正定矩阵的判定与应用毕业论文

设实对称矩阵A，如果对于任意的实非零向量x≠0有x^TAx>0,则矩阵A称为正定的。正定矩阵的性质与判别方法1. 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。2．对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。3．对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU 4．对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。5．对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。

矩阵正定的判定条件如下：

1、对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。

2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

3、对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU

4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。

5、对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的n个顺序主子式全大于零。

判断一个矩阵A是否为正定矩阵方法：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

3、正定矩阵的特征值都是正数。正定矩阵的所有子行列式都是正数。若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

正定矩阵判断的方法有：求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。计算A的各阶主子式。

若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的等两种方法。

半正定矩阵的特点：

1、半正定矩阵的行列式是非负的；两个半正定矩阵的和是半正定的；非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

2、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。

特征及性质

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

正定矩阵的性质：

正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解。

若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

一、正定矩阵有以下性质：

1、正定矩阵的行列式恒为正；

2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；

5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

二、判定的方法：

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

等价条件

正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）是正定矩阵，其等价条件是：

1、AA是半正定的；

2、AA的所有主子式均为非负的；

3、AA的特征值均为非负的；

4、存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C；

5、存在秩为r的r×n实矩阵BB，使A=B'BA=B′B。