具有互补性。

地价指数是受各种随机因素影响而随时间变化呈现上涨趋势的非平稳随机过程，因此如果将两种预测方法有效的结合起来，先采用灰色模型对地价指数的时序数据进行拟合，找出其变化趋势，则可以弥补马尔柯夫链预测的局限，而在灰色预测的基础上再进行马尔柯夫预测，又可以弥补灰色预测对随机波动大的数据序列预测准确度低的缺陷。

3 建立灰色——马尔柯夫预测模型

建立GM （1，1） 模型

设原始序列为： ，将X（0）做一次累加，得累加生成序列 。

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其中，

X（1）可以通过求解一阶线性微分方程：

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的解得到，其中a、u 为未知参数。

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计算出a、u 后，可求出方程（2）的解为：

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由（5）式可对 X（1）做出预测，由累减生成得到原始数据序列 X（0）的预测，即：

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其中，

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记 即为k时刻GM（1，1）模型求得的原始数据序列的灰色预测值，它反映了原始数据呈指数规律变化的总趋势。

状态划分

在灰色预测的基础上进行马尔柯夫预测，必须将序列划分为若干状态。一般是以y＾k曲线为基准，划分成若干条形区域，每一条形区域构成一个状态。其中任一状态区间Qi 表达为：

Qi＝［Q1i，Q2i］ （i＝1，2，3，…，n）

其中：

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Oi，Pi为常数，数值根据具体情况确定。由于 是随时间k变化而变化，因此，Q1i，Q2i也随时序变化，即状态区间 Qi 具有动态性。

转移矩阵的计算和确定预测值

转移概率矩阵公式为：

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式中， 为由状态Qi经过m步转移到Qj的概率；n为划分的状态数目；Mi为原始数据按一定的概率落入状态Qi的样本数； 为由状态Qi经m步转移到Qj的原始数据样本数。

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一般只需考察一步转移概率矩阵P（1），但当状态的未来转向难以确定时，则需要考察多步转移概率矩阵 P（m），多步转移概率矩阵可以根据切普曼 －柯尔莫哥洛夫方程确定。

确定了预测对象未来的状态转移以后，即确定了预测值变动的灰区间Qi＝［Q1i，Q2i］，可以用区间的中位数作为预测对象未来时刻的预测值： 。

4 实证研究

选取样本数据

深圳作为我国最早实行改革开放的地区，土地市场相对于其他城市而言要完善和发达许多，而综合地价指数能较为准确的反映深圳土地价格的总体水平，具有较强的综合性和趋势性，鉴于数据获取的可得性，笔者选取深圳 2001年第一季度到 2004年第二季度的综合地价指数作为样本数据，2004年第三第四季度的综合地价指数作为检验数据。具体数据见表1。

表1 深圳2001年1季度～2004年4季度综合地价指数

数据来源：深圳地价指数报告。

建立 GM （1，1） 模型

原始序列X（0）＝｛，，，，，，，，，，，，，｝

根据公式（1），一次累加序列 X（1）＝｛，，，，，，，，，，，，，｝

根据公式（3）、（4）可求得

则

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划分状态

根据深圳地价指数变化的实际情况，划分为Q0 （持平）、Q1 （微升）、Q2 （上升）、Q3 （微降）和Q4 （下降）五种状态。具体划分标准如下：

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其中： ，为深圳2001年第一季度至2004年第二季度综合地价指数的平均数。

状态Qi（i＝0，1，2，3，4）表示原始数据序列X（0）偏离预测曲线 的程度，落入各状态的样本点数分别为M0＝3，M1＝6，M2＝1，M3＝2，M4＝2。由于原始数据序列中最后一个数的状态转向不确定，所以，应删掉最后一个数据，然后根据由i经一步转移到j的样本点数Mij，计算一步状态矩阵M，再根据M计算 经一步转移到 的转移概率Pij从而得到一步状态转移矩阵P（1），结果如下：

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深圳2004年第二季度综合地价指数处于Q0 状态，考察一步转移概率矩阵第一行可知，下一季度转为状态Q1、Q2 的概率均为1/2，因此根据此一步转移概率矩阵无法预测深圳2004年第三季度综合地价指数所处的状态，需要进一步考察二步转移概率矩阵。根据切普曼－柯尔莫哥洛夫方程确定二步转移概率矩阵P（2），结果如下：

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考察此二步转移概率矩阵第一行可知，处于Q0 状态的第二季度综合地价指数在第三季度转为状态Q1 的概率最大，概率值为，因此可预测2004年第三季度综合地价指数处于Q1，即微升状态。指数预测值为：

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同理，根据第三季度地价指数预测值，判定其所处的状态为 Q0，可预测出深圳2004年第四季度地价指数状态转向Q1，综合地价指数值为： ，预测结果与现实数据的比较见表2。

表2 地价指数预测效果比较

由表2 预测结果可以看出，用灰色——马尔柯夫模型对深圳2004年第三、四季度的综合地价指数进行预测所得结果与现实数据吻合度较高。

5 结语

由于我国过去长期实行的是计划经济体制，土地市场的形成和发育时间都较短，因此土地市场信息相对较少，但是随着市场经济的不断发展和完善，政府、开发商等市场主体对土地市场信息的需求越来越迫切，这在信息的供给与需求之间就形成了一种矛盾。本文建立的灰色——马尔柯夫模型，综合考虑了市场规律本身的趋势性和国家的宏观调控和大政方针对土地市场的影响造成地价指数的波动性，用城镇较少的历史地价指数数据预测城镇未来的地价指数，并通过实例验证预测结果与现实情况吻合度较高，能够较好预测土地市场的价格走势，较好地解决了土地市场贫信息和多需求的矛盾。

本文实例验证采用的是市场化程度较高的深圳地价指数数据，但是由于我国目前大部分城市的土地市场发育程度还不理想，而且模型预测结果从根本上来说仍然需要市场交易资料的斧正，所以适用范围和程度有一定限制，但不失为一种有益的尝试。

参考文献

［1］李何超，汪四文.论城镇地价指数编制方法［J］.城市发展研究，2000，4：56～58

［2］岳朝龙，王琳.股票价格的灰色——马尔柯夫预测［J］.系统工程，1999，11：54～59

［3］贾 华，祝国瑞.土地利用规划中农作物单产预测的灰色——马尔柯夫链方法 ［J］.武汉测绘科技大学学报，1998，23 （2）：149～152

［4］刘耀林，刘艳芳，张玉梅.基于灰色——马尔柯夫模型的耕地总量预测模型［J］.武汉大学学报.信息科学版2004，29 （7）：575～580