有关极限思想的论文题目

论刘徽割圆术与现代极限思想的异同

极限思想是高中数学中的一种重要的数学思想，利用极限思想使人们能够从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变成为可能。高中数学教材中有多处内容渗透了极限的思想和方法，如“球的体积和表面积”、“双曲线的渐近线”等，但是极限思想在实际教学中没有得到普遍的认可和推广，学生对这种思想方法相当陌生。对于某些数学问题，如果我们能够灵活运用极限思想求解，往往可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题难度，还可以优化解题思路，收到事半功倍的效果。下面是笔者尝试将极限思想和方法渗透融合在解题教学中，实现方法与内容的整合。一、寻求极限位置，实现估算与精算的结合例1 过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与QF的长分别是p、q，则 等于（ ）。 （A）2a （B） （C） 4a （D） 图1解析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求p、q、a的关系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分认识到变与不变的辨证关系，利用运动和变化的观点，借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行，如图1所示，将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与y轴重合，此时Q与O重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为 ，而 ，所以 ，故答案选C。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸显了试题的选拔功能。【评注】将精算与估算相结合，是一种重要的数学能力，有利于从不同层面对理性思维能力进行全面而又灵活的考查。因此，这类数学试题给高中数学教与学的方向以启示，注重多元联系表示，拓宽思维，提高思维含量。二、考查极限图形，简化计算例2 在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 解析：如图2所示，设正n棱锥为 ，由于n多变，所以底面正n边形、侧面出现不确定状态，这样导致直接分析求解将是繁难，甚至是“到而不达”的，若另辟蹊径，采用极限法，则解法将是简捷、易行的，其计算量得到极大的简化。本例中底面正n边形固定，而棱锥的高不定，故可将顶点S看作是运动变化的，设相邻两侧面所成的二面角的平面角为 。当点S向下运动无限趋近底面正n边形的中心这个极限位置时， 趋于平角 ；当点S向上运动趋于无穷远时，侧棱将无限趋于与底面垂直，即正n棱锥趋近于正n棱柱，此时 无限趋于底面正n边形的内角 ，故二面角的取值范围是： ，从而答案选A。【评注】“化静为动，以动制静”，利用运动和变化的观点，着眼于问题的极限状态，摈弃了繁琐的数学运算，使得所研究问题更加直观、明朗。因此，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径。三、分析极限状态，探索解题思路例3 已知抛物线方程为 。求证：在x轴正方向上必存在一点M，使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有 为定值。分析：假设点M确实存在，因为过点M的任意一条弦PQ均有 为定值，因此对过点M的一条特殊弦——垂直于x轴的弦 也应该有 为定值。如图3所示，设 ，则 ，但是仅凭此式还看不出点M到底是哪个定点。下面再考查弦的一个极限情形——x轴的正半轴，它过点M，它的一个端点是原点O，另一个端点可以看成是无穷远处的极限点 （假想的点），它是弦的一种极限情形，显然有 ，所以 ，它也应该是定值，且 ，由此可得 ，于是可以猜想定点M（p，0），下证过点M（p，0）的任一弦PQ均有 （定值）。 图3证明：设过点M（p，0）的直线参数方程为 ，代入抛物线方程得 ，设此方程的两根为 ，则 ，而 的几何意义分别表示MP及MQ的值。所以 。因此点M（p，0）是满足题意的点。【评注】通过分解有关对象在运动变化过程中的极限状态，提取信息、信息整合，从而寻求到合理的解决问题的途径，降低了解题难度，优化了解题过程，有效激活了创新思维，凸显了极限思想在解题中的独特功能及应用的广泛性。四、巧取极限，实现无限与有限的统一例4 设数列 满足 （1）当 时，求 ，并由此猜想出 的一个通项公式； （2）当 时，证明对所有的 ，有① ；② 。解析：本题是数列与不等式的综合题，是考查猜想、归纳、迭代、放缩推理及分析问题和解决问题能力的一道优秀试题。（1）及（2）①入口宽，也易解决。但是（2）②的放缩难度较大，拉开了档次，体现了较好的区分度。事实上，（2）①的结论给解答（2）②有明确的启示。因为由 可以推导出 （ ），运用这个不等式来证明（2）②，思路最为清晰、快捷。这种要求，是考查考生进入高校继续学习的潜能所必须的。（1） （略）。（2）①用数学归纳法证明（略）。②由（2）①可知 ，即 。 于是 。 。【评注】本例利用了高等数学中的级数理论：正项级数 的前n项和有上界，故级数 收敛，但其收敛速度不大于 的收敛速度（ ）。其实从初等数学的观点也很容易理解：若单调递增数列 存在极限，则 。通过无限与有限的统一，实现了对不等式的放缩。利用极限思想，把问题放置于极限状态，即活跃了思维，又提高了分析、解决问题的能力。因此，教师要有意识地强化用极限思想解题的意识，并在不断应用它解决问题的过程中，让学生真正体会到“提高观点，降低难度，减轻负担”的含义。自己去瞧瞧吧，，，，，我只能帮到这里了。。。。。

根据heine定理，函数极限数列极限是可以转化的：f（x）一>a（x一>xo）的充要条件为对任何以xo为极限的数列xn！xn不等于xo，都有f（xn）一>a（n一>无穷）

极限与哲学的高等思维

1, 在解题中例如我们以前的物理学科一般是某个因素在连续变化过程中另一个因素的变化情况,采用极限方法可以简化复杂的公式的证明,适合于选择题的快速解答.比如电路中电阻变小,极限情况就是短路,电阻变大的极限就是断路,知道初始情况,知道极限情况,就可以选择变化规律正确的选项2, 经济方面经济学中的边际、弹性、消费者剩余等许多问题,都涉及到极限思想这一重要方法.3,智力游戏其实都是些思路,举个例子：两人坐在方桌旁,相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币.当最后桌面上只剩下一个位置时,谁放下最后一枚,谁就算胜了.设两人都是高手,是先放者胜还是后放者胜?（G·波利亚称“由来已久的难题”）G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”：猜想（把问题极端化） 如果桌面小到只能放下一枚硬币,那么先放者必胜.证明（利用对称性） 由于方桌有对称中心,先放者可将第一枚硬币占据桌面中心,以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置,先放者必胜.从波利亚的精巧解法中,我们可以看到,他是利用极限的思想考察问题的极端状态,探索出解题方向或转化途径.极限思想是一种重要的数学思想,灵活地借助极限思想,可以避免复杂运算,探索解题新思路.

思路：2004年，82岁的杨振宁与28岁的翁帆结为夫妻，相差54岁。——“年龄不是问题”。谢谢！