概率论的起源和发展论文

概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时 *** 数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题：“现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局[a < s]，而赌徒B赢b局[b < s]时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”于是他们从不同的理由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯[1629-1695]亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论着，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望[mathematical expectation]这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。

使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利[1654-1705]。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗著《猜度术》中。

到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。

概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。

起源 概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最初概率论的起源与赌博问题有关。

16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。 概率与统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。

随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。 概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。

发展 随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时这也大大推动了概率论本身的发展。 使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。

随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第 二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。 拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。

19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。 20世纪初受物理学的 *** ，人们开始研究随机过程。

这方面柯尔莫哥洛夫、维纳、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。 扩展资料 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。

随机现象是相对于决定性现象而言的。 在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。

例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。 随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。

例如，掷一硬币，可能出现正面或反面。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。

随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。

事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。

参考资料：百度百科-概率论。

概率的历史：

第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译出来的。

卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。

这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevvalier de Mere提出的问题。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金分配问题。

概率是度量偶然事件发生可能性的数值。假如经过多次重复试验，偶然事件出现了若干次（。以X作分母，Y作分子，形成了数值。

在多次试验中，P相对稳定在某一数值上，P就称为A出现的概率。如偶然事件的概率是通过长期观察或大量重复试验来确定，则这种概率为统计概率或经验概率。

扩展资料：

随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。

另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。

米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。

参考资料来源：百度百科—概率

概率的历史： 第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。

记载在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译出来的。

卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。

然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。 这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevvalier de Mere提出的问题。

Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金分配问题。

概率是度量偶然事件发生可能性的数值。假如经过多次重复试验，偶然事件出现了若干次（。

以X作分母，Y作分子，形成了数值。 在多次试验中，P相对稳定在某一数值上，P就称为A出现的概率。

如偶然事件的概率是通过长期观察或大量重复试验来确定，则这种概率为统计概率或经验概率。 扩展资料： 随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。

另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。 米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。

从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。 参考资料来源：百度百科—概率。

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。

随机现象是指这样的客观现象，当人们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。

例如，掷一硬币，可能出现正面或反面；测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐；等等。这些都是随机现象。

随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件又通称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。

虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。人们在长期实践中已逐步觉察到某些这样的规律性，并在实际中应用它。

例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率（出现次数与投掷次数之比）随着投掷次数的增加逐渐稳定于1/2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的近旁，越远则越少，因之其分布状况呈现“中间大、两头小”及某种程度的对称性（即近似于正态分布）。

大数律及中心极限定理就是描述和论证这些规律性的。在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是概率论中的随机过程。

例如，某一电话交换台从一确定时刻起到其后的每一时刻为止所收到的呼唤次数便是一随机过程。又如，微小粒子在液体中因受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）也是一随机过程。

研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道（即过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。总之，概率论与实际有着密切的联系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。

概率论还是数理统计学的理论基础。 发展简史 概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。

16世纪，意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷两个骰子出现总点数为9或10的可能性大小。17世纪中叶，法国数学家b.帕斯卡、p. de.费马及荷兰数学家c.惠更斯基于排列组合的方法（见组合数学）研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了“合理分配赌注问题”（即“得分问题”，见概率）、“输光问题”等等。

其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今称之为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数律；该定理断言：设事件a的概率p(a)=p(0概率，应理解为事件发生的机会的一个测度，即公理化概率测度（详见后）。

1716年前后，a.棣莫弗对p =1/2情形，用他导出的关于n！的渐近公式（，即所谓斯特林公式）进一步证明了 渐近地服从正态分布（德国数学家.高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，所以也称为高斯分布）。棣莫弗的这一结果后来被法国数学家.拉普拉斯推广到一般的p(0概率论中第二个基本极限定理（见中心极限定理）的原始形式。

拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总结前人工作的基础上，写出了《概率的分析理论》（1812年出版，后又再版6次）。

在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义（通常称为古典概率，见概率），并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。拉普拉斯非常重视概率论的实际应用，对人口统计学尤其感兴趣。

继拉普拉斯以后，概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数律及棣莫弗-拉普拉斯极限定理。在这方面，俄国数学家∏.Л.切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用他所创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数律。

次年，又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机变量序列的中心极限定理；但其证明不严格，后来由.马尔可夫于1898年补证。1901年Α.М.李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理。

他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。继李亚普诺夫之后，Α.Я.辛钦、Α.Η.柯尔莫哥洛夫、p.莱维及w.费勒等人在随机变量序列的极限理论方面作出了重要贡献。

到20世纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论已臻完备。在此期间，由于实际问题的需要，特别是受物理学的 *** ，人们开始研究随机过。

“统计”一词，英语为statistics，用作复数名词时，意思是统计资料，作单数名词时，指的是统计学。

一般来说，统计这个词包括三个含义：统计工作、统计资料和统计学。这三者之间存在着密切的联系，统计资料是统计工作的成果，统计学来源于统计工作。

原始的统计工作即人们收集数据的原始形态已经有几千年的历史，而它作为一门科学，还是从17世纪开始的。英语中统计学家和统计员是同一个（statistician），但统计学并不是直接产生于统计工作的经验总结。

每一门科学都有其建立、发展和客观条件，统计科学则是统计工作经验、社会经济理论、计量经济方法融合、提炼、发展而来的一种边缘性学科。 1，关于单词statistics 起源于国情调查，最早意为国情学。

十 七世纪，在英格兰人们对“政治算术”感兴趣。1662年，John Graunt发表了他第一本也是唯一一本手稿，《natural and politics observations upon the bills of mortality》， 分析了生男孩和女孩的比例，发展了现在保险公司所用的那种类型的死亡率表。

英文的statistics大约在十八世纪中叶由德国学者 Gottfried Achenwall所创造，是由状态status和德文的政治算术联合推导得出的，第一次由John Sinclair所使用，即1797年出现在Encyclopaedia Britannica。（早期还有一个单词publicitics和statistics竞争“统计”这一含义，如果得胜，现在就开始流行 publicitical learning了）。

2，关于高斯分布或正态分布 1733年，德-莫佛（De Moivre）在给友人分发的一篇文章中给出了正态曲线（这一历史开始被人们忽略） 1783年，拉普拉斯建议正态曲线方程适合于表示误差分布的概率。 1809年，高斯发表了他的关于天体运行论的伟大著作，在这一著作的第二卷第三节中，他导出正态曲线适宜于表示误差规律，同时承认拉普拉斯较早的推导。

正态分布在十九世纪前叶因高斯的工作而加以推广，所以通常称作高斯分布。卡尔-皮尔逊指出德-莫佛是正态曲线的创始人，第一个称它为正态分布，但人们仍习惯称之高斯分布。

3，关于最小二乘法 1805年，Legendre提出最小二乘法，Gauss声称自己在1794年用过，并在1809年基于误差的高斯分布假设，给出了严格推导。 4，其它 在十九世纪中叶，三个不同领域产生的重要发展都是基于随机性是自然界固有的这个前提上的。

阿道夫·凯特莱特（A. Quetlet,1869）利用概率性的概念来描述社会学和生物学现象（正态曲线从观察误差推广到各种数据） 孟德尔（）通过简单的随机性结构公式化了他的遗传法则 玻尔兹曼（Boltzmann,1866）对理论物理中最重要的基本命题之一的热力学第二定律给出了一个统计学的解释。 1859 年，达尔文发表了《物种起源》，达尔文的工作对他的表兄弟高尔登爵士有深远影响，高尔登比达尔文更有数学素养，他开始利用概率工具分析生物现象，对生物计 量学的基础做出了重要贡献（可以称他为生物信息学之父吧），高尔登爵士是第一个使用相关和回归这两个重要概念的人，他还是中位数和百分位数这种概念的创始 人。

受高尔登工作影响，在伦敦的大学学院工作的卡尔-皮尔逊开始把数学和概率论应用于达尔文进化论，从而开创了现代统计时代，赢得了统计之父的称号，1901年Biometrika第一期出版（卡-皮尔逊是创始人之一）。 5，关于总体和样本 在早期文献中可找到由某个总体中抽样的明确例子，然而从总体中只能取得样本的认识常常是缺乏的。

----K.皮尔逊时代 到十九世纪末，对样本和总体的区别已普遍知道，然而这种区分并不一定总被坚持。----1910年Yule在自己的教科书中指出。

在 1900年代的早期，区分变的更清楚，并在1922年被Fisher特别强调。----Fisher在1922年发表的一篇重要论文中《On the mathematical foundation of theoretical statistics》，说明了总体和样本的联系和区别，以及其他概念，奠定了“理论统计学”的基础。

6，期望、标准差和方差 期望是一个比概率更原始的概念，在十七世纪帕斯卡和费马时代，期望概念已被公认了。K.皮尔逊最早定义了标准差的概念。

1918年，Fisher引入方差的概念。 力学中的矩和统计学中的中数两者之间的相似性已被概率领域的早期工作者注意到，而K.皮尔逊在1893年第一次在统计意义下使用“矩”。

7，卡方统计量 卡方统计量，是卡-皮尔逊提出用于检验已知数据是否来自某一特定的随机模型，或已知数据是否与已给定的假设一致。卡方检验被誉为自1900年以来在科学技术所有分支中20个尖端发明之一，甚至敌人Fisher都对此有极高评价。

8，矩估计与最大似然 卡-皮尔逊提出了使用矩来估计参数的方法。 Fisher则在1912年到1922年间提出了最大似然估计方法，基于直觉，提出了估计的一致性、有效性和充分性的概念。

9，概率的公理化 1933年，前苏联数学家柯尔莫格洛夫（Kolmogorov）发表了《概率论的基本概念》，奠定了概率论的严格数学基础。 10，贝叶斯定理 贝叶斯对统计学几乎没有什么贡献，然而贝叶斯的一篇文章成为贝叶斯学派统计学的思想模式的焦点，这一篇文章发表于1763年，由贝叶斯的朋友、著名人寿保险原理的开拓者Richard Pri。

概率论的起源说起概率论起源的故事，就要提到法国的两个数学家。一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家。费马是一位业余的大数学家，许多故事都与他有关。帕斯卡 费马帕斯卡认识的朋友中有两个是赌徒。1651年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天， A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4。为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A赢，或者 B赢。若是 A赢满了5局，钱应该全归他； A如果输了，即 A、 B各赢4局，这个钱应该对半分。现在， A赢、输的可能性都是1／2,所以，他拿的钱应该是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4,当然， B就应该得1／4。这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目。于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的，赌友应得64金币的。通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作 。概率论现在已经成了数学的一个重要分支，在科学技术各领域里有着十分广泛的应用。概率论进一步的发展帕斯卡、费马和惠更斯以来，第一个对概率论给予认真注意的是雅各布?伯努利。他的《猜度术》一书，包含了大数律的叙述；棣莫弗最早使用正态分布曲线；拉格朗日的贡献在于误差理论。不过，首先将概率论建立在坚固的数学基础上的是拉普拉斯。从1771年起，拉普拉斯发表了一系列重要著述，特别是1812年出版的《概率的解析理论》，对古典概率论作出了强有力的数学综合，叙述并证明了许多重要定理。拉普拉斯等人的著作还讨论了概率论对人口统计、保险事业、度量衡、天文学甚至某些法律问题的应用。概率论在十八世纪已远不再是只与赌博问题相联系的学科了。

概率雏形1470年，也就是唐伯虎出生的那一年，有一本拉丁文的诗书《De Vetula》出版。上面有首诗记录了3个骰子点数和的排列组合结左图为原始印刷，数字的写法和我们现在有些不同。右边为阿拉伯数字版本。可以看出，三个骰子点数相加等于10或者11，有6种组合情况，但是排列情况有27种。140年后，也就是1610年，伽利略发现了木星的卫星。差不多在这个时候，资助伽利略的Tuscany大公请教了伽利略3个骰子和的问题。Tuscany大公是个赌徒，他在赌博时，发现三个骰子点数和为10比点数和为9出现的更频繁一些。他想不明白，按他的思路，有6种方式得到10,分别为631,622,541,532,442,433；同样有6种方式得到9,分别是621,531,522,441,432,333。他觉得这9和10出现的频率不应该有差异。伽利略指出了大公的错误，三个骰子是不同的，631和613是不同的两种情况。可惜伽利略那个时候只考虑了频次，还没有形成概率的思想。概率的思想是什么时候形成的呢？大概是1564年左右，这个时候伽利略刚出生。意大利博学家Cardano写了本书《Liber de Ludo Aleae ("Book on Games of Chance")》，但是这本书直到大概一个世纪后的1663年才出版。伽利略1642年去世，所以也没有机会看到。书里就包含了一些概率的早期思想。Cardano据说是达芬奇一个律师朋友的私生子。他是第一个系统的推算概率的人，可以说是创派始祖。三个骰子和的问题Cardano在《Liber de Ludo Aleae 》的第13章从时间上来看，《De Vetula》其实已经给出了三个骰子和的答案，70年后Cardano也给出了答案，但是140年后的Tuscany公爵还是得请教伽利略，可见古代知识的流通极为困难。Cardano在《Liber de Ludo Aleae 》第十四章中明确定义了“比例”，如果赌局中有利的所有可能的数目为a，不利情况的数目b，则应该根据a/b的结果来下注。概率论的诞生Cardano虽说是概率的创派始祖，但是真正变成概率论这样一门学科的标志性事件是1654年Pascal和Fermat的通信。Pascal就是法国物理学家和数学家帕斯卡，学过物理的都知道压强单位。Fermat就是提出“费马大定理”并且困扰数学家300年之久的费马。故事的起源是另一个著名的赌徒Antoine Gombaud，但是他更让人熟知的名字是Chevalier de Méré（来自梅尔的骑士），国内大多翻译成德梅尔。德梅尔被一个赌徒分金的问题困扰。赌徒分金问题描述如下：两个赌徒A和B水平相当，胜率各自50%，约定先赢s局的拿走所有赌注。当A赢了a局，B赢了b局的时候，比赛由于某些原因中断，问这时候符合分配奖金是公平合理的？假设s=6,a=5,b=3。这个问题最早是由意大利数学家Paccioli在1494年提出，当时Paccioli给出的答案是a:b这么分，也就是5:3。后续也有很多数学家思考过这个问题，但是按照已发生的事件进行推断。1537年，Cardano也曾经思考过这个问题，他给出了一个公式f(n)=1+2+3+...+n。A还剩s-a局就可以获胜，B还剩s-b局可以获胜，两者的分金比率应该为f(s-b):f(s-a)=(s-b)(s-b+1):(s-a)(s-a+1)，也就是6:1。虽然答案错误，而且没搞清楚Cardano是怎么思考的，但是Cardano已经开始考虑用未来剩余的赌局来决策，而不是局限于已发生的事件。直到1654年德梅尔向Pascal请教，Pascal和Fermat进行书信交流，并且用不同的解法给出了这个问题的正确答案。Fermat给出了最朴素易懂的解法：如果比赛不终止，那么最多还需要比赛3场就可以分出胜负。可能的结果分别为{AAA,AAB,ABA,ABB, BAA,BAB, BBA, BBB}，所有的结果中，B只有一个结果获胜，也就是连胜三局。所以分金比例应该为7:1。Pascal用了两种更难的解法，一种是Pascal三角形(杨辉三角)，一种是递推。关闭无图模式：我的 > 设置 > 无图模式Pascal根据该Pascal三角形的性质：第n行第k个数字，等于从n-1件物品中一次取出k件的组合数。认为A在余下3场赢3场的组合数为C(3,3)=1，赢2场的组合数为C(2,3)=3,赢1场的组合数为C(1,3)=3,全输的组合数为C(0,3)=1。故应按照7:1来分。三角形的解法可以认为是Fermat解法的升级版本，即使是a和b的值发生变化都能按图索骥得到答案。递推的解法也非常精彩。Pascal分析了这个问题的一个简化版本，就是s=3，a=2，b=1的情况。假设A和B的赌注一共为64个金币，当2:1比分的情况下，如果第三局A胜利了，那么会得到全部64枚金币，如果A输了，则比分变成2:2，这时候是平局，AB平分奖金。A可以说，不管哪一种情况，我至少会拿32个金币，至于剩余的32个金币，可能归我也可能归你，平分。这样A应该拿32+(64-32)/2=48个金币，B则拿16个金币。用该思想来考虑s=6,a=5,b=4的情况。与s=3,a=2,b=1的情况类似，A应该拿32+(64-32)/2=48个金币。再考虑s=6,a=5,b=3的情况，如果下一局A胜利，则拿到所有奖金，如果A落败，则问题转化为s=6,a=5,b=4的情况。所以此时A可以说，我至少拿48个硬币，剩余金币平分，则A最终可以拿48+(64-48)/2=56个金币，B只能拿8个金币。和Fermat的7:1结果相同。在递推解法里，Pascal可能无意之间使用到了期望，尤其是48+(64-48)/2这个式子。换一种说法，假设A赢了后得到x=64金币，输了后得y=48金币，则A应该分到多少金币？按Pascal的式子，应为y+(x-y)/2=(x+y)/2=x**，这其实就是期望。后来，荷兰数学家Huygens也参与了Pascal和Fermat的讨论，并且在1657年出版了一本书，名字叫《De ratiociniis in ludo aleae ("On Reasoning in Games of Chance"）》，标志着现代概率论的诞生。