有理数毕业论文

数学领域中的一些著名悖论及其产生背景

方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解（代数可解），就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。 一、伽罗瓦群论产生的历史背景 从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。 二.伽罗瓦创建群理论的工作 伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可。峰 1.伽罗瓦群论的创建 伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。 2.伽罗瓦群论的实质 我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式 △1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程 =0 (2) 该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设f(x)=是的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△i中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群是方程根的可能的最大置换群s(n)，s(n)是由n!个元素集合构成的，s(n)中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把s(n)中的元素个数称为阶，s(n)的阶是n!。 伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群g后，开始寻找它的最大子群h1，找到h1后用一套仅含有理运算的手续（即寻找预解式）来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域r，并且在h1的置换下不改变值，但在g的所有别的置换下改变值。再用上述方法，依次寻找h1的最大子群h2，h2的最大子群h3，…于是得到h1,h2,…,hm，直到hm里的元素恰好是恒等变换（即hm为单位群i）。在得到一系列子群与逐次的预解式的同时，系数域r也随之一步步扩大为r1,r2,…,rm，每个ri对应于群hi。当hm=i时，rm就是该方程的根域，其余的r1,r2,…,rm-1是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如，四次方程 x4+px2+q=0 (3) p与q独立，系数域r添加字母或未知数p、q到有理数中而得到的域，先计算出它的伽罗瓦群g，g是s(4)的一个8阶子群，g={e，e1，e2，…e7}，其中 e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=， e6=， e7=。 要把r扩充到r1，需在r中构造一个预解式，则预解式的根，添加到r中得到一个新域r1，于是可证明原方程（3）关于域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，并发现预解式的次数等于子群h1在母群g中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。第二步，构造第二个预解式，解出根 ，于是在域r1中添加得到域r2，同样找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此时，第二个预解式的次数也等于群h2在h1中的指数4÷2=2。第三步，构造第三个预解式，得它的根 ，把添加到r2中得扩域r3，此时方程（3）在r3中的群为h3，h3={e}，即h3=i，则r3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群h3在h2中的指数2÷1=2。在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。 现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=a。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。 他是这样给正规子群下定义的：设h是g的一个子群，如果对g中的每个g都有gh=hg，则称h为g的一个正规子群，其中gh表示先实行置换g，然后再应用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由g 约化到h1)的预解式是一个二项方程xp=a (p为素数)时，则h1是g的一个正规子群。反之，若h1是g的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群g生成的一个极大正规子群序列标记为g、h、i、j…, 则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子[g/h]，[h/i]，[i/g]…。合成因子[g/h]=g的阶数/ h的阶数。对上面的四次方程(3)，h1是g的极大正规子群， h2是h1的极大正规子群，h3又是h2的极大正规子群，即对方程(3)的群g 生成了一个极大正规子群的序列g、h1、h2、h3。 随着理论的不断深入，伽罗瓦发现对于一个给定的方程，寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全是群论的事。因此，他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后，伽罗瓦提出了群论的另一个重要概念“可解群”。他称具有下面条件的群为可解群：如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。 根据伽罗瓦理论，如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时，方程可用根式求解。若不全为质数，则不可用根式求解。由于引入了可解群，则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时，该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程(3)，它的[g/h]=8/4=2，[h1/h2]=2/1=2，2为质数，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，当n=3时，有两个二次预解式t2=a和t3=b，合成序列指数为2与3，它们是质数，因此一般三次方程可根式解。同理对n=4，有四个二次预解式，合成序列指数为2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽罗瓦群是s(n)，s(n)的极大正规子群是a(n) (实际a(n)是由s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积，则叫偶置换。)，a(n)的元素个数为s(n)中的一半，且a(n)的极大正规子群是单位群i，因此[s(n)/a(n)]=n!/(n!/2)=2，[a(n)/i]=(n!/2)/1=n!/2， 2是质数，但当n ≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。 顺带提一下，阿贝尔是从交换群入手考虑问题的，他的出发点与伽罗瓦不同，但他们的结果都是相同的，都为了证其为可解群，并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广，构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程，伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。 三.伽罗瓦群论的历史贡献 伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

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第25卷 第2期自然辩证法研究Vol. 25, 年2月Studies in Dialectics of NatureFeb. , 2009文章编号:1000 -8934 (2009) 02 -0025 -05穆勒的算术哲学宋 伟(湖北大学哲学学院,武汉430062)摘要:穆勒的算术哲学包含两个方面的内容:一方面是对先天论几何观和唯名论算术观的批判;另一方面是对数的性质和数的形成方式的阐明。尽管这种算术哲学通常被认为具有一种“极端的”或“狭隘的”经验主义特征而受到弗雷格和胡塞尔等人的严厉批判,但这些批判本身也都面临着各自的困难,而这使得穆勒的算术哲学至今都不能被彻底抛弃。关键词:穆勒;算术哲学;数中图分类号:B5504 文献标志码:A收稿日期:2008 -10 -27哥德尔( Kurt Gêdel)在《数学是语言的语法吗?》一文中指出:“经验主义数学观的信条显然是说,归根结底一切知识都是基于(外在的或内在的)感观知觉,我们并不具有一种对某个抽象数学对象领域的直观,而且既然由于数学的先天确定性,这样一个抽象对象领域并不能由经验上得知,所以必须假定它根本不存在”〔1〕335n。穆勒(Jo hn S. Mill)的数学观就具有哥德尔所指出的这种经验主义信条的典型特征,而且由于穆勒坚持认为归纳是一切科学的基础,因而他还进一步否认了数学具有任何的“先天确定性”。这种通常被称为“极端或狭隘的经验主义”的特征在穆勒的数的观念中得到了充分的体现,为了表明这一点让我们首先看看他是如何针对“先天论”的观点对两种先天论几何观进行批判的。1 对先天论几何观的批判先天论的几何观通常存在着两种反对经验论观点的论证。第一种论证:如果有人认为“两条直线不能围成一个空间”这一命题可由感观知觉得到,那么他就必须要实际观察到或感觉到两条直线无论延伸到多远都不会相交这一事实,但他怎么能跟随两条直线到无限远的地方呢?因此,除非人们对这一命题有不同于感观知觉的证明方式,否则就根本没有相信这一命题的理由。第二种论证:几何公理都是普遍必然真的命题,因为人们无法想象它们的反面,对它们的否定不仅是假的而且是不可能的。经验不可能使任何几何命题具有普遍必然真的特征,因为一方面,经验总是有限范围内的经验,并不适用于普遍的情况;另一方面,经验只是观察并记录所发生的什么,并不保证必然要发生什么。因而,对普遍必然真的命题的证明必须依赖于一种与经验无关的更高层次的方式。针对第一种论证,穆勒认为,人们关于几何形式的观念与引起它们的感觉完全相似,几何形式可以与实在一样被描绘在人们的想像中,只要这些几何图像足够精确,它们就可以显示出与实在同样的特征,因而,只要思考直线的观念而不用实际观察到或感觉到它们,人们就能够认识到“两条直线不能围成一个空间”〔2〕154。按照这种看法,似乎可以想像当两条直线在彼此分离又再次接近时,不管这发生在多么远的地方,人们一定会在感观知觉上产生出一种“曲线”而不再是“直线”的印象。只是这里要注意,穆勒并不是说人们可以通过想像的直观(imaginaryint uition)来认识“两条直线不能围成一个空间”这一命题,而是说想像的直线与真实的直线相似,人们可以从想像的直线得出有关真实的直线的结论,这一命题仍是一个来自观察的归纳结果。对于第二种论证,穆勒主要针对普遍必然真的命题的否定或反面的不可想像(inco nceivableness)进行了批判。穆勒认为,并不存在什么人类天性所普遍承认的事实,不可想像只是人们很难想像与长期形成的熟悉的经验以及古老的思维习惯相矛盾的东西,如当人们常常看到和想到两个东西在一起而从没有分别看到和想到它们时,由心理的联想律就作者简介:宋伟(1973 —),安徽临泉人,湖北大学哲学学院讲师,主要研究方向为科学哲学。自然辩证法研究 第25卷 第2期产生了一种可能永远无法超越的分别想像两个东西的困难〔2〕157。显然,在穆勒看来,将普遍必然性归之于某些几何命题仅仅是人们心理联想律的作用,这种普遍必然性并不是什么先天的东西,而是一种来源于经验归纳的现象。在对先天论几何观进行了上述批判后,穆勒认为有必要将这种批判带向另一个领域,因为“我们现在所断定的并不能被认为对于演绎或证明科学普遍成立,除非将它们运用于所有科学中最卓越的数的科学以及运算理论、算术和代数而得到证实”〔2〕166。所以,接下来我们就来看看穆勒如何将其经验论的认识运用于数的科学。2 对唯名论算术观的批判在对数的认识中,存在着一种唯名论的或符号论的观点,这种观点认为:数的科学的命题仅仅是言语(verbal)表达式,数的运算过程仅仅是一个表达式代入另一个表达式的简单语言转换。根据这种观点,“2加1等于3”这一命题并不是一个真理,也不是对一种实际存在的事实的断定,而是“3”这个符号的一个定义,是一个人们同意用“3”这个符号来作为“2加1”的记号的命题,以便用后者这一较长的短语称呼的东西也能用前者来称呼。同样,在这一观点看来,代数中最长的运算过程只是用等值表达式一个代入另一个的一系列术语变化过程,或者说是同一个事实从一种语言到另一种语言的翻译过程。针对这种观点,穆勒指出:仅仅通过语言的人为操作来发现事实和探究自然的隐秘过程是与常识相悖的,而当用代数证明一个新的几何定理时如何解释事实本身的变化正是这种观点的致命困难〔2〕166。不过,唯名论者或符号论者可能会认为,人们在使用算术或代数符号进行运算时并不带有任何观念(i2deas) ,因为符号a、b等并不表示某个确定的线、角或量,所以在人们的思想中就只有符号而没有观念。对此,穆勒指出:这种情况只是反映了算术或代数运算高度综合的本质及其语言的极端概括性,事物和符号在其中相互转换的归纳过程在人们的思想中仅仅是被隐藏起来了〔2〕167。针对另外一种认为算术和代数命题仅仅是言语符号的观点,即认为“2加1等于3”这类命题只是断定了两个名称之间的指示( signification)相同,穆勒反驳说,尽管“2加1”和“3”这两个名称指谓( de2note)相同的东西,但它们的涵谓(co nnotation)却可以不同,3个石子分成两堆和3个石子放在一堆在人们的感官上会留下不同的印象,所以“2加1等于西”〔9〕167。在穆勒看来,数都是对象或事物的名称,“10”意味着10个东西或10种声音或10次心跳等等,并没有脱离对象或事物的抽象的“10”存在。不623”这一命题仍是人们根据以往的经验归纳出的一个关于数的真理〔2〕168。当然,穆勒进一步认为,要是人们愿意,人们可以称命题“3是2加1”为数3的定义并且象断定几何那样断定算术是一门建立在定义上的科学,只是这些定义是几何意义上的而不是逻辑“意义上的定义,其所断定的不只是一个项的意指(meaning) ,而且还有与这个项一起的一个被注意到的事实”〔2〕168。3 数的性质基于以上这些认识,穆勒得出结论说:“所有的数都必须是某种东西的数,没有抽象的数这样的东过,由于一切东西都有量(quantity) ,都由可以被计数的部分构成,因而都具有一种可以被称作数的性质,所以,数虽然必须是某种东西的数,但却可以是任意东西的数,人们只需要想像一个被分成了10等份的东西就可以用“10”这个数的性质来谓述它。对此,穆勒认为代数作了进一步的概括,即“每个数都表示事物的一种无区分的特殊性质,而每个代数符号则表示一切无区分的数”〔2〕167。具体来说,只要人们想像一个东西被分成了若干等份但并不确定是几等份的时候,就可以称这个“几”为a或x并且可将其用于每一个代数公式而不会有犯错误的危险,如“2( a + b) =2 a +2 b”就是一个在一切情况下都为真的命题,只是这一命题的真并不是由于其中言语符号自身性质的缘故,而是由于其与事物的性质相符合从而可由事物的性质来谓述的缘故。在求解一个代数方程时,其中连续进行的推论也是关于事物而不是关于符号的推论,因为像“等量加上等量其和相等”和“等量减去等量其差相等”以及其他以这两个命题为基础的命题虽然运用于a、b、x、y等符号上,但它们所说的是事物的性质而不是那些符号的性质,其中的每一步只有在与事物而不是与符号相关时有关的证据才不会失效。通过以上的论述可以看出,穆勒坚决反对对数作符号的和逻辑的这些抽象意义上的解释,坚持认为数有经验的根源,这种认识显然与其几何观相一致。也正因为如此,穆勒试图进一步表明数的科学在更多的情况下类似于几何学,即算术中同样不存在普遍必然真的命题,归之于算术命题的必然性和确定性同样是虚构的和假定的,它们仅仅是在那些命题从假设为真的前提合法推出的意义上来说的。穆勒的算术哲学在穆勒看来,算术中的归纳命题可以分成两类:一类是“1加1等于2”、“2加1等于3”等等这类可以从几何学的意义上被看做定义的命题;另一类是“等量加上等量其和相等”和“等量减去等量其差相等”这两个算术公理。这两类命题似乎对一切对象都成立,而从中推出的其他命题似乎也都具有绝对的确定性。不过,穆勒认为,“只要再作进一步的思考就会发现,在所有这些关于数的命题中都隐藏着这样一个假设,即所有的数都是相同或相等单位的数,也即是说1 = 1。但因为实际上的1磅①重与另1磅重并不完全相等,1英里②与另1英里也不完全相等,所以,包含无条件真和绝对精确性这两重概念的数学确定性并不是所有数学真理的性质,而只是在不假设数是实际量的准确标记(index)的情况下在更广泛的意义上与量相区别的纯粹数(p ure Number)的真理的性质”〔2〕169。正是基于这一认识,穆勒得出结论说:“一切演绎科学的方法都是假设的方法”〔2〕169。这一结论的得出显然是穆勒坚持其经验主义几何观和算术观的一个必然结果。4 数的形成方式在论述了数的性质之后,穆勒认为:“在所有已知的现象中,在最严格的意义上,惟独数的性质是所有一切东西的性质。并不是所有的东西都有颜色、重量和广延,但所有的东西都有数( numera2ble) ”〔2〕146。在穆勒看来,数的定义与别的定义一样由名称的说明与事实的断定两部分构成,在2、3、4等数中每个数都各自指谓一组对象或一种物理现象并涵谓那组对象或那种物理现象的一种物理性质。对于这种物理性质,穆勒认为:“它是一种我们用数的名称所称呼的对象的聚合(t he agglomeration oft hings)的性质,这种性质是对象的聚合构成和分解的特有方式”〔2〕400。具体来说,当一组对象被人们称为2、3或4时,它们所涵谓的是单个对象为了产生特殊的聚合( aggregate)而必须放在一起的方式。以石子为例,如果人们称一堆石子的聚合为2 ,那么这就意味着一个石子必须与另一个石子放在一起;而如果称它为3 ,则意味着必须把一个石子加一个石子再加一个石子放在一起,或者把一个石子与已经存在的某个被称为2的石子聚合放在一起;对于人们称为4的一堆石子聚合则有更多的形成方式,可以把石子一个加一个地放在一起,也可以将两个被称为2的石子聚合放在一起,或者将一个石子与一个被称为3的石子聚合放在一起。依此类推,每一个上升序列中的后继数都可以通过不断增多的方式与较小的数相结合而形成。除此之外,还可以不通过较小聚合的结合而是通过较大聚合的分解来得到一个新的聚合,如3个石子可以从一个4的聚合中去掉一个石子来形成;2个石子可以由一个4的聚合的平分来形成,如此等等。由此可见,一个数的形成方式可以有许多种,而且当一些数的形成彼此关联时,人们完全可以根据它们的一种形成方式推演出它们的其他形成方式,如当人们知道a从b和c形成、b从c和d形成、c从e和f形成时,从中就可以推演出a从c和d的形成方式、a从d、e、f的形成方式以及b从d、e、f的形成方式。在此认识的基础上,穆勒进一步认为:“每个算术命题和每个算术运算的结果都是关于某个数的某种形成方式的陈述”〔2〕400。对此穆勒举例进行了说明,如当人们说“12的立方是1728”时,其中所断定的是:如果有足够多的石子或别的什么东西,就可以把它们放在一起形成一种被称为“12”的特殊的包(parcel)或聚合,然后把以这种方式得到的多个被称为“12”的特殊的包或聚合以相同的方式放在一起形成新的聚合,最后再由12个这样的聚合构成一个更大的聚合,最后的这个聚合就是一个人们称之为“1728”的聚合。而相反的命题“1728的立方根是12”则可以通过相反的方向分解出构成“1728”这一聚合的被称为“12”的包或聚合。显然,对于包含特殊的数的命题都可以进行类似的说明。不过,由于代数学命题对所有的数都成立或者说对一切可以以任意方式划分的东西都成立,那么对这类命题该如何进行说明呢?对于这一问题,穆勒认为,考虑到不同的数可以由相同的方式来形成,如9可以通过3的“自身相乘”来形成,16可以通过4的“自身相乘”来形成等等,所以可以通过对形成方式或者说函数进行分类的方法来说明代数学命题〔2〕403。在穆勒看来,任何一个由别的某个数形成的数都可以被称为前者的一个函数,而有多少种形成方式就有多少种函数,如通常的简单函数有加、减、乘、除、指数函数、开方函数、对数函数、正弦函数、反正弦函数等,而其他函数则由这些简单函数组合而成。在对函数问题进行一般运算时,只要有一种能够用名称表达任意数的命名法( nomenclat ure) ,就可以在不必指出那些数具体是什么数的情况下而表明它们是其他数的72①1磅=014536千克。②1英里=11 6093公里自然辩证法研究 第25卷 第2期何种函数,或者说表明它们由其他数的形成方式,如表达式a和2 a + 3 a分别指谓了任意一个数和由这个数以一种特定方式所形成的另一个数;表达式a、b、n和( a + b) n分别指谓了任意3个数和由这3个数以一种特定方式所形成的第4个数。在数的科学中,不同的形成方式可以得到相同的结果,如( a +b) n既可以由( a + b)自身相乘n次来形成也可以通过二项式定理由a、b、n直接形成,而“已知一个函数,它是某个别的函数的何种函数?”则成了代数运算的一般问题和目标。5 弗雷格和胡塞尔的异议对于穆勒的数的观念,弗雷格一方面认为穆勒有一种合理的想法,即不是从分析的或综合的、后天的或先天的角度来看待数的定律和数的公式,而是象莱布尼兹( Gottf ried W. Leibniz)一样对单个的数进行定义并进而希望将数的科学建立在定义的基础上;但另一方面,弗雷格认为由于穆勒坚持一种先入之见即所有知识都是经验的而使得上述那种合理的想法遭到了破坏〔3〕9。通过对“数的公式是可证的吗?”、“算术定律是归纳真理吗?”、“算术定律是先天综合的还是分析的?”以及“数是外在事物的性质吗?”这些问题的讨论,弗雷格在其《算术基础》一书中对穆勒算术观中的一切经验因素进行了全面、深入的批判并讥笑这种算术观为“小姜饼或小石子的算术”〔3〕xix。在从集合的角度通过对“概念”(con2cept)、“等同”(identity)、“一一对应”的讨论定义出从0到∞的全部自然数并满怀信心地认为有理数、复数也都可以还原为纯粹逻辑之后,弗雷格得出结论说:“..数既不是一堆东西也不是这堆东西的一种性质,同时也不是心理过程的一种主观产物,我们的结论是:数的命题断定了概念所具有的某种客观的东西。..很清楚,算术所研究的数绝不能被认为是一种依附的性质,而是实体性的。这样,数作为对象才能被反复认识到,尽管这不是作为物理的甚或仅仅空间的对象,也不是作为我们通过想象而形成的图像的对象”〔3〕115 -116。显然,弗雷格表明了一种与穆勒完全相反的数的观念:穆勒认为数必须是某种东西的数,是对象或事物的一种物理性质,没有独立、客观的存在;而弗雷格则认为数是“概念”的数(如属于“等于0又不等于0”这一概念的数是0) ,有独立的存在。正是由于弗雷格和穆勒数的观念的这种基本差异,导致两人对数的定律的认识也全然不同。穆勒坚持认为数的定律是自然定律,象其他科学定律一样是归纳的结果,因而可应用于外界事物;而弗雷格则认为:“数的定律并不应用于外界事物,它们不是自然定律。它们只应用于对外界事物有效的判断:它们是自然定律的定律。它们并不断定现象之间的联系,而是断定判断之间的联系,自然定律就包含在判断之中”〔3〕99。总的来看,弗雷格的算术观是与其所坚持的“把心理的和逻辑的东西、主观的和客观的东西区别开来”、“把概念和对象区别开来”以及“只在命题的语境中而不是孤立地探讨语词的意指”这三条基本原则相一致的,也完全表明了弗雷格希望在算术中彻底摆脱一切心理的和经验的因素而仅仅由合乎逻辑的纯粹理性来建立起整个数的科学的一种努力。只是遗憾的是,在罗素悖论被发现之后,弗雷格不得不承认他的这种努力彻底失败了。在其后期的一篇文章《算术基础的新尝试》中,尽管弗雷格仍然坚持算术证明中不需要求助于感观知觉并且坚持数的命题包含对概念的断定,但却放弃了认为算术证明中不需要求助于直观(int uition)的观点,同时希望能为算术重新找到一种先天的几何学基础〔4〕278。只是这样一来,弗雷格就不得不重新面对穆勒对先天论几何观的批判了。胡塞尔( Edmund Husserl)在其《算术哲学》一书中对穆勒的数的观念也提出了异议。针对穆勒认为数的定义中所断定的事实都是物理事实而象2、3、4等等这样的数都各自指谓不同的可感知的物理现象并涵谓那些现象的一种物理性质这种观点,胡塞尔认为:“这种观点显然是错误的,人们肯定疑惑一个穆勒级水平的思想家怎么会对此感到满意。无疑,两个苹果与三个苹果可以在物理上区分开来,但两个判断与三个判断或两种不可能性与三种不可能性等等肯定不能进行这样的区分。因而,这些情况下数的差别不可能是一种看得见摸得着的物理差别。只要一提到完全可以象物理的东西一样被进行计数的心理的行为或状态,穆勒的理论就被驳倒了”〔5〕18。显然,胡塞尔在指责穆勒的数的观念只局限于物理现象而忽视了同样可被计数的人的心理行为或状态,因为一个明显的事实是,当人们谈论“两个判断与三个判断”或“两种不可能性与三种不可能性”时,其中的“判断”和“不可能性”并不是什么物理现象而“两个”和“三个”也并不涵谓什么物理现象的物理性质。确实,尽管穆勒认为“数可以是一切东西的数”、“一切东西都有量”,但这似乎主要是针对物理现象来说的,而对于心理行为或状态的可计数性穆勒似乎并没有作出更多的说明。不过,通过上述对穆勒数的观念的讨论,我们可以看出,穆勒虽然不承认数有抽象的存在,但他似乎并不反对数有抽象82穆勒的算术哲学的即“语言的极端概括性”意义上的应用,只是要求人们知道归根结底数有归纳的来源就行了。针对穆勒认为数的命题中隐藏着一种假设即所有的数都是相同或相等单位的数或者说1=1这一观点,胡塞尔认为:“轻而易举就能反驳这种错误的观点,要求算术预设1=1这一命题完全是弄错了算术的意思。算术作为数的理论与具体的对象无关,而是与一般的数有关”〔5〕156。胡塞尔进一步解释说:“由我们的心理分析而来的单元的相同显然是一种绝对的相同。事实上,只要想到近似就会是荒谬的。因为这是关于它们有具体内容这一事实的具体内容的同一问题,否认这种相同就是否认内在感知的明证性(evidence) ”〔5〕158。显然,胡塞尔反对穆勒认为们构造这样那样一些并不直接明了的数的特征时的实际行为说什么。..相反,它们只关心具有抽象纯粹性和理想性的绝对的数和数的组合。..所有这些命题没有一个可以还原为具有经验普遍性并且能够毫无例外地应用于整个实际世界的命题,即使是在普遍性最宽泛的意义上也不行”〔6〕110。与弗雷格相比,胡塞尔也承认算术是一门先天的科学,只是在追求对数进行基于纯粹逻辑的理解上胡塞尔远远没有弗雷格走得那么远。较小的数的理解应当基于对“同一”(identity)、“某个东西”( some2t hing)、“多元”(multiplicity)等这些更为直观的初始概念的理解,但是这些概念不可定义而只能进行心理分析。正是基于这种认识,胡塞尔在其《算术哲学》一书中不仅对穆勒的数的观念进行了批评而且也对弗雷格按照“一一对应”来定义数的做法进行了批评。不过,在接受了弗雷格批评他将概念和表象(presentation)混为一谈以及在对数的解释中求助于抽象(abstrac2tion)的做法之后,胡塞尔就彻底转向了致力于消除其算术观中的心理主义因素的方向,这一点在其对心理主义进行大力批判的《逻辑研究》一书中有充分的体现:算术命题与那些理想的单元有关,..它1=1是一种假设的观点,而是认为1=1是可以通”么?这一问题的争论提供一些更为丰富的历史背过心理分析而得到的一种无可置疑的结果。在胡塞景,同时为理解现代各种具有经验主义特征但却不尔看来,人们对各种抽象的数的理解尤其是对一些“单元”( unity)、同于极端经验主义特征的数学观提供一种可供对比通过以上对穆勒算术哲学的论述,我们希望能够详尽地展现一种极为朴素的数的观念或一种归纳的数的解释理论或者说一种极端经验主义的算术观以及这种观念或理论所面临的挑战,从而为“数是什“们并不告诉我们任何实际的东西,既不对被计数的实际东西说什么,也不对计数那些东西时或者为我的参照。参考文献〔1〕Gêdel K. IsMathematicsSyntaxofLanguage?[M]//Col2lected Works : Vol. 3. New York :Oxford University Press ,1995.〔2〕Mill J S. A System of Logic [M]. London: Longmans,Green , And Co. , 1886.〔3〕Frege G. The Foundationsof Arithmetic[M]. New York:Happer & Brothers , 1960.〔4〕Frege G. A New Attempt at A Foundation for Arithmetic[M]// Posthumous Writings. Chicago: The University ofChicago Press , 1979 :278.〔5〕Husserl E. Philosophyof Arithmetic[M]. Dordrecht: Klu2wer Academic Publishers , 2003.〔6〕Husserl E. Logical Investigation:[M]. New York:Routledge , ’s Philosophy of ArithmeticSON G Wei(Faculty of Philosophy , Hubei University , Wuhan 430062 , China )Abstract :Mill’s philosophy of arithmetic consists of two parts: one is his critique of a priori views of geometry and that of nominalist views ofarithmetic,andtheotherishiselucidationonthenatureofnumberandthewaysofconstructionofnumbers. Itisordinarilybelievedtobepro2videdwitha’narrow’or’extreme’empiricistcharacteristic. ButalthoughmanywritersincludingFregeandHusserlhavecriticizeditheavily,Mill’s philosophy of arithmetic cannot yet been thoroughly put away , since the criticisms themselves have respectively encountered some words : Mill; philosophyof arithmetic; number(本文责任编辑 费多益)

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