不一定。但是你这个问题比较复杂。我们可以根据条件收敛级数的特点来构造这么一种情况：我们首先选择一个条件收敛的级数，例如Σ[(-1)^n/n]，其中求和的范围是从n=1到∞。容易验证这是一个条件收敛的级数。下面引入一个定理：
参考文献：
这是关于条件收敛级数重排的一个性质，详细的证明过程见参考文献。
根据条件收敛级数的这个性质，接下来我们就要构造一个算法了。
首先对于任何收敛的级数（包含条件收敛的情况），必定满足通项的极限为0，即通项是无穷小。所以就满足了题目的第一个要求。
其次，我们为部分和序列设计一个有界的区间让它“留”在里面，不妨设这个区间为[0,1]，从中选出1/3和2/3这两个点作为部分和序列的“目标点”。
step1：首先选择1/3这个点，根据上面所提到的条件收敛级数的性质，对原级数进行重排，让新级数的部分和“走”向1/3，当部分和与1/3的距离小于1/100的时候（根据上面所提的性质，这个要求是可以在有限步实现的），停止。进入step2.
step2：经过上一步，我们已经消耗了原级数的有限项，剩下的项依然组成一个条件收敛的级数。这时候选择2/3这个点，用原级数剩下的项进行重排，让新级数的部分和“走”向2/3，当部分和与2/3的距离小于1/100的时候（同样这个要求也是可以在有限步实现的），停止。返回step1。
可以证明，通过这种方法构造的级数，它的部分和序列是有界的（但不一定在[0,1]之内，因为前面的有限项可能会把部分和“带”出这个范围，但是我们可以保证，当n充分大以后，部分和始终在[0,1]区间内。）
但是显然这个级数不收敛。
解毕。
幸运吧2016
