发布时间：
一、利用极限四则运算法则求极限。函数极限的四则运算法则：设有函数，若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中，有limf（x）=a，limg（x）=b，则。lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=a±b。lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=a・b。lim==（b≠0）。（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。对于和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则，往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简，再使用极限的四则运算法则。方法有：1.直接代入法。对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。2.无穷大与无穷小的转换法。在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量。圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。（2）当分母的极限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。3.除以适当无穷大法。对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。4.有理化法。适用于带根式的极限。二、利用夹逼准则求极限。函数极限的夹逼定理：设函数f（x），g（x），h（x），在x的某一去心邻域内（或|x|＞n）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）。②f（x）=h（x）=a（或f（x）=h（x）=a），则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=a（或g（x）=a）。（类似的可以得数列极限的夹逼定理）。利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。三、利用单调有界准则求极限。单调有界准则：单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程，可求出极限。四、利用等价无穷小代换求极限。常见等价无穷小量的例子有：当x→0时，sinx～x。tanx～x。1-cosx～x。e-1～x。ln（1+x）～x。arcsinx～x。arctanx～x。（1+x）-1～x。等价无穷小的代换定理：设α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，则lim=lim。五、利用无穷小量性质求极限。在无穷小量性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。六、利用两个重要极限求极限。使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时，关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。七、利用洛必达法则求极限。如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则可能存在，也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式，对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必达法则求极限。
还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法
函数的极限求解方法如下：
1、利用函数连续性。
limf(x)=f(a)x->a（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）
2、恒等变形。
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过几个小方法解决，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）
函数极限的定义
函数极限的定义是某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”，其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
极限理论是数学分析课程的理论依据，就因为引入极限思想，微积分才有了理论根基，从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此，教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验，谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.1.关于数列极限数列初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数f的定义域是全体正整数集N，则称f：N→R或f（n），n∈N为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列f（n）也可写作a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中a是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.数列的极限的定义定义1设{a}为数列，a为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当n>N时，有|a-a|<？藓，则称数列{a}收敛于a，定数a为数列{a}的极限，并记作a=.关于函数极限→∞时函数极限定义2设f为定义[a，+∞）在上的函数，A为定数，若对任给的正数？藓，存在正数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<？藓，则称函数当x→+∞时以A为极限，记作f（x）=A.现设f为定义在U（-∞）或U（∞）上的函数，当x→-∞或x→∞时，若函数值无限地接近某定数A，则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限，f（x）=A或f（x）=→x时函数极限定义3（函数极限的？藓-δ定义）设函数f在点x的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A为定数，若对任给的正数ε，存在正数δ（<δ′），使得当0<|x-x|<δ时有|f（x）-A|<0ε，则称函数f当x→x时以A为极限，记作f（x）=A.类似可定义f（x）=A及f（x）=.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，研究二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特殊情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量n只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在，则称x→∞时函数极限存在.同理，因为实数集的稠密性，自变量x会趋近于某个定数x，根据自变量x趋近于x的方向不同又可以分为x点处的左极限和右极限，于是某定点处有三种类型x→x；x→x；x→x函数极限.综上，数列是特殊的函数，正因为数列作为函数的特殊性，使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质，收敛数列的所有性质都具有整体性；而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为，还要真正学透极限，一定要从本质上研究导致他们不同的原因，相同的理论完全可以通过类比的方式学习，而学习的重点应该放在二者的不同上，弄懂有什么不同，为什么不同，只有懂得了“为什么”，才能真正学懂相应知识.
>> limit(sin(x)/x,0) ans = 1 >> limit(sin(x)/x,inf) ans = 0>> limit((1+x)^(1/x),inf) ans = 1 >> limit((1+x)^(1/x),0) ans = exp(1)
>>syms x;%说明x为符号变量>>limit(f(x),x,a);%f(x)为表达式，a为x的极限注意f(x)的书写要规范，比如tan3x应写成tan(3*x)
limit(F,x,a) 计算当x→a时符号表达式F=F(x)的极限值limit(F,a) 用函数findsym(F)确定F中的自变量x，再计算当x→a时F=F(x)的极限值limit(F) 用函数findsym(F)确定F中的自变量x，再计算当x→0时F=F(x)的极限值limit(F,x,a,'right') 计算时F=F(x)的左极限limit(F,x,a,'left') 计算时F=F(x)的右极限
(一)确定论文提要，再加进材料，形成全文的概要论文提要是内容提纲的雏型。一般书、教学参考书都有反映全书内容的提要，以便读者一翻提要就知道书的大概内容。我们写论文也需要先写出论文提要。在执笔前把论文的题目和大标题、小标题列出来，再把选用的材料插进去，就形成了论文内容的提要。(二)原稿纸页数的分配写好毕业论文的提要之后，要根据论文的内容考虑篇幅的长短，文章的各个部分，大体上要写多少字。如计划写20页原稿纸(每页300字)的论文，考虑序论用1页，本论用17页，结论用1—2页。本论部分再进行分配，如本论共有四项，可以第一项3—4页，第二项用4—5页，第三项3—4页，第四项6—7页。有这样的分配，便于资料的配备和安排，写作能更有计划。毕业论文的长短一般规定为5000—6000字，因为过短，问题很难讲透，而作为毕业论文也不宜过长，这是一般大专、本科学生的理论基础、实践经验所决定的。(三)编写提纲论文提纲可分为简单提纲和详细提纲两种。简单提纲是高度概括的，只提示论文的要点，如何展开则不涉及。这种提纲虽然简单，但由于它是经过深思熟虑构成的，写作时能顺利进行。没有这种准备，边想边写很难顺利地写下去。编写要点编写毕业论文提纲有两种方法：一、标题式写法。即用简要的文字写成标题，把这部分的内容概括出来。这种写法简明扼要，一目了然，但只有作者自己明白。毕业论文提纲一般不能采用这种方法编写。二、句子式写法。即以一个能表达完整意思的句子形式把该部分内容概括出来。这种写法具体而明确，别人看了也能明了，但费时费力。毕业论文的提纲编写要交与指导教师阅读，所以，要求采用这种编写方法。详细提纲举例详细提纲，是把论文的主要论点和展开部分较为详细地列出来。如果在写作之前准备了详细提纲，那么，执笔时就能更顺利。下面仍以《关于培育和完善建筑劳动力市场的思考》为例，介绍详细提纲的写法：上面所说的简单提纲和详细提纲都是论文的骨架和要点，选择哪一种，要根据作者的需要。如果考虑周到，调查详细，用简单提纲问题不是很大；但如果考虑粗疏，调查不周，则必须用详细提纲，否则，很难写出合格的毕业论文。总之，在动手撰写毕业论文之前拟好提纲，写起来就会方便得多。
函数极限的综合分析与理解 PB08207031 王欣 极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。 一、函数极限的定义和基本性质 函数极限可以分成x→x0，x→∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知 极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以xx0的极限为例，fx在点x0以A极限的定义是：0,0,使当0xx0时，有f(x)A(A为常数).问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。 函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若lim存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明xx0 ""即如果fxnA，fxn，fx在x0处的极限不存在。B（n,xn和xnx0） 则fx在x0处的极限不存在。 运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式fxPxPx,Qx均为多项式，Qx0）。设Px的次数为n,Qx的Qx次数为m， 当x时，若nm，则fx0;若nm，则fxPx与Qx的最高次项系数之比；若 当xx0时,f(x)P(x0)(Q(x0)0)。 Q(x0)nm，则fx。 二、运用函数极限的判别定理 最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数gx与hx，并且要满足gxfxhx，从而证明或求得函数fx的极限值。 三、应用等价无穷小代换求极限 掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了，让求解过程变得简明迅速。 1x0时，sinx与x，tanx与x，arcsinx与x，arctanx与x，1cosx与x2，2 xa，ax1与xlna，1a与ax（a0）等等可ln1x与x，loga1x与lna 以相互替换。特别需要注意的是，等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积sinxx因子，而对于加减法运算则不能运用。例如lim，不能直接把sinx替换x0x3 sinxx1成x，得出极限值为0，实际上lim。 x0x36 四、运用洛必达法则求函数极限 设函数fx，gx在点a的某空心邻域可导，且g"(x)0。当xa时，fxf"x，fx和gx的极限同时为0或时才适用"A（A为常数或）gxgx洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数 0、00、1、0等类型则需要问题。这使得求解思路简单程序化。而对于、 0对式子进行转化，或通分或取倒数或取对数等转化为型，再使用洛必达法0 则求极限。例如fxgx的极限转化为求egxlnfx的极限等等。然而，对于数列，则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为n的函数时，它的定义域是一系列孤立的点，不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。 五、泰勒公式的运用 对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式，可以考虑使用泰勒公式。这样将函数式化为最高次项为相同或相近的式子，这时就变成了求多项式的极限值（接着求值见上文所述方法），使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初等函数的麦克劳林展开式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln1x等等。至于展开式展开多少，则要与题干中的自变量x最高次项保持一致。如limcosxe x0x4x22利用泰勒公式展开cosx,ex22，展开到x4即可(原式x最高次项为x4)。 六、利用微分中值定理来求极限 f(x)在a,b上连续，在a,b上可导，则至少存在一点a,b，使f"()f(b)f(a)"f(b)f(a),f()即可看成特殊的极限，用来求解。一般需baba 要函数式可以看成同一函数的区间端点的差，这样可以使用微分中值定理。。 另外，一些重要的结论往往在求极限时可以直接加以引用，例如lim(1x)e，limx01xsinx 1， 1，1等等。 x0nnx 求极限的方法和技巧更多的在于实践中的摸索和探讨，上述方法只是笔者在高等数学学习和练习的一些心得，求极限的方法还有很多。
极限理论是数学分析课程的理论依据，就因为引入极限思想，微积分才有了理论根基，从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此，教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验，谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.1.关于数列极限数列初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数f的定义域是全体正整数集N，则称f：N→R或f（n），n∈N为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列f（n）也可写作a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中a是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.数列的极限的定义定义1设{a}为数列，a为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当n>N时，有|a-a|<？藓，则称数列{a}收敛于a，定数a为数列{a}的极限，并记作a=.关于函数极限→∞时函数极限定义2设f为定义[a，+∞）在上的函数，A为定数，若对任给的正数？藓，存在正数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<？藓，则称函数当x→+∞时以A为极限，记作f（x）=A.现设f为定义在U（-∞）或U（∞）上的函数，当x→-∞或x→∞时，若函数值无限地接近某定数A，则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限，f（x）=A或f（x）=→x时函数极限定义3（函数极限的？藓-δ定义）设函数f在点x的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A为定数，若对任给的正数ε，存在正数δ（<δ′），使得当0<|x-x|<δ时有|f（x）-A|<0ε，则称函数f当x→x时以A为极限，记作f（x）=A.类似可定义f（x）=A及f（x）=.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，研究二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特殊情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量n只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在，则称x→∞时函数极限存在.同理，因为实数集的稠密性，自变量x会趋近于某个定数x，根据自变量x趋近于x的方向不同又可以分为x点处的左极限和右极限，于是某定点处有三种类型x→x；x→x；x→x函数极限.综上，数列是特殊的函数，正因为数列作为函数的特殊性，使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质，收敛数列的所有性质都具有整体性；而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为，还要真正学透极限，一定要从本质上研究导致他们不同的原因，相同的理论完全可以通过类比的方式学习，而学习的重点应该放在二者的不同上，弄懂有什么不同，为什么不同，只有懂得了“为什么”，才能真正学懂相应知识.
这里都是偏导数的定义记住limh趋于0[f(x+h，y)-f(x，y]/h得到的就是f'x同理limh趋于0[f(x，y+h)-f(x，y]/h得到的就是f'y显然这里就是-2f'x=6以及1/3f'y=2/3
多元函数的极限一般是利用一元函数求极限的方法、换元或者迫敛准则等来求：
例如：
(x,y)->(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²= lim(u->0) sinu / u = 1
(x,y) = x²y / (x²+y²)
∵ | x²y | / (x²+y²) ≤ (1/2) |x|
lim(x,y)->(0,0) |x| = 0
∴ lim(x,y)->(0,0) x²y / (x²+y²) = 0
记住limh趋于0[f(x+h，y)-f(x，y]/h得到的就是f'x
同理limh趋于0[f(x，y+h)-f(x，y]/h得到的就是f'y
显然这里就是-2f'x=6以及1/3f'y=2/3
扩展资料：
函数极限在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点 （无限个）都落在该邻域之内。
对于任意给定的ε>0，存在某一个正数δ，对于D上任意一点P0，只要P在P0的δ邻域与D的交集内，就有|f(P0)-f(P)|<ε，则称f关于集合D一致连续。
一致连续比连续的条件要苛刻很多。
设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y)，若函数f在P0点处的增量△z可表示为：
△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)，其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^(ρ)是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零。则称f在P0点可微。
以 的极限为例，f(x) 在点 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
多元函数的极限一般是利用一元函数求极限的方法、换元或者迫敛准则等来求：
例如：
(x,y)->(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²
= lim(u->0) sinu / u = 1
(x,y) = x²y / (x²+y²)
∵ | x²y | / (x²+y²) ≤ (1/2) |x|
lim(x,y)->(0,0) |x| = 0
∴ lim(x,y)->(0,0) x²y / (x²+y²) = 0
在如图的题目中，这里都是应用偏导数的定义
记住limh趋于0[f(x+h，y)-f(x，y]/h得到的就是f'x
同理limh趋于0[f(x，y+h)-f(x，y]/h得到的就是f'y
显然这里就是-2f'x=6以及1/3f'y=2/3
扩展资料：
求多元函数的注意事项：
2.在某些情况下直接计算二重极限比较方便，例如lim(x→0,y→1)[(x^2+3x)/xy]=lim(x→0,y→0)[(x+3)/y]=3 。这个可以在最后一步时将x,y的极限值直接代入
3.二重极限化累次极限是有限定条件的，不满足条件则不能化成累次极限。
参考资料来源：百度百科-极限 （数学术语）
凑定义，分母凑-2h，外边✖️-2，所以-2×3等于-6，第二个同理等于3×2等于6
多元函数的极限一般是利用一元函数求极限的方法、换元或者迫敛准则等来求：
例如：
(x,y)->(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²= lim(u->0) sinu / u = 1
(x,y) = x²y / (x²+y²)
∵ | x²y | / (x²+y²) ≤ (1/2) |x|
lim(x,y)->(0,0) |x| = 0
∴ lim(x,y)->(0,0) x²y / (x²+y²) = 0
记住limh趋于0[f(x+h，y)-f(x，y]/h得到的就是f'x
同理limh趋于0[f(x，y+h)-f(x，y]/h得到的就是f'y
显然这里就是-2f'x=6以及1/3f'y=2/3
扩展资料：
函数极限在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点 （无限个）都落在该邻域之内。
对于任意给定的ε>0，存在某一个正数δ，对于D上任意一点P0，只要P在P0的δ邻域与D的交集内，就有|f(P0)-f(P)|<ε，则称f关于集合D一致连续。
一致连续比连续的条件要苛刻很多。
设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y)，若函数f在P0点处的增量△z可表示为：
△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)，其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^(ρ)是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零。则称f在P0点可微。
以 的极限为例，f(x) 在点 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
首先你要说下研究函数极值的意义：在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。当然，本人是学飞行器设计的，举个简单的例子：飞机的升力主要由机翼提供，那么机翼的截面到底设计成什么形状，或者机翼的平面投影设计成什么形状，其升力可以达到最大，甚至在保证升力的同时还不能让阻力太大，所以这些都涉及到一个最优的问题。（当然，楼主可以就具体工程实际给出例子），再比如，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局（要考虑建设成本、怎么选定线路、建成之后为国民经济带来的效益、运营费用、会不会对环境有影响，那么污染治理费也要考虑），才能让这些公共基础建设的利远大于弊。。。。一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益，对节省能源等等问题都有好处
多元函数的极限是多元函数微分学中非常重要的一个基础概念。本篇文章是我在微积分的学习中为了巩固多元函数极限的知识而记录的，方便随时进行复习。本文主要对多元函数的多重极限的基本概念进行了梳理，及一些求解的方法归档。
话不多说，看定义！
这种 定义十分高大上，然而却不像是说的人话，很多同学一看见就一脸懵逼。然而有的试卷偏偏喜欢出类似的证明题，同学们一旦碰到运用定义的来解决的题，就抓耳挠腮，或是想不起来定义的具体内容，或是不知道究竟如何运用它去说明极限存在。
接下来，我们对它的重点进行逐项分析，搞懂它究竟表达的是什么意思，通过这种方式来巩固对定义的记忆。
总结一下，原来的定义可以翻译为：
记住！根据邻域的概念，这个区域既可以是无限趋近于 点时函数值才趋近于 ，也可以是 点外一圈区域内都有函数值正好等于 。这正好与我们极限的几何意义完全符合。
通过这种方式，定义是不是比原来容易理解多了呢？希望通过这种方式，大家都能记住二重极限的 定义，并运用到证明中。
要点就是根据公式数学上的关系，尽量使得能够将原式推导到一个“ ”的关系上。通过 能任意取值，说明这样一个 也必存在。满足定义所有条件，则极限存在。
存在且值为0。
本题的一个关键点在于夹逼准则的变化应用。注意到我们在求解中采用了取绝对值的方式替换原表达式，以方便进行夹逼准则的使用。但是这样的做法解出来的不是绝对值的极限吗？为什么就能得到原来的结果了呢？首先请牢牢记住以下结论！
当极限为0时，绝对值的极限=原表达式的极限。
证明该结论的方法依然是利用 夹逼准则 ，当极限为0时， 又因为： ，利用夹逼准则就可以得到原极限也等于0啦。
证明极限不存在的方法，总体来说就只有一种，就是利用二维面上不同于一维上只能从坐标轴左右趋近于点，而是可以从无数条路线趋近于聚点的特点，只要任意线路趋近的极限不等于其他的极限，则极限不存在。
具体而言，首先可以用带任意系数的直线系 趋近。只要代入原函数后无法消掉系数 ，则说明此时极限必与 相关且不唯一极限不存在。
其次，若系数能够被消掉，则可以巧妙运用不同的曲线，如抛物线、直线、圆弧等来趋近于该点。若任意二者之间代入算出来的极限不等，也说明极限不存在。选取曲线时应根据原函数的特点。
凑定义，分母凑-2h，外边✖️-2，所以-2×3等于-6，第二个同理等于3×2等于6