同调群的计算方法研究论文

G为任一交换群，Hom(Cn(K)，G)为所有从Cn(K)到G的群同态所组成的群，这个群叫做K的以G为系数的 n维上链群，记作Cn(K；G)。利用K 的边缘算子嬠:Cn(K)→Cn-1(K)可得对偶同态δ:Cn-1(K;G)→Cn(K;G)。定义如下:设ƒ∈Cn-1(K；G),规定δƒ=ƒ嬠:Cn(K)→G。这个δ叫上边缘算子,具有δδ=0的性质。与同调群的定义相似，可以定义以G为系数的上闭链群Zn(K;G)，上边缘链群Bn(K;G),上同调群Hn(K;G)。当G为整数加群Z时，省去符号Z，简单记为 Cn(K)，Zn(K),Bn(K)，Hn(K)，等等。对于连续映射F：│K│→│L│,利用单纯映射去逼近，可得到同态。上同调群的构造可以由同调群完全确定。当多面体│K│为定向流形时，同调群和上同调群之间还有对偶关系（流形的庞加莱对偶定理）,即Hn(|K|;G)同构于Hq-n(│K│;G)，其中q为流形│K│的维数。.亚历山大在1915年证明了多面体的同调群的拓扑不变性，即如果两个多面体│K│，│L│同胚，那么这个同胚诱导它们的上同调群、同调群的同构。实际上，如果│K│，│L│伦型相同，其同伦等价也诱导它们的上同调群、同调群的同构。利用同调群可以解决不少几何问题。例如，布劳威尔不动点定理（见不动点理论），可以找到欧拉示性数与贝蒂数之间的关系式：其中αi为复形K的i维单形个数,b)i为多面体│K│的i维贝蒂x(K)即K的欧拉示性数。从而证明了欧拉示性数是│K│的拓扑不变量。单纯复形的整系数同调群是个有限生成的交换群。因此，它同构,其中Z代表整数加群，θ(1,n)，…，θ(τn，n)为一串自然数，每个可整除后一个,叽表示直和。前面Z的个数即为n维贝蒂数;后面这串有限群的阶数θ(1,n),…,θ(τn，n)称为 n维挠系数。确定一个单纯复形（及其多面体）的各维贝蒂数与挠系数，也就算出了同调群。简单的单纯复形的同调群的计算,可以通过叫做挤到边上去的方法直观地解决。一般单纯复形同调群的计算，可以用矩阵变换的方法经有限多次的算术运算解决，不过具体实现这种计算是非常困难的。带系数群G的同调群的构造，可由整系数同调群与G按照“泛系数”公式来求。上同调群的计算也有其相应的公式。

由于Bn(K)是 Zn(K)的子群，把商群Zn(K)/Bn(K)叫做单纯复形K的n维（下）同调群，记作Hn(K)。Hn(K)中的每一个元素叫做一个n维同调类。如果两个n维闭链zń,z怽的差为一个边缘链时,就叫zń与z怽同调。如果zn是边缘链，则称zn同调于零。例如,图8b中的单纯复形,2个一维闭链(A,B)+(C,A)+(B,C)，(A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡)有嬠((A,B,A┡)+(A┡,B,B┡)+(B,C,B┡)-(C,B┡,C┡)-(C,C┡,A┡)-(C,A┡,A))=((A,B)+(C,A)+(B,C))-((A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡))。因而这两个闭链同调（而它们都不同调于零）。同调群 Hn(K)的秩叫做K的n维贝蒂数。如果在n维链群的定义中,用任意的一个交换群G中的元素代替整数，可以得到以G为系数的n维链群 Cn(K;G)。相似地有以G为系数的n维边缘群Bn(K;G),n维闭链群Zn(K;G)。由此定义以G为系数的n维同调群Hn(K;G)。