欧式空间上的线性变换论文研究

在复数域上有。在实数域上不一定有的，比如矩阵A=[0，1；-1，0]。其特征多项式为λ²＋1＞0(在实数域中)，故无实特征值。

利用几个简单的结论：1.可交换，则二者存在公共特征向量。2.若其中之一可对角化，则二者可同时对角化。证明不细说了，自己查查。由此可见，S,T可同时对角化，那么将他们对角化的矩阵P的列向量组是由特征向量构成，由于P将S,T均对角化了，那么P的列向量组是S,T的公共特征向量，将这组向量施密特正交化即可

1. 从应用的角度考虑，线性空间与线性变换是处理类似问题的一个统一模式。比如，对函数的求导数是一个线性变换，平面上向量的旋转是一个线性变换，等等。2. 向量空间的本质是它的两个运算及8条运算规则，任何其它的概念与性质都是由这些导出的。线性变换是和这两个运算相容的映射或变换：先运算后变换与先变换后运算的结果一致。3. 在某种意义下，线性变换可以等同于矩阵。线性变换的研究可以转化为矩阵的研究。4. 线性变换是线性映射的特例。线性映射是比较两个线性空间的主要工具，最基本的问题是如何判断两个线性空间同构，即，它们之间是否存在保持运算的双射。5. 两个代数结构之间的保持运算的映射，称为同态（更一般的概念是对象之间的态射，这是范畴与函子的语言）。线性空间是非常基本的代数结构，线性映射正是这种代数结构之间的同态。6. 线性变换研究的基本问题是：化简问题。线性变换由它在一组基上的取值所唯一确定。化简是指：如何选取适当的基，使得线性变换在这组基下的矩阵具有简单的形式，简单的矩阵一般指对角矩阵（两个对角矩阵乘积可交换）。这就引出特征值与特征向量的概念以及一些列的问题。7. 要求特征值，就要求多项式的根，这就是高等代数中讨论多项式理论的目的之一；要求特征向量，就要求线性方程组的解，这是线性方程组的主要作用。这样又引起一系列的问题，比如，矩阵、行列式等等。8. 作为最基础的代数结构，向量空间是构造其它更复杂的代数结构的基石。就像盖高楼大厦一样，向量空间只相当于其框架结构。