连通性是点集拓扑学中的基本概念，其定义如下：若X中除了空集和X本身外没有别的既开又闭的子集，则称拓扑空间X是连通的。若E作为X的子空间在诱导拓扑下是连通的，则称拓扑空间X的子集E是连通的。等价描述有：1. 称拓扑空间X是连通的，若X不能表示成两个非空不交开集的并。2. 称拓扑空间X是连通的，若当它分成两个非空子集A、B的并A∪B时，有A交B的闭包非空，或B交A的闭包非空。3. 称拓扑空间X是连通的，若X中既开又闭的子集只有X与空集。
可遗传性质是指拓扑性质吧（就是在同构映射下保持不变的性质）你用连通性的定义（不能分成两个不交开集），和同构定义（双向连续映射，连续映射把像集中的开集映回成开集），就知道连通性是拓扑性质
由连通空间的定义，拓扑空间X不等于两个非空不交开集的并，E为X中的子集，赋予E子空间拓扑，则E为不连通的等价于E可以表示成两个非空不交开集E'和E''的并，由子空间定义，存在两个X中开集G'和G''使得E‘=E交G'，E''=E交G''，且G'与G''不相交，所以E不连通等价于存在X中不相交的开集G'和G''，使得E属于G'∪G"且G'∩E和G"∩E都非空。
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