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拓扑群及广义函数论研究在1957年以前，冯康主要从事基础数学研究。他最早的工作（没有发表）是辛群的生成子和四维数代数基本定理的拓扑证明。接着他研究殆周期拓扑群理论，这是1934年由J.冯·诺依曼（von Neumann）创始的，与酉阵表现密切相连。按照群所有的酉阵表现的多寡分出两种极端类型：极大殆周期群——有“足够多”的酉阵表现；极小殆周期群——没有非平凡酉阵表现。1936年A.韦伊（Weil）及H.弗勒登塔尔（Freudenthal）解决了极大群的表征问题，它们就是紧群与欧几里得向量群的直积。1940年冯·诺依曼及E.威格纳（Wigner）对于极小群作出了重要进展，但其表征问题一直没有解决。冯康在1950年率先对线性李（Lie）群（及其覆盖群）解决了这一问题：没有非平凡酉阵表现的充要条件是“本质上”不可交换与非紧。这一成果在后来酉表现论和物理应用中愈显出其重要性。50年代初L.施瓦尔茨（Schwartz）提出广义函数系统性理论，引起世人重视。1954年起，冯康开展这一领域的研究，发表了《广义函数论》长篇综合性论文，也含有一些自己的新成果，推动了这项理论在我国的发展。他还建立了广义函数中离散型函数（δ函数及其导数）与连续型函数之间的对偶定理。他应华罗庚教授的建议，建立了广义梅林变换理论，对于偏微分方程和解析函数论等均有应用，国外迟至60年代才出现类似的工作。有限元方法的创始50年代末60年代初，我国的计算数学刚起步不久，在对外隔绝的情况下，冯康带领一个小组的科技人员走出了从实践到理论，再从理论到实践的发展我国计算数学的成功之路。当时的研究解决了大量的有关工程设计应力分析的大型椭圆方程计算问题，积累了丰富而有效的经验。冯康对此加以总结提高，作出了系统的理论结果。1965年冯康在《应用数学与计算数学》上发表的论文《基于变分原理的差分格式》，是中国独立于西方系统地创始了有限元法的标志。该文提出了对于二阶椭圆型方程各类边值问题的系统性的离散化方法。为保证几何上的灵活适应性，对区域Ω可作适当的任意剖分，取相应的分片插值函数，它们形成一个有限维空间S，是原问题的解空间即C.Л.索伯列夫（Соболев）广义函数空间H1（Ω）的子空间。基于变分原理，把与原问题等价的在H1（Ω）上的正定二次泛函数极小问题化为有限维子空间S上的二次函数的极小问题，正定性质得到严格保持。这样得到的离散形式叫做基于变分原理的差分格式，即当今的标准有限元方法。文中给出了离散解的稳定性定理、逼近性定理和收敛性定理，并揭示了此方法在边界条件处理、特性保持、灵活适应性和理论牢靠等方面的突出优点。这些特别适合于解决复杂的大型问题，并便于在计算机上实现。自然边界归化及自然边界元方法的提出自60年代以来，有限元方法对于求解有界区域的椭圆边值问题取得了极大的成功，被广泛应用于工程技术和科学计算中，是计算数学的重大成就。但是有些实际计算问题的计算区域是无界的，用有界区域来近似无界区域时，为达到所需的精度，会使计算量大大增加，边界元方法是解决此问题的一种有效途径。关于对微分方程作边界归化的思想，早在上一世纪就已出现，但应用于数值计算却是本世纪60年代才开始，这就是边界元方法，即将微分方程归化为边界上的积分方程。由于归化的方法不同，各种边界元方法的数值效果也不尽相同。冯康根据这类问题的物理特性，引用阿达马（Hadamard）型超奇异核，提出自然归化的概念，即通过自然归化后，能量不变，从而保持了问题的本质不变。在这个概念下，他提出了自然边界元方法。该方法除所有边界元方法共有的优点外，还具备许多独特之处：由于通过自然归化后能量不变，使原来椭圆型边值问题的性质都保留，从而保证了自然积分方程的解的存在性、唯一性及稳定性，并且也保证了与有限元方法自然而直接地耦合，由此形成一个有限元与边界元兼容并蓄而自然耦合的整体性系统，能够灵活适应于大型复杂问题，便于分解计算。这是当前与并行计算相关而兴起的区域分解方法的先驱工作。作为特例，冯康对亥姆霍兹（Helmholtz）方程建立了与经典的无穷远处的索墨菲尔德（Sommerfeld）辐射条件相对应的有穷远处的积分型辐射条件，具有理论与应用的价值。冯康倡导的自然边界元方法被国内外专家称为当今国际上边界元方法的三大流派之一，这一方向已由他的学生和其他学者在继续发展。哈密顿体系哈密顿算法的创立经典力学有3种等价的数学形式体系：牛顿（Newton）体系、拉格朗日（Lagrange）体系、哈密顿（Hamilton）体系，其中哈密顿体系具有突出的对称形式，一直是物理学理论研究的数学工具。一切守恒的真实物理过程都可以表示为哈密顿体系，无论是经典性、量子性或相对论性的，无论自由度数为有限或无限，总能表现为适当的哈氏形式。哈氏体系的数学基础是辛几何。辛几何是现代物理和力学的基础，它与欧氏几何一样起着重要作用。哈密顿体系的一个重要问题是稳定性问题，在几何上的特点是它的解在相空间上是保面积的，其特征方程的根是纯虚数的。所以不能用经典的渐近稳定理论来研究它们。长期以来，国际上对于这一具有重要物理意义的哈密顿方程的计算方法几乎是空白。这种状况与哈氏系的普适性与重要性相对照是很不相称的。冯康于1984年在微分几何和微分方程国际会议上发表的论文《差分格式与辛几何》，首次系统地提出哈密顿方程和哈密顿算法（即辛几何算法或辛几何格式），提出从辛几何内部系统构成算法并研究其性质的途径，提出了他对整个问题领域的独特见解，从而开创了哈密顿算法这一富有活力及发展前景的新领域，这是计算物理、计算力学和计算数学的相互结合渗透的前沿界面。以中国科学事业发展为己任冯康由于在抗战初期患骨结核，并因在困难环境下失医，使脊椎致残，给他的生活带来过不少折磨和痛苦，可是他硬顶了过来。凡与他接触或共事的人都无不为他那种为祖国科学事业不倦的孜孜追求的精神所折服。他对自己的生活无所求，想到的、做到的都是科学事业。尽管他早已在1965年就取得了创始有限元法的国际公认的重大成果，但是并不满足。他的强烈的进取心促使他一直走在世界计算数学队伍的前列。冯康学识渊博，对于物理学、数学、计算机科学等领域都有较深的知识。在科学研究上，他总是能把握住事物的本质，运用辩证法进行分析，发现和抓住在理论上和应用上都有广阔的发展前景的课题，提出独到的思想见解，并应用过硬的基本功去解决具体困难，成功地开创新方向、新道路，开辟一个又一个有重要实际意义的新领域，带领一批又一批人在新方向上做出卓越的贡献。在科研工作中，他提倡理论联系实际和对科学的严谨态度。他对于理论上的问题一丝不苟，对于每提出的一种计算方法都是在实际计算中检验，对于经过考验的好的计算方法都努力推广使用，使其变为生产力，为四化建设服务。他不仅自己身体力行，而且对于科研人员也是这样要求。2008 年12 月15 日，国家主席胡锦涛在纪念中国科协成立50 周年大会上发表讲话时说：“我国广大科技工作者勤于思考、勇于实践，敢于超越、不懈探索，无私奉献、团结协作，在短短十几年间，创造了一个又一个科技奇迹。我们取得了有限元方法、层子模型、人工合成牛胰岛素等具有世界先进水平的科学成果……这些重大科技成果，极大增强了我国综合国力，提高了我国的国际地位。”有限元方法，被列为众多科学成果中的第一位，表明了国家对冯康和他的团队所做出的重大贡献给予的充分肯定。
泛函分析研究中华人民共和国成立之前，泛函分析在中国还只是个别数学家的科研课题，它作为数学学科的一个二级分支学科而有计划地加以发展起始于50年代中期，中国科学院数学研究所是发展的中心之一。其时，田方增与关肇直合作的《赋范环论》，冯康的《广义函数论》等的发表标志着数学研究所对泛函分析学科开始了有计划的、系统的学术科研活动。《赋范环论》共有四章和两个附录，田方增继续他在法国留学时对群上调和分析的研究写了第四章：群代数，和附录2：局部紧空间上测度——哈尔（Haar）测度，按他的学术观点论述了N．布尔巴基（Bourbaki）的一些概念。1956年田方增随中国泛函分析最早创业者南京大学曾远荣教授同赴莫斯科出席“全苏泛函分析学术会议”回来后，在《数学进展》发表了《记参加1956年全苏泛函分析及其应用会议的经过》一文，系统地评介了当时苏联泛函分析学科在理论上和应用上的科研学术成就，在学术上对中国泛函分析初期的发展起了一定的影响。在田方增和关肇直、冯康的合作下，中国科学院数学研究所于1956年招收了第一批泛函分析学科的研究实习员，随后又大批地接收了高校来的进修人员。他们分别在开设的拓扑向量空间、赋范环、测度与积分、线性算子理论、广义函数理论等等一系列学术讨论班上系统地向青年人讲授当时国际泛函分析学界（主要是苏联、法国、东欧学术界）的学术成就、最新学术进展及问题。田方增还关心数学的认识问题，曾将A．莫斯托夫斯基（Mostowski）的一篇关于数学基础的研究现状的文章译成中文介绍给中国数学界。泛函分析学科在中国科学院数学研究所几乎一开始就是基础理论与应用并重地发展。早期有数值方法的研究。按科学规划的精神，从1958年起数学所泛函分析学科强调其发展要侧重于与方程、物理、高尖科技和国民经济建设之联系。为此，田方增、关肇直常与吴新谋、张宗燧等合作，使数学所内泛函分析的发展始终注意与微分方程及现代数学物理的联系，曾联络在京一些单位的物理学家，先后组织了量子场理论、粒子迁移理论和电磁波理论中数学问题之研究等学术讨论班。60年代初田方增在中国科学技术大学数学系开设过“粒子迁移理论中的数学问题”之专门化课，从此他以主要的精力放在“粒子迁移理论”的数学基础理论之研究上直至70年代中后期。这期间他撰写的学术论文为发展中国在这一领域的数学研究作出了重要贡献。田方增与关肇直一起成功地在中国开辟了应用泛函分析的一个重要领域——粒子迁移理论的数学基础及问题之研究。70年代初开始，田方增在考察了当时国际上，特别是西欧、苏联和美国的学术动向后，结合中国的实际，选择了非线性泛函分析来开拓室里的学术方向。在1978年成都第三届全国数学代表大会的分组会上，田方增作了题为《非线性泛函分析国外近况简述》的报告，阐述和分析了非线性泛函分析的产生、发展及当前国际上主要的科研方向，它在非线性分析中的地位和作用，及在偏微分方程边值问题和数值分析上的应用等。紧接着他又在1979年济南的第二届全国泛函分析学术会议上作了包括“稳定性理论”在内的《关于歧点理论研究情况分析》的学术报告。就在这次济南会议上，中国数学会组织与会代表协商成立了由关肇直、田方增、江泽坚、夏道行4人组成的“全国泛函分析学科领导小组”，下设线性算子理论、空间理论和应用泛函分析、非线性泛函分析3个学术大组。田方增分工负责非线性泛函分析学术大组的工作直到1990年。此期间，田方增在中国科学院研究生院开设非线性泛函分析课，在研究室内指导非线性泛函分析方向的研究生，并组织和领导了6次全国非线性泛函分析学术会议，撰写了《歧点理论》、《非线性算子的类型和性质》、《不动点理论的几个方面》等专题报告。对中国非线性泛函分析的进一步发展起了介评和导向的积极作用。1985年7月，年逾古稀的田方增作为中国知名的泛函分析学科的开拓者之一，应邀去香港出席“东南亚数学联合会区域性分析学会议”，并代表中国出席会议的代表在大会上致词，作了题为《Some Advances in Nonlinear Functional Analysis in Beijing》的学术报告。基本理论的研究第二次世界大战期间，原子武器的问世激发了中子物理和核反应堆物理的蓬勃发展，一类描述中子在核物质中运动规律的积分－微分型中子迁移方程成为国防尖端科研的课题，它是描述分子分布的动力学理论的玻尔兹曼（Boltzmann）方程的一种特殊的线性化形式。在中国自60年代开始，这类方程由定量研究进入基础性的数学定性研究，田方增就是开创此类定性研究的开拓者之一。1960年中国科学院数学研究所与二机部401所协作成立的“125任务”组就是中国第一个定性地研究粒子（中子）迁移方程基础理论的科研小组（田方增是此组的负责人之一）。白手起家难度不小。田方增为迅速掌握和研究美、欧、苏关于研究中子迁移方程的数学思想、理论和方法，在讨论班上向年轻人系统地讲解和分析国际已有学术成果及存在的问题，组织并指导年轻人攻关。田方增于1962—1964年在中国科学技术大学为数学系59届高年级开设了包括辐射迁移和中子迁移在内的“粒子迁移理论中的数学问题”的专门化课。这是中国高校首次开设这样的专门化课程，田方增为此撰写了十多万字的讲义并指导学生们在这一方向上的毕业论文。他于1963－1964年发表的《不变嵌入原则与迁移问题》及《球几何中子迁移方程问题谱的性质和齐次初始问题解的渐近性》是中国最早的两篇关于粒子迁移理论定性的数学研究的学术论文。前一篇是将源于天体物理的不变嵌入原则如何在数学上发展为求解特殊的迁移问题的论述；后一篇将在美欧刚出现不久的关于中子迁移方程结构性理论研究的有限迁移介质的线性算子半群理论法和无限迁移介质的特征线法两大派理论统一到球形迁移介质的研究的论证，这篇学术论文对中国早期关于中子迁移方程定性理论研究的方向产生了较大影响。迁移方程的结构复杂，对一般情况严格求解至今仍是非常困难的问题，加之数值计算之需要，因而从理论和应用两方面来说各种近似求解法从一开始就是讨论问题的重要手段。然而，众多行之有效的近似求解法大多数长期以来没有建立合理性的数学论证。70年代，田方增先后发表了《非齐次迁移方程的时间上离散化解法》和《不稳定态迁移方程的弱解及有限元素法》的学术论文，论证了非齐次方程时间离散化解法的合理性，率先在中国将J．利翁（Lions）的弱解概念加以发展而用于迁移方程，与有限元素法结合讨论非定态方程有限元逼近的可行性问题。今天，中国在迁移理论的数学基础和问题之研究，在纯数学方面已深入到巴拿赫（Banach）空间一类无界的、其豫解算子非紧的非对称线性算子的构造性理论的研究，从应用方面已发展到对符合某种守恒规则，各种量按统计（几率）法来确定的种种动态或定态现象（如粒子迁移现象、生态平衡现象、人口经济问题等等）所形成的积分－微分型基本方程的正、反两方面数学问题之研究。田方增尽管自70年代中后期已将主要精力放在非线性泛函分析之研究上，但仍坚持倾注部分精力于迁移方程。约4万字的《迁移方程问题的泛函－解析法》已早玉成。此文在泛函分析基本理论和方法的框架下，囊括了线性和非线性迁移方程边值问题、边界初值问题的解法及解的性质等的研究。此文长期被他自己扣住未发表，希冀更加完善，使此文能体现中国在这一学术领域的学术成就和学术思想。
2017大学数学论文范文
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。但是特殊函数往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。下面是我整理的关于几类特殊函数的性质及应用的数学论文范文，欢迎大家阅读。
几类特殊函数的性质及应用
【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。
【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分
1.引言
特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。
特殊函数定义及性质证明
特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。
特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。
2.伽马函数的性质及应用
2.1.1伽马函数的定义：
伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。
2.1.2Г函数在区间连续。
事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。
2.1.3，伽马函数的递推公式
此关系可由原定义式换部积分法证明如下：
这说明在z为正整数n时，就是阶乘。
由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....
2.1.4用Г函数求积分
2.2贝塔函数的性质及应用
2.2.1贝塔函数的定义：
函数称为B函数(贝塔函数)。
已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：
贝塔函数的性质
2.2.2对称性：=。事实上，设有
2.2.3递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有
即
由对称性，
特别地，逐次应用递推公式，有
而，即
当时，有
此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为
2.2.4
由上式得以下几个简单公式：
2.2.5用贝塔函数求积分
例2.2.1
解：设有
(因是偶函数)
例2.2.2贝塔函数在重积分中的应用
计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，
解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是
通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。
2.3贝塞尔函数的性质及应用
2.3.1贝塞尔函数的定义
贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ是任一实数。
2.3.2贝塞尔函数的'递推公式
在式(5)、(6)中消去则得式3，消去则得式4
特别，当n为整数时，由式(3)和(4)得：
以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。
又因为
以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。
2.3.3为半奇数贝塞尔函数是初等函数
证：由Г函数的性质知
由递推公式知
一般，有
其中表示n个算符的连续作用，例如
由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数(n为正整数)都是初等函数。
2.3.4贝塞尔函数在物理学科的应用：
频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，.根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令
称为的Fourier变换。它的逆变换是
若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值(这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，
这就是Shannon取样定理。Shannon取样定理中的母函数是
由于Shannon取样定理收敛速度不够快，若当这时允许的最大取样间隔特征函数Fourier变换：
以下取样方法把贝塞尔函数引进取样定理，其特点是收敛速度快，且可根据实际问题调节收敛速度，这样就可以由不太多的取样值较为精确地确定函数。
首先建立取样定理
设：
其中是零阶贝塞尔函数。构造函数：
令
经计算：
利用分部积分法，并考虑到所以的Fourier变换。
通过函数卷积法，可加快收敛速度，使依据具体问题，适当选取N，以达到预期效果，此种可调节的取样定理，计算量没有增加很多。取：
类似地
经计算：
经计算得：
则有：设是的Fourier变换，
记则由离散取样值
因为，故该取样定理收敛速度加快是不言而喻的，通过比较得，计算量并没有加大，而且N可控制收敛速度。
例2.4，利用
引理：当
当
因为不能用初等函数表示，所以在求定积分的值时，牛顿-莱布尼茨公式不能使用，故使用如下计算公式
首先证明函数满足狄利克雷充分条件，在区间上傅立叶级数展开式为：
(1)
其中
函数的幂级数展开式为：
则关于幂级数展开式为： (2)
由引理及(2)可得
(3)
由阶修正贝塞尔函数
其中函数，且当为正整数时，取，则(3)可化为
(4)
通过(1)(4)比较系数得
又由被积函数为偶函数，所以
公式得证。
3.结束语
本文是关于特殊函数性质学习及其相关计算的探讨，通过对特殊函数性质的学习及其相关计算的归纳可以更好的掌握特殊函数在日常学习中遇到相关交叉学科时应用，并且针对不同的实例能够应用不同的特殊函数相关性质进行证明、计算，从而更加简洁，更加合理的利用特殊函数求解相关问题。有些特殊函数的应用不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。
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一、函数的起源（产生） 十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。 十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。 1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。 人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。 二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念 在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。 十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。（定义 3）在此之前的 1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。 实际上，这两种定义（定义 1和定义 2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。 1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。（定义 4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。 函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不解释 十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x都有确定的值，并且随着 x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是 x值，另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（定义 6） 1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数： y=1 当 x为有理数时； y=0 当 x为无理数时。这个函数并不复杂，但不能用解析式来表示，这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端。 1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中，有两个变量 x和 y。如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系， y都有唯一确定值和它对应，则 y称为 x的函数； x称为自变量。（定义 7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性，只须有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的 y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了。 ⒉以“集合”为基础的函数概念 函数的概念是随着数学的发展而发展的。函数的定义在数学的发展过程中，不断的改进，不断的抽象，不断的完善。十九世纪七十年代，德国数学家康托（ G.Cantor）提出了集合论。进入二十世纪后，伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大，使概念获得了现代化。 二十世纪初美国数学家维布伦（ Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间，有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称 y是变量 x的函数。（定义 8）从这个定义开始，函数概念已把基础建立在集合上面，而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的。 随着时间的推移，函数便被明确的定义为集合之间的对应关系，其定义是： A和 B是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数。（定义 9）此定义根据映射的概念，用“映射”观点建立函数概念，其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数，简称函数 f 。（定义 10）以上三个定义，已打破数域的束缚，将集合中的元素改为抽象的，可以是数，也可以不是数，而是其它一切有形或无形的东西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圆的集合，则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射。 对新函数定义可以这样理解：函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）。 对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质，但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图。因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义，例如规则不同，那么是否函数也不同呢？如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数。 为了解决这一矛盾，二十世纪初，特别是在六十年代以后，广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义，而集合作为原始概念是不予定义的，这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合， f是笛卡儿集 A× B的一个子集，满足：①对任意的 a ∈ A，存在一个 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f则 b=c。则称 f为 A到 B的一个函数。记作 f:A→B。（定义11）这个定义利用“关系”这个概念，便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义，即不需要用到“对应”，又避免了对“规则”的解释，只要集合理论适用一切数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。它可称的上是最现代的定义了。 到此，“函数”最完善的定义（定义 11）已给出，作为数学中最基本的概念之一，已把基础直接建立在集合上面，即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应，它和“映射”实际上是一回事。 三、新旧两种定义的比较 比较新定义（把以集合为基础的函数定义称为新的定义方式，而以变量（数）为基础的定义称为旧的定义方式。）和旧定义，它们之间有两个重要的区别： ⑴旧定义是建立在“变量”这个基本概念上的，而新定义则建立在“集合”这个基本概念上。什么是变量呢？通常把它理解为在选定一个单位以后，可加以度量的东西，如长度、质量、时间之类，这种理解一方面太疏于笼统，只能通过举例来说明，而难于加以精确化；另一方面，由于涉及大小关系，嫌过于狭窄，无法体现应用上的普遍性。其次，即使什么是“量”的问题不存在，作为变量，它须在某一范围取值（不一定是数值），这一定范围实际上就是事先得假定的一个集合 A（它构成函数的定义域），所谓“变量取值 a”，实质上就是“ a属于 A”的一种变相迂回的说法。可见，在变量的概念中已蕴含集合的思想。 ⑵旧定义中以“因变量”为函数，而新定义中则以“对应关系”为函数。函数概念的实质，主要的并不是因变量要随自便量“变”，而是两集合之间存在某种确定的对应关系。显然，新定义更能直接地揭示出函数的实质。
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在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。一、进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射�0�6:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为�0�6(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型I：已知�0�6(x)= 2x2+x+2，求�0�6(x+1)这里不能把�0�6(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。类型Ⅱ：设�0�6(x+1)=x2－4x+1,求�0�6(x)这个问题理解为，已知对应法则�0�6下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。�0�6(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得�0�6(x)=x2－6x+6(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而�0�6(x)= x2－6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象。在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－]及[－，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。（1）y=x2+2|x－1|－1 （2）y=|x2－1| （3）= x2+2|x|－1这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。类型Ⅳ设�0�6(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。求：g(t)并画出 y=g(t)的图象解：�0�6(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2当t＞1时，g(t)=�0�6(t)=t2－2t－1当t＜0时，g(t)=�0�6(t+1)=t2－2 t2－2, (t<0) g(t)= -2，(0≤t≤1) t2－2t－1, (t>1)首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：类型Ⅴ：设二次函数�0�6(x)=ax2+bx+c(a>0)方程�0�6(x)－x=0的两个根x1，x2满足0
微积分是高等数学的一部分知识，关于微积分的论文有哪些？接下来我为你整理了数学微积分论文的 范文 ，一起来看看吧。
摘要：初等微积分作为高等数学的一部分，属于大学数学内容。在新课程背景下，几进几出中学课本。可见初等微积分进入中学是利是弊已见分晓，其重要性不言而喻。但对很多在岗教师而言，还很陌生，或是理解不透彻。这样不利于这方面的教学。我将对初等微积分进入中学数学背景，作用及教学作简单研究.
关键词：微积分;背景;作用;函数
一、微积分进入高中课本的背景及必要性
在数学发展史上，自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以来，数学中的很多问题都得以解决。微积分已成为我们学习数学不可或缺的知识。其在经济、物理等领域的大量运用也使之成为解决生活实际问题的重要工具。但牛顿和莱布尼茨创建的微积分为“说不清”的微积分，也就是连他们自己也说不清微积分的理论依据，只是会应用。这使得很多人学不懂微积分，更不用说让中学生来学习微积分。
柯西和维尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分基础，这是第二代微积分，但概念和推理繁琐迂回，对高中生更是听不明白。近十年来，在大量的数学家如：张景中，陈文立，林群等的不懈努力下，第三代微积分出现了相比前两代说得清楚，对高中生而言，也更容易理解。这为其完全进入高中课本奠定了基础。从内容来看，新一轮的课改数学教材在微积分部分增加了定积分的 概念及应用(求曲边梯形面积，旋转体体积，以及在物理中的应用)，可能考虑到中学生的认知能力，人教版新教材与北师大版在这方面有所不同。即利用定积分求简单旋转体体积在北师大版教材中出现了，但人教版没有。
从课标和考试大纲(参考2011年高考考试大纲)上看，初等微积分所占比重也是越来越重。回顾历届高考，微积分相关题型分值越来越高。但就我个人观点，初等微积分在中学数学中的作用还没有真正全面发挥。我认为，它是学生中学数学和教师教学的一条线索，它是我们研究中学函数问题的统一 方法 ，也是联系中学与大学数学知识的纽带!
二、微积分在中学数学中的作用
1.衔接性与后继作用。微积分本是大学高等数学范畴，是大学开设的课程。让现在中学生提前学习部分微积分知识，这便为其以后升入大学学习微积分打下良好的基础，这也使数学知识从小学到大学从内容上衔接得更加紧密。也不会再出现很多大学生认为的大学数学知识在高中数学教学中没有任何作用的观点.
2.解决数学相关知识的作用。高中数学函数在整个中学数学内容中，不论从高考所占比重还是自身难度来说都应该排在首位。对学生来说永远是最难学的，得分率也相对比较低。很多学生讨厌数学就是讨厌函数，提到数学中的函数就头晕。由于应试 教育 的关系，学生又不得不学习函数，而函数思想本身也是高中数学学习的一条线索。微积分的进入对学生学习函数问题找到了统一的方法。高中阶段我们所研究的函数问题一般是以一些基本初等函数为媒介研究函数的定义，图像和性质，当然也有应用。但随着课改的深入，函数应用问题逐渐在淡化。而初等微积分知识即研究函数的重要工具，如：微积分可以求函数的单调性，最值。最重要的是它可以画出函数的图像，其实，当函数图像画好后，几乎函数所有性质都可以解决。学生只要学好微积分便掌握了研究函数的统一方法，那么高中阶段的二次函数，指数函数，对数函数，三角函数等所有初等函数的学习就可以统一，既节约了教学时间又学习了先进的数学思想。对提高学生的数学修养打下坚实的基础。我相信还可以激发其学习数学的兴趣。另外，在高中阶段，初等微积分还可以解决不等式问题，求二次曲线的切线问题，求曲边梯形的面积等很多数学问题。利用微积分不仅可以使问题简化，并能使问题的研究更为深入、全面。
3.提高数学在其他学科的应用能力。作为自然学科的数学本身已应用于社会经济、技术等各个领域。而作为中学数学，它对中学 其它 学科的推动作用也是毋庸置疑的。如物理，化学，地理等学科也离不开数学。在高中阶段往往会因为数学的教学进度而影响其它学科的进度。如地理中要学习地球的经度，纬度等知识就需要先学习数学中球体相关知识和解三角形相关知识。当微积分进入中学数学后，数学这个学科的作用就更加重要了。特别像物理中匀加速直线运动位移，瞬时速度，加速度等问题利用微积分的导数求解起来更加简单，容易理解。新课程人教版数学教材选修2-2中专门加入了利用定积分求变速直线运动的路程一节。另外，微积分解决生活中的优化问题也进入中学课本。可见，微积分进入中学教材，对促进学科间知识的整合起到了至关重要的作用。
三、国际上一些教材对微积分知识的处理
以苏联中学为例，苏联中小学为十年制，从九年级(1)(相当于我国高中一年级)中讲了数学归纳法和排列组合以后，就介绍无穷数列和极限。然后介绍函数极限和导数，所有这些都在讲解三角函数，幂函数，指数、对数函数之前。随即介绍导数在近似计算，几何(求切线)和在物理中的应用(研究速度，加速度)以及导数在研究函数问题中得应用(求函数极值，最值，单调性等)。到九年级末及十年级(2)再讲三角函数， 利用导数可以研究三角函数的性质。然后介绍不定积分和定积分。接着在指数函数，对数函数和幂函数一章介绍指数函数的导函数，再利用反函数求得对数函数的导函数。在十年级(3)中利用微积分知识研究几何问题，用积分推导锥体，球体等的体积公式。还把球的表面积定义为球的体积V(R)对R的导数，从而立即求得球的表面积公式。可见，苏联课本中及早分散引入导数及积分的概念和计算，而不是到最后整块讲解。这样处理，可以使微积分知识结合研究函数问题，几何问题以及研究物理问题中都得到应用。
当然，还有比如台湾中学教材对微积分处理和我过现行教材区别不大，就不再介绍。而上诉对微积分的处理情况是一种在欧洲中学教材中较普遍的处理方式。其优点主要就是充分发挥了微积分在中学数学教学中的作用。使中学数学知识更加连贯，更加易懂!
摘 要：微积分是高等院校管理类专业的重要数学基础课，第一堂课是上好微积分的关键。通过三个方面就如何上好微积分绪论课做些探讨。
关键词：微积分;起源;内容;方法
微积分是门基础课，这门课的学习直接影响到今后专业课的学习，而绪论课对这门课的学习有着引导的作用，在整门课中有特殊的地位和作用。绪论课应包含下面几个部分的内容：
一、微积分起源的介绍
微积分包括两方面的内容：微分与积分。微积分的创立源于处理17世纪的科学问题。先引入微积分学的创始人之一费马研究的一个问题：假设一个小球正向地面落去，求下落后第5秒时小球的速度?若是匀速运动，则速度等于路程除以时间，然而这里的速度是非均匀的，那能不能把非均匀速度近似看成均匀速度?用什么方法?这就是微分学问题，再引入古希腊人研究的面积问题：计算抛物线y=x2与坐标轴x轴在0≤x≤1间所围成的面积。能不能将面积切割成n个小面积，再将小面积用小矩形来代替，由n个小矩形的面积得到所求面积?这里所用的方法就是积分问题。很早以前就有人研究过微分与积分，而微积分的系统发展是在17世纪开始的，从此逐渐形成了一门系统完整且逻辑严密的学科。微积分通常认为是牛顿和莱布尼茨创立的。这一系统发展关键在于认识到微分和积分这两个过程实际上是彼此互逆地联系着。
介绍提及的人物牛顿和莱布尼茨的相关轶事，例如创建微积分优先权的争论。牛顿于1665～1687年把研究出的微积分相关结果告诉了他的朋友，并将短文《分析学》送给了巴罗，但期间没有正式公开发表过微积分方面的工作。莱布尼茨于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。1684年莱布尼茨正式公开发表关于微积分的著作。于是有人怀疑莱布尼茨知道牛顿具体的工作内容，莱布尼茨被指责为剽窃者。在两个人死了很久后，调查证明：牛顿很多工作是在莱布尼茨前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。
二、介绍微积分内容及方法
微积分学研究的对象是函数，极限是最主要的推理方法，它是微积分学的基础。微积分内容有四类：一是已知物体移动的距离是时间的函数，怎样由距离得到物体在任意时刻的速度和加速度;反过来，已知物体的加速度是时间的函数，怎样求速度和距离。二是求曲线的切线。三是求函数的最大最小值问题。四是求曲线的长度、平面曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心。
三、为什么要学习高等数学
微积分在自然科学、经济管理、工程技术、生命科学等方面都有应用，是各门学科强有力的数学工具。学好微积分，可以增加语言的严密性、精确性，可以从中锻炼人的 理性思维 ，并感受到美的艺术。例如黄金分割，无理数的■与π的表达式：
微积分的绪论课是整个教学的第一课，绪论教学能使学生对这门课有个快速大致的认识与了解，好的绪论课可以引导学生主动、积极地学习。
前言
21世纪，科学、技术和社会都发生了巨大的变化。高等数学作为高等院校的基础课程之一，在其他各个领域及学科中发挥出越来越大的作用。尤其是微积分教学，是目前数学教育的一大课题。
一、我国微积分教学改革的现状
目前的数学实验中，微积分教学改革的现状中仍然存在一些主要问题。
首先，优秀人才的培养重视不够。在微积分教学中，重视的是教育大众化的人才，而一些顶尖的、优秀的人才的培养却重视不够。
其次，过度应试化。过度重视应试教育在微积分教学中越来越明显，轻能力重考试已成为一种倾向。
再次，学生差异大，素质下降。学生人数的激增带来学生差异的强化，面对这一情况，如何规划班级，如何区别对待学生是微积分教学面临的问题。
二、微积分课改的必要性
随着高等数学改革的不断深入，微积分教学的改革成为其中的重要部分。微积分教学的改革并不是空穴来风，而是一种必然。
(1)社会高度发展提出的要求
微积分作为高等数学的一部分，对技术文明的推动有重要作用，许多数学细想和数学的建树都离不开微积分。可以说，微积分在推进数学思想，推进社会进步，推进科学发展上有举足轻重的作用，是不可或缺的，它是人类思维的伟大成果，不仅是高等数学。而且是其他行业，其他专业，在不同范围和不同程度上对微积分的认识都是必要的。设想一下，如果取消对微积分的学习，那么技能的进步只是一句空谈，社会不会发展，智慧不会被充分开掘。所以，微积分教学的改革是十分必要的。
(2)科技的发展提出的需要
当今世界，是一个科学技术突飞猛进的时代，军事、贸易等激烈的竞争和市场经济，如果没有科技的推进，则会落后于他人。如何促进科学的发展呢?微积分起着重要的作用，它不仅为科学提供了精密的数学思想，也为科学的提供了理论支撑，它不但改变了数学面貌，还是其他学科的工具和方法，微积分在自然学科的各个方面都有运用。随着科技发展的时代，提高微积分教学的质量是势在必行的。
(3)人类思维发展的需要
微积分中蕴藏着很多重要思想，比如辩证的思想，常量与变量，孤立与发展，静止变化，有限与无限等，还有“直”与“曲”，“局部”与“整体”的辩证关系，其实。哲学最处就是与数学密切相关的，所以，数学，尤其是微积分思想充满了逻辑与辩证，微积分的学习。不仅是知识、理论的学习，更是一种思维的训练。因此，微积分教学的完善有利于培养人类思维，使人类思维获得一个飞跃，更有效地解决问题。
三、微积分课改的内容
根据新的教学大纲的修改，微积分教学重新设计了课程内容、教学理念、 教学方法 等，以学生为主体，更直观形象，而且在教学方法上也进行了革新。全面促进了微积分教学的改革。
1、课程基本理念的改革
微积分教学的改革能否成功关键在于观念的转变，过去是偏重理论，现在则要注重应用激发初学者的学习兴趣，尽早把握微积分的基础知识，把抽象难懂的微积分理论转变为学生容易接受、容易理解的微积分教学方式，比如说，极限是微积分知识中的难点，极限概念、运动、辩证思想等对于学生来说是十分抽象，不容易理解，从而没有激发学生的学习兴趣，课堂变得枯燥无味，理论严谨，逻辑性很强，学生上手难。微积分教学大纲的修订也体现出教学理念的更新，新的微积分教学中，适当降低了难点知识。重视对微积分本质的认识，以直观、实例来提高学生的微积分学习兴趣和学习效率，使学生学习的主动性回归到自身，体现以人为本的思想，重视学生的情感态度、生活价值的培养，根据学生自身的特点因材施教，为学生提供更好的学习条件和基础。
2、课程内容的改革
根据《标准》大纲的修订，微积分教学首先是对课程内容和教学大纲的精简、增加、删改。修订后的教学内容比原来的教学大纲更精练，更科学。比如，原来12学时的“极限”在修订大纲中被大面积的删减。并在修订大纲中，引入导数这一很有判断意义的概念，因为导数是微积分初步了解的第一个概念，对导数概念的理解起到基础性的作用。而且，修订的课本内容中，对导数的讲解时直观形象的，应用性很强，又有许多实例来帮助学生加深理解。因此，微积分教学的新课改减轻了学生的学习负担，降低了概念的理解难度。
3、课程设计的改革
原来的课程是从极限、连续、导数、导数应用，再到不定积分、定积分这样的次序设计的，并在“导数和微分”的前面一章给“极限”设计了许多定义，以及对“极限”的求法和运算做了讲解。修订后的大纲对课程设计做了调整，尤其是微积分讲解的路线，发生了变化，从瞬间速度，变化率，导数、导数应用再到定积分。对人文社科方面的高校微积分课程的设置，则多数是作为选修课来处理的，并与生活十分贴近，应用性很强，使非数学专业也对数学有一定的基础了解和学习兴趣。
4、教学方法的革新
(1)数学思想方法的渗透与运用。数学思想方法是多种多样的，在生活中也取得有效地运用。微积分耶是高等数学的一个方面，因此，在微积分教学中引入数学思想方法是科学的。其中，数学分析，也叫微积分，是17世纪出现的十分重要的数学思想，不仅在17世纪有非常重要的地位，即使是在今天，这种思想方法在成功解决无限过程的运算方面，即极限运算有很大的帮助。数学思想的运用已成为各国比较重视一项革新项目。
(3)加强实例分析和应用性。数学是一种逻辑推理。但也是来源于生活的，也最终给应用于生活，因此，数学的教学不能和现实相脱离。修订后的微积分教学大纲明显注重了实际应用性。即使是书上一个很简单的概念，也时刻穿插一些实用性的图片，在习题的练习中，也是紧密结合生活实际，不是空中楼阁。比如说，用指数函数来看银行存款和人口问题，还有对数函数中涉及放射性、分贝、地震级的问题。微积分数学应用于生活中实际问题的解决。
5、教学工具的革新。
现代教育技术，尤其是多媒体技术在微积分教学中的应用，对很好的实现教学理念，完善教学思想和教学方法很有意义，例如，作为重点和难点的“极限”概念和理论一直是教学中难以攻克的，因为它的抽象，所以老师再怎么讲解也难免有学生不理解，而多媒体教学的应用解决了这一难题，教师可用直观形象的动画来表现比如“无限逼近”的理论，给学生一个直观、感性的认知，还可运用多媒体设计可变参数的动画，让学生积极参与，自己动手设计，加深理解。又如导数概念的理解需要借助曲线来表现其某个点在某个时刻的瞬时速度，可以充分利用多媒体技术，画具有艺术性的示意图，设计动画，让学生在动画中领悟微积分的实质和导数的概念。值得注意的是，在运用多媒体技术时，要遵循学科本身的规律，反复渗透，循序渐进，结合教材，积极引导。
四、小结
摘要:在深入学习领会新课程理念的基础上,本文通过三个教学案例论述了在进行指数函数教学设计时,如何改进新课引入、多媒体使用和指数函数性质发现过程以及相应的教学效果。 关键词:指数函数;教学设计;教学案例;多媒体;有效教学 指数函数是高中数学的重点内容之一,从教学要求看,一是理解指数函数的定义;二是掌握指数函数的图像与性质。下面是笔者在公开教学中对指数函数教学设计的三处改进。 案例一:新课引入的改进 (一)原始设计 1.复习旧知: ②函数y=x的定义域是 2.引入新课:师问:函数y=()与函数y=x,从形式上看有什么不同?生答:从形式上看,前者指数是自变量,后者底数是自变量。(引入课题) (二)改进设计 1.创设情境:有人说,将一张白纸对折50次以后,其厚度超过地球到月球的距离,你认为可能吗?设白纸每张厚度为0.01mm,已知地球到月球的距离约为380000千米。 对折的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?设纸的原面积为1,对折后纸的面积z与对折次数x又有什么关系?(y=2x,z=()x) 2.提出问题:师问:能发现y=2x,z=()x的共同点吗? 学生思考片刻,教师提示:从形式上,有什么共同点?并用红粉笔标出指数x。 生答:指数x是自变量,底数是大于0且不等于1的常数。(引入课题) (三)教学反思 凯洛夫的“五环节”教学理论:“复习旧课—导入新课—讲授新课—巩固—作业” 目前还深深地影响着我们的教学。但如果总是这样一成不变,就显得呆板与程式化。我们现在上课总喜欢说:“今天我们学习……”。教师不说,学生不问,教师怎么讲,学生就怎么学。我们知道,数学来源于生活,又应用于实践。在原始设计中,先复习与新授知识相关的内容,然后再从实际引入新课,与教材编排相一致,这样就数学讲数学,显得枯燥无味,很难调动学生的学习兴趣。为此,从学生感兴趣的一个生活实例出发,引起学生注意与争议,教师再创设实际问题情境,就激发了学生的学习兴趣,牢牢地吸引了学生的注意力,增强了学生的求知欲望,强化了学生内在的学习需求,巧妙地导入了新课。 案例二:多媒体使用的改进 (一)原始设计 1.电脑作图:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。 2.观察猜想:教师引导学生观察y=2x、y=()x的图像,猜想y=3x的图像形状。 3.电脑验证:教师用几何画板做出y=3x的图像,验证猜想。 4.归纳猜想:由特殊到一般,给出指数函数的图像分为01两类,并用多媒体演示它们的图像特征和性质。 (二)改进设计 1.学生作图:在教师的指导下学生分组后用几何画板作y=2x、y=()x的图像。然后,让学生在电脑上作y=3x,y=5x y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数的图像,并对图像形状的变化加以观察与讨论。 2.猜想形状:让学生猜想函数y=8x,y=0.3x的图像形状,师生讨论,并列出有关观察结论。 3.分组探究1:一般地指数函数的图像大致有几类(几种走势)? 4.分组探究2:分别满足什么条件的指数函数图像大致是图1、图2? 5.电脑验证:用几何画板作y=ax(a>0且a≠1)图像,任意改变a的值,展示底变化对图像的影响。 (三)教学反思 原始设计,多媒体演示放在猜想之后,仅仅起了一个验证的作用,体现不了计算机辅助教学的目的,有点画蛇添足,成了一种花架子。 改进之后,按照“动手操作—创设情境—观察猜想—验证证明”的思路设计,首先电脑作图,为学生观察、交流创设情境;然后,引导学生深入细致地观察图像,学生在相互争论、研讨的过程中进行民主交流,倾听他人意见,分享研究成果,猜想出图像分两种情形;最后,再用多媒体验证猜想。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯,激发了学生的求知欲,增强了学习的自信心,张扬了学生的个性,顺利地解决了这一教学难点。 我们在使用计算机辅助教学时,千万不要忘记“辅助”二字,辅助在不用多媒体教学时的难点处,辅助在点子上,而不能为了用多媒体而用多媒体案例三:指数函数的性质发现过程的改进 (一)原始设计 1.师生作图:教师作y=2x的图像,以作示范。然后学生模仿作y=()x的图像,以巩固作图方法。 2.电脑演示:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。 3.观察特征:教师引导学生观察上述两个图像的特征,并推广到一般情形。 4.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。 (二)改进设计 在前面学生分组用多媒体做出y=2x,y=()x,y=3x,y=5x,y=10x,y=0.2x,y=0.7x等函数图像的基础上,教师引导学生观察、讨论、归纳得出性质。 1.自主观察:对一般的指数函数,图像有哪些特征? 2.分组讨论:学生分组讨论后,展示讨论的结果。除得到图像的一般特征,更值得一提的是,有的学生还说出了函数y=2x与y=()x的图像关于y轴对称等特征。 3.归纳性质:根据图像特征,写出它们的性质。 4.作示意图:根据指数函数的性质,教师让学生作出y=8x,y=0.6x等函数图像的示意图。 师:观察与猜想是一种感性认识,并不表示结论一定正确,还需要进行理性证明…… (三)教学反思 新课程标准指出:要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象,倡导主动学习、乐于探究,勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力及交流合作的能力。因此,教师要把学习过程中的发现、探究、研究等认知活动突显出来,使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题及解决问题的过程。 上述两种设计都注重让学生从事有意义的数学活动,都涉及了学生的探索活动和经常使用的研究方法,如从特殊到一般,再由一般到特殊,类比、联想、猜想等。 原始设计在实际教学中,活动缺乏内在联系,加上教师的束缚,活动单一,学生得出图像分两类显得较为生硬,接着研究的一般情形又似乎来得“突然”,从特例到一般情形并未起到搭桥引渡的作用,形成了一个认知难点。这样的设计没有真正发挥学生的主体作用,实际上还是教师主导着课堂,牵着学生走,还是在教知识、教教材,是一种主导性教学模式。 改进后,改变了教学方法,教师放弃了全程主导,把学习的主动权交给了学生,由他们自己去观察、去发现,在学生交流、研讨、互动的过程中,学生观察深入,思维活跃,富有创造性。教师则以学生伙伴的角色参与学生的认知学习,在与学生的互动交流中指导学生,并积极地关注、倾听学生的交流。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯,为学生营造了安全的心理环境,学生非常顺利地学习了指数函数的性质,而且学生觉得这些思想方法是非常自然的,可以学到手且以后能用得上,为今后的学习作了必要的铺垫,这是一种典型的指导性教学模式。 学生是学习的主人,自主学习是他们的天然权利,任何硬性灌输和强制训练都是侵犯学生学习主权的行为。
摘要 :穆勒的算术哲学包含两个方面的内容 :一方面是对先天论几何观和唯名论算术观的批判 ;另一方面是对数的性质和数的形成方式的阐明。尽管这种算术哲学通常被认为具有一种“极端的”或“狭隘的”经验主义特征而受到弗雷格和胡塞尔等人的严厉批判 ,但这些批判本身也都面临着各自的困难 ,而这使得穆勒的算术哲学至今都不能被彻底抛弃。
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调和函数 如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数.广义来讲在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程 若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式： 即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。 更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r 递推公式斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时 通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为： 解得 ， .则 ∵ ∴ 解得 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数 ， .使得则 ， 时，有……联立以上n-2个式子，得：∵ ，上式可化简得：那么……（这是一个以 为首项、以 为末项、 为公比的等比数列的各项的和）。， 的解为则方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。得α+β=1。αβ=-1。构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。所以。an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。由式1，式2，可得。an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。方法四：母函数法。对于斐波那契数列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x.因此S(x)=x/(1-x-x^2).不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 数学课外活动的形式和内容 中学数学课外活动主要有三个形式：开展课外数学选修课，建立课外数学兴趣小组，创办学生的数学刊物、数学园地。� (1)数学选修课的主要活动方式和内容是：教师系统地讲授中学课本之外的某一个数学分支和某一个专题，以开阔学生眼界，也可以介绍数学新进展，介绍新学科及新的数学思想。例如，高一结合函数教学可开设函数方程初步；结合集合基本知识的教学可开设逻辑学和初等集合论；结合立体几何可开设拓扑学初步等。高二可结合数列知识开设循环数列课，可介绍母函数的研究方法以及常微分方程与线性递推关系；结合解析几何课可开设三维解析几何学，开设向量理论等；结合方程组可开设矩阵论初步及线性代数等；还可在适当时机开设微积分课。选修课的参加人数可适当多些，除去在学习中确有困难、急需补课或个别辅导的学生外，都可报名参加选修课。选修课的主讲教师应当熟悉该选修课的知识，应当有系统的教案。一门选修课的学时应不少于20学时，在选修课期间以及结束阶段，要对学生进行选修课业务考试。合格者发给选修课(单科)结业证书。� (2)数学课外兴趣小组应由较少学生组成，他们一般应对数学有较浓厚兴趣，并且其他各门功课都要比较好。这个小组的成员应由自己报名与数学教师推荐相结合。 课外兴趣小组的活动方式和内容主要有：听专题报告(学术报告)会、访问著名数学家或著名数学研究机构(或大学)、开展数学竞赛、撰写数学小论文以及开展内部小型的学术研讨会等。小组成员在各级数学竞赛中取得较好成绩，要及时予以鼓励。小组成员完成了一篇较好的数学论文，应推荐给有关适于中学生的数学刊物。� (3)创办学生的数学刊物，包括班内的数学墙报，“数学之角”，“数学信箱”等，刊物的编辑、作者全由学生担任。学生自己创办的数学刊物应当坚持长期性和延续性，要充分表现学生们的“研究成果”。为吸引更多同学，可设立“点将台”、“有奖征解”等。为确保一个班的数学刊物的质量，为保证其长期性和延续性，最好组成以班内的学习委员、数学课代表及数学拔尖学生为核心的编写队伍。如果条件较好，还可采取“轮流坐庄”的方式。班内数学墙报的内容除了部分地在公开发行的数学书刊中摘录之外，还应有相当部分针对性很强，并且直接来自同学自己的文章。例如：“谈谈记笔记”，“如何解决计算中容易出错的问题”，“我是怎样掌握×××概念的”，“第×章数学课学习札记”，“读××(数学课外书)的体会”等。数学教师充当班内数学园地的参谋或顾问。帮助同学出主意，想办法，给他们介绍好的资料，推荐好的参考书。� 应当指出，开办数学课外选修课，建立数学课外兴趣小组，创办学生的数学刊物这三种课外活动形式，教师所处的位置是不同的。选修课，以教师讲述为主；兴趣小组，以教师激发学生，引导学生为主；创办学生的数学刊物，教师则主要是处于幕后策划的地位。� 这三种活动方式的参加人员也不同。选修课的参加者以数学学习的中上等学生为主，人数可多些。数学兴趣小组则以在数学学习中有兴趣、有特长的少数拔尖学为主。在有条件的地区，教师还应当帮助他们利用课余时间到省、市级的数学集训队或数学奥林匹克学校中学习，形成校内外的交叉培训过程。学生自己创办的数学刊物的主要负责人应当是工作热心，有负责精神，而且数学成绩较好的学生。 还应指出，为减轻学生负担，数学课外活动的密度不宜过大，每次活动要讲求质量，要贯彻少而精的原则。一般说来，每周进行一次活动，每次活动一至两个小时为宜。每个学生，一般不要参加两种或两种以上的课外活动。���开展数学课外活动应注意的问题 (1)开展活动的指导思想是激发学生的求知欲，帮助他们读书、整理资料、做学问，从长远的观点看，这是改善学生的思维品质，提高学生的治学能力的根本大事。因此，必须以学生为主体。� (2)各种活动都应有长计划、短安排、要讲求实效，要有知识性、趣味性，要适合青少年心理上或知识水平上的实际情况。还要注意尽量与当前学生的数学课内的教学内容有一定联系。� (3)对参加各种课外活动的学生要逐一审查他们是否具备参加该项课外活动的条件。对于那些赶时髦，图热闹，但学习比较吃力的学生，则要以适当方式劝阻他们不参加课外活动，以保证他们的课内学习能达到基本要求，这就是说，对参加不参加课外活动的每个学生都要负责任。� (4)除对学生进行数学培训外，还要注意参加课外活动的学生其他各方面的成长。有少数数学尖子，有一种优越感。他们有时组织纪律性不强，还有的人可能会出现偏科现象。要针对这些情况多做思想教育工作，防止他们的骄傲情绪，克服他们的自由主义，鼓励他们多参加班集体活动，促进他们全面发展。� (5)课外兴趣小组活动或选修课的内容应充实，有系统性，便于学生掌握，同时便于教师检查学习质量；还要有一定的针对数学竞赛的专项训练内容，不应当简单地把中学课本中以后将学的内容提前来讲，也不要讲成高等数学课。要在中学生的实际知识基础和实际接受能力的基础上，以提高能力这个总目标作为选材的依据。附 录 下面是1990年北大附中推荐去北京市参评的学生数学小论文的题目及要点。其中张昱的论文《一个数学难题的物理模型证法》获北京市论文一等奖，王哲的《利用小型计算机计算无理数π的改进程序设计》获二等奖。� (1)《一个数学难题的物理模型证法》(张昱)� 该文成功地用物理模型的方法，借助电学定律解决了一个著名的数学难题，并对原题结论做了推广。这个问题是：在一个无限大的方格表中，每格内填入一个区间〔0，1〕上的实数，使得每格所填的数都恰好是该格四周邻格内四个数的算术平均值，求证各格内所填之数相等。� 张昱不仅证明了这个题目，并且推广如下：� 二元数组aij ≥ 0 (i,j∈z), a0,0 = 1,且对任何i,j∈z,有 aij =1/4(ai+1,f�+aj,j+1�+ai-1,f�+ai,f-1�)，那么ai,f与1应当任意接近。� (2)《利用小型计算机计算无理数π的改进程序设计》(王哲)� 该文利用自己设计的算式π = 16arctg(1/5) - 4arctg(1/239)，使计算π的速度得以提高，作者选用的C语言，并在小型计算机VAX-8550上通过了程序。只用4分30秒的CPU时间，成功地印出了π的小数点后1000位的精确值。后来，又改进了程序，使完成同样任务只用8秒钟。� (3)《空间n边形的边中，互相垂直的边有多少对?》(施前)� 这是组合几何中尚未得到的研究成果。设m表示互相垂直的边对的数目。n,k∈N,n为空间多边形的边数。论文得出了� n=3时，m=1；� n=4时，m=4；� n=5时，m=7；� n=3k(k≥2,k∈N)时，m=3k2；� n=3k+1(k≥2,k∈N)时，m=k(3k+2)；� n=3k+2(k≥2,k∈N)时，m=3k2+4k+1�� (4)《多项式最高公因式的新算法》(夏煜)� 本文对辗转相除法进行了推广，使之易于编程序。作者首选定义了“多项式数阵”的概念，并且规定了对多项式数阵的五种运算；提出了两个对“标准数阵”的变形定理，进而将某些多项式提出了只用六步规范程序，便可求出其最高公因式的方法。� (5)《桥牌中的概率问题》(朱志明)� 一手牌(13张)都是同花色的概率容易计算。但是一手牌最大可能的结果是什么形式?这一个问题连最优秀的桥牌选手都未必能回答出。另一个问题是：如果知道了两个人手中某一指定的花色的牌的数目，如何推算出其余牌在对方的两个人手中的分布?再一个问题是：如果知道了自己手中某花色的牌数，如何推算出自己同伴手中该花色最大可能的数目。本文给出了上述问题的准确回答。� (6)《抛物线内隐含图形的探讨》(孙伟栋)� 给定的抛物线，当旋转坐标轴时，抛物线中的某些基本线段(如过焦点的正焦弦)会形成“隐图形”、该文运用微积分知识，结合解析几何的方法得出了类似星形线的隐含图形，指出了该“隐图形”的较一般的规律。� (7)《三角形中边不等式证明方法的改进》(王志宏)� 本文以熟知的结论：“a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b”为基础，通过拼、接、组合，推出了许多三角形边的不等式，成功地解决了某些数学竞赛中的问题。是几何不等式中的一个贡献 1 母函数一般是在大学数学中学习的，可以作为高等数学、概率论、组合数学等课程的一部分。2 学习母函数需要掌握一些基础的数学知识，如多项式、级数、递推关系等，需要有一定的数学功底。3 在学习母函数之前，可以先学习一些基础的数学知识，如微积分、线性代数、离散数学等，这些知识对于学习母函数会有很大的帮助。4 学习母函数需要掌握一些基本的概念和运算方法，如生成函数的定义、常见的生成函数形式、生成函数的运算法则等，需要通过大量的练习来掌握。5 可以通过参加数学竞赛、阅读相关的数学书籍和论文等方式来深入学习和应用母函数。母函数毕业论文