幂级数论文答辩问题

4．1．3复变函数项级数定义4．3设{fn（z）}（n＝1， 2， …）为一复变函数列，其中各项均在复数域D上有定义，称表达式∑∞〖〗n＝1fn（z）＝f1（z）＋f2（z）＋…＋fn（z）＋…（4．2）为复变函数项级数．该级数的前n项和Sn（z）＝f1（z）＋f2（z）＋…＋fn（z）为级数的部分和．若z0为D上的固定点，limn→∞Sn（z）＝S（z0），则称复变函数项级数（）在z0点收敛，z0称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的一个收敛点，收敛点的集合称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的收敛域．若级数∑∞〖〗n＝1fn（z）在z0点发散，则称z0为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的发散点，发散点的集合称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的发散域．若对D内的任意点z，都有limn→∞Sn（z）＝S（z），则称级数∑∞〖〗n＝1fn（z）在D内处处收敛．并称S（z）为级数的和函数．下面我们重点讨论一类特别的解析函数项级数——幂级数，它是复变函数项级数中最简单的情形．4．2幂级数〖〗在复变函数项级数的定义中，若取fn（z）＝an（z－z0）n或fn（z）＝anzn（n＝1， 2， …），就得到函数项级数的特殊情形∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n＝a0＋a1（z－z0）＋a2（z－z0）2＋…＋an（z－z0）n＋… （4．3）或∑∞〖〗n＝0anzn＝a0＋a1z＋a2z2＋…＋anzn＋…（4．4）形如（）或（）的级数称为幂级数，其中，a0， a1， …， an， …和z0均为复常数．在级数（4．3）中，令z－z0＝ξ，则化为式（4．4）的形式，称级数（4．4）为幂级数的标准形式，式（4．3）称为幂级数的一般形式．为方便，今后我们以幂级数的标准形式（4．4）为主来讨论，相关结论可平行推广到幂级数的一般形式（4．3）．4．2．1幂级数的收敛性关于幂级数收敛问题，我们先介绍下面的定理．定理4．5（Abel定理）若幂级数∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）处收敛，则此级数在｜z｜＜｜z0｜内绝对收敛（即∑∞〖〗n＝0｜anzn｜收敛）；若在z＝z0处发散，则在｜z｜＞｜z0｜内级数发散．证若∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）处收敛，即级数∑∞〖〗n ＝ 0anzn0收敛，所以limn→∞anzn0＝0因而，存在常数M＞0使得对所有的n，有｜anzn0｜＜M当｜z｜＜｜z0｜时，｜anzn｜＝｜anz0｜z〖〗z0n＜Mz〖〗z0n，而级数∑∞〖〗n＝0z〖〗z0n收敛，所以，∑∞〖〗n＝0anzn绝对收敛．若∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）发散，假设存在一点z1，使得当｜z1｜＞｜z0｜时，∑∞〖〗n ＝ 0anzn1收敛．则由上面讨论可知，∑∞〖〗n ＝ 0anzn0收敛，与已知∑∞〖〗n ＝ 0anzn0发散矛盾！因此，∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜＞｜z0｜发散．由Abel定理，我们可以确定幂级数的收敛范围，对于一个幂级数来说，它的收敛情况有以下三种情形：（1） 对所有正实数z＝x， ∑∞〖〗n＝0anxn都收敛，由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在复平面上处处绝对收敛；（2） 对所有的正实数x，∑∞〖〗n＝0anxn（x≠0）发散，由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在复平面内除原点z＝0外处处发散；（3） 既存在使级数收敛的正实数x1＞0，也存在使级数发散的正实数x2＞0，即z＝x1时级数∑∞〖〗n ＝ 0anxn1收敛，z＝x2时级数∑∞〖〗n ＝ 0anxn2发散．由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜≤x1内，级数绝对收敛，在｜z｜≥x2内级数发散．在情形（3）中，可以证明，一定存在一个有限的正数R，使得幂级数∑∞〖〗n＝0anzn在圆｜z｜＜R内绝对收敛，在｜z｜＞R时发散，则称R为幂级数的收敛半径，称｜z｜＜R为幂级数的收敛圆．约定在第一种情形，R＝∞；第二种情形，R＝0．而对于幂级数∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n，收敛圆是以z0为圆心，R为半径的圆：｜z－z0｜＜R．至于在收敛圆的圆周｜z｜＝R（或｜z－z0｜＝R）上，∑∞〖〗n＝0anzn或∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n的收敛性较难判断，可视具体情况而定．关于幂级数收敛半径的求法，同实函数的幂级数类似，可以用比值法和根植法．定理4．6（ 幂级数收敛半径的求法）设幂级数∑∞〖〗n＝0anzn，若下列条件之一成立：（1） （比值法）limn→∞an＋1〖〗an＝L；（2） （根值法）limn→∞n〖〗｜an｜＝L.则幂级数∑∞〖〗n=0anzn的收敛半径R＝1〖〗L．证明从略.当L＝0时，R＝∞；当L＝∞时，R＝0．例4．4求下列幂级数的收敛半径：（1） ∑∞〖〗n＝1zn〖〗n3（讨论圆周上情形）；（2） ∑∞〖〗n＝1（z－1）n〖〗n（讨论z＝0， 2的情形）；（3） ∑∞〖〗n＝0（cosin）zn．解（1）因为limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞1〖〗（n＋1）3〖〗1〖〗n3＝limn→∞n〖〗n＋13＝1或者limn→∞n 〖〗｜an｜＝limn→∞n〖〗1〖〗n3＝limn→∞1〖〗n〖〗n3＝1所以，收敛半径R＝1，从而级数的收敛圆为｜z｜＜1．由于在圆周｜z｜＝1，级数∑∞〖〗n＝1zn〖〗n3＝∑∞〖〗n＝11〖〗n3收敛（p级数，p＝3＞1），所以，级数在圆周｜z｜＝1上也收敛．因此，所给级数的收敛范围为｜z｜≤1．（2） 由于limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞1〖〗（n＋1）〖〗1〖〗n＝limn→∞n〖〗n＋1＝1，故收敛半径R＝1，从而它的收敛圆为｜z－1｜＜1．在圆周｜z－1｜＝1上，当z＝0时，原级数成为∑∞〖〗n＝1（－1）n1〖〗n（交错级数），所以收敛；当z＝2时，原级数为∑∞〖〗n＝11〖〗n，发散．表明在收敛圆周上，既有收敛点又有发散点．（3） 由于an＝cosin＝1〖〗2（en－e－n），所以limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞en＋1－e－（n＋1）〖〗en－e－n＝limn→∞en（e－e－2n－1）〖〗en（1－e－2n）＝e故收敛半径为R＝1〖〗e．例4．5求幂级数∑∞〖〗n＝1（－1）n1＋sin1〖〗n－n2zn的收敛半径．解因为limn→∞n〖〗（－1）n1＋sin1〖〗n－n2＝limn→∞1＋sin1〖〗n－n＝limn→∞1＋sin1〖〗n1〖〗sin1〖〗n－sin1〖〗n〖〗1〖〗n＝e－1故所求收敛半径为R＝e．例4．6求幂级数∑∞〖〗n＝1（－i）n－1（2n－1）〖〗2nz2n－1的收敛半径．解记fn（z）＝（－i）n－1（2n－1）〖〗2nz2n－1，则limn→∞fn＋1（z）〖〗 fn（z）＝limn→∞（2n＋1）2n｜z｜2n＋1〖〗（2n－1）2n＋1｜z｜2n－1＝1〖〗2｜z｜2当1〖〗2｜z｜2＜1时，即｜z｜＜2时，幂级数绝对收敛；当1〖〗2｜z｜2＞1时，即｜z｜＞2时，幂级数发散．所以，该幂级数的收敛半径为R＝2．4．2．2幂级数的运算和性质和实函数的幂级数类似，复变函数的幂级数也可以进行加、减、乘等运算．设幂级数∑∞〖〗n＝0anzn＝S1（z）， ∑∞〖〗n＝0bnzn＝S2（z），收敛半径分别为R1、 R2，则∑∞〖〗n＝1anzn±∑∞〖〗n＝1bnzn＝∑∞〖〗n＝0（an±bn）zn＝S1（z）±S2（z），｜z｜＜R（4．5）∑∞〖〗n＝1anzn∑∞〖〗n＝1bnzn＝∑∞〖〗 n＝0（anb0＋an－1b1＋…＋a0bn）zn＝S1（z）S2（z）， ｜z｜＜R（4．6）其中，R＝min（R1，R2）．复变函数的幂级数还可以进行复合运算．设h（z）在D内解析，且｜h（z）｜＜R， z∈D，则f（h（z））在D内解析，且f（h（z））＝∑∞〖〗n＝0anhn（z）， z∈D．在f（z）的幂级数展开中，可以用z的一个函数h（z）去代换展开式中的z，这在后面解析函数的级数展开中经常用到．幂级数∑∞〖〗n＝oanzn在其收敛圆｜z｜＜R内，还具有如下性质：（1） 它的和函数S（z）＝∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜＜R内解析；（2） 在收敛圆内幂级数可逐项求导，即S′（z）＝∑∞〖〗n＝1nanzn－1， ｜z｜＜R；（4．7）（3）在收敛圆内幂级数可逐项积分，即∫CS（z）dz＝∑∞〖〗n＝0∫Canzndz＝∑∞〖〗n＝0an〖〗n＋1zn＋1，（4．8）｜z｜＜R，C 为｜z｜＜R内的简单曲线．

文学学士学位 1、根据语种分类：根据不同语种分为不同型别，有汉语、英语、日语以及小语种等。分别颁发相应的文学学士学位。 2、汉语类专业类别：汉语言文学（含高阶文秘、教育方向）、 新闻学 、编辑出版学、 对外汉语（含对外文化宣传方向）、 广告学、 广播电视新闻学、传播学、播音与主持艺术、 戏剧影视文学、 艺术设计（环境艺术设计方向、广告艺术设计方向、服装艺术设计方向）。 3、又可以分为：理学学士学位、工学学士学位、法学学士学位、农学学士学位、医学学士学位以及文学学士学位等。 学位是标志被授予者的受教育程度和学术水平达到规定标准的学术称号。 我国学位分学士、硕士、博士三级。分为文学、哲学、理学、工学、经济学等门类，由国务院授权高等学校授予。目前，中国是按哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、军事学、管理学等十二个门类授予学位的。在门类的基础上又进行了适当归并。 根据不同学科专业，学位服按文、理、工、农、医、 军事六大类分别标为粉、灰、黄、绿、白、红颜色。 学位证书不同时期有不同的样式，但证书上面都印有中华人民共和国国徽，国徽下印有“学士学位证书”字样；版心为浅绿色，同时印有授予学士学位的有关内容；右侧留有贴上学位获得者照片的位置。在版心底沿上方，按授予学位物件不同，分别印有“普通高等教育本科毕业生”、“成人高等教育本科毕业生”和“来华留学本科毕业生”字样。

文学硕士学位即本学位注重与文艺学、比较文学等相关学科的交叉研究，关注学科发展的前沿动态，致力于文学批评新方法、新视野的探讨，致力于寻找新的教学和科研的生长点。并且，运用现代教育理论与方式，将培养物件造就为适应现代社会发展所需的专业人才的学位。 中国古代文学是自治区首批示范课程，属校“三五工程”重点课程。该学位点曾主持过多项国家级、省部级科研专案。近年来所承担的主要科研课题有：“康熙诗词评传”（王志民，自治区高校古委会专案），“《文心雕龙》例文释评”（王志民，自治区高校古委会专案），“韩国文献中的明清文学史料”（韩登庸，自治区高校古委会专案）“唐代诗学研究”（高林广，自治区高校古委会专案），“辽金元诗学批评史”（高林广，自治区教育厅）等。近五年来，该学位点出版学术专著10余部，发表学术论文50余篇。获省部级教学、科研奖8项。此外，1人获 *** 奖，二人享受国务院特殊津贴。

我是现在在师大读的 师大文学院的专业 有 汉语言文字学 语言学与应用语言学 这个是授予语言学学位 古代文学 现当代文学 古典文献学 比较文学与外国文学 文艺学是文学学位 课程与教学论专业授予的是教育学 文学院没有教育学原理 没有比较教育学 高等教育学 教育技术 心理学 都没有 这些在教科院 跟文学院不是一起的 然后文学院还有一个美学专业 是跟文艺学他们上课的 但是美学老师很缺乏 上的都是文艺学的课 但是发的文凭是哲学文凭 学美学的亏大了 自己专业的什么都没学到 学到的是其他专业的 毕业论文开题很难开 自己专业的知识都没有 惨死了 另外还有人类学 民俗学 等这些是发社会学专业学位 够详细的了 基本这些专业了

汉语国际教育本科段实际就是原来的“对外汉语专业”，是2012年教育部将原对外汉语专业、中国文化传播专业、华文教育等专业合并整合的新名称，本科段为文学学士学位（极少数院校为教育学学士学位，貌似）；汉语国际教育硕士段目前国家有专业学位就是汉语国际教育硕士学位，是实践型硕士，他不是属于13大门类里的，也就和教育学，文学没关系了。此外，在文学门类下面，有一级学科为语言学，二级学科为语言与应用语言学，甚至是有一些别的教学法研究等等的学术性硕士学位，这个是文学硕士学位。汉语国际教育硕士专业学位是从2004年试点、2007年设点、2009年大规模批准设定才发展起来的，在没有该专业硕士学位之前，语言与应用语言学一般认为是对外汉语本科考研专业对口的方向。简言之：你要是这个专业名称，本科必然是文学学士学位，硕士是汉语国际教育专业硕士学位，哦了。

文学学士学位根据语种分类：根据不同语种分为不同型别，有汉语、英语、日语以及小语种等。分别颁发相应的文学学士学位。 2、汉语类专业类别：汉语言文学（含高阶文秘、教育方向）、 新闻学 、编辑出版学、 对外汉语（含对外文化宣传方向）、 广告学、 广播电视新闻学、传播学、播音与主持艺术、 戏剧影视文学、 艺术设计（环境艺术设计方向、广告艺术设计方向、服装艺术设计方向）。 因为你是艺术设计专业，所以是文学学士学位!!! 满意请采纳！ 谢谢！

艾萨克·牛顿（1643年（格里历）1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。 他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支援，并推动了科学革命。 在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律[1] 。在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。 在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函式的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。 在经济学上，牛顿提出金本位制度。

2011国家公务员职位表使用EXCEL快速筛选 首先，开启职位表，点开其中的一页，比如中央的、直属的 点选学历这一列最上面的框，使得这一列全部变成蓝色的 点选视窗上的资料栏，选择排序 这时将会跳出一个对话方块，选择“扩充套件选定区域”，点选确定 这时又会跳出一个“排序”对话方块，在第一个关键字里选择“学历” 点选确定后所有的职位都将按学历排序，如果你是本科，就可以一下子将硕士、硕士及以上、博士这些全选中，点选右键，删除，在对话方块里选择“整行” 然后再通过上述方法对“基层工作经验”、“政治面貌”排序。把不需要的删除了 这下就剩下很少的职位的，但是这还不够，最重要的一个是选专业 按CTRL+A全选 选择“资料——筛选——自动筛选” 这时候每一列最上面的单元格都会出现一个可以下拉的小白点 在专业一栏的小白点上点一下，拉开后选择“自定义” 这时候跳出一个“自定义自动筛选方式对话方块” 按照你自己的专业来填写方式 比如说我是学法律的 就在第一个空白框里选择“不等于” ，后面的空白框填上*法*——与——“不等于”——*不限*，注意别漏了星号，这代表专业栏里含有的“法”字的所有职位 点选确定后，所有的不含法字的职位都会列出来 全选后点“编辑——删除” 剩下全是有法字的职位以及不限的职位就会显示出来。 其他专业也是一样的方法，如果你是英语专业 你在里面填是“不等于——*英语*—与——不等于—*不限*”，就可以将没有英语或外语字样的专业全删除 完成这些之后你会发现，剩下的全是你要的职位。

国家目前将我国的所有学科划分为12个大的门类：理学、工学、农学、医学、文学、史学、哲学、法学、经济学、管理学、教育学、军事学等。由于军事院校一般属于单列，因此完备的综合性大学一般应当包含其余的11个学科门类，高层次的大学应当在这11个学科中的大部分学科中都有从本科到博士的全层次教育和教学，研究型的大学还应当具有博士后研究的条件。在这11个学科门类中，除理、工、农、医外，其它7个门类从整体上看应当属于文科。在文科的7个门类中，既有文学、史学、哲学等基础文科，也有经济学、法学、教育学等应用性较强的学科。管理学以人的行为及其调控为物件和目标，应当属于文科，但又与理工农医商等有更为密切的联络，介于多者之间，有较大的灵活性和可塑性。在文科的7个大的门类之下，除史学、哲学、教育学本身既是学科门类又是一级学科外，文学门类中包含着中国语言文学、外国语言文学、艺术学等一级学科，经济学门类中包含着理论经济学和应用经济学两个一级学科，法学门类中包含着法学、政治学、社会学、新闻与大众传播学等一级学科，管理学门类中包含着管理科学与工程、工商管理、行政管理、农林经济管理、图书馆、情报与档案管理等一级学科。 在学科划分时，习惯上将理学、工学、农学、医学等学科统称为自然科学；将哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、管理学、商学等学科统称为社会科学。

文学学士学位，不过学位的申请是有要求的，每门课程分数必须达到70分以上，而且论文答辩成绩至少是良好。

文学, 是社会意识形态之一。又被称为语言艺术和时空并列艺术. 文学是语言文字的艺术(文学是由语言文字组构而成的，开拓无言之境)，往往是文化的重要表现形式，以不同的形式（称作体裁）表现内心和再现一定时期，一定地域的社会生活.由于出版和教育的进步以及社会的全面发展，已经失去其垄断地位成为大众文化的一支。产生了所谓的严肃文学和通俗文学或大众文学之分。

2017大学数学论文范文

由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。但是特殊函数往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。下面是我整理的关于几类特殊函数的性质及应用的数学论文范文，欢迎大家阅读。

几类特殊函数的性质及应用

【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。

【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分

1.引言

特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。

由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。

特殊函数定义及性质证明

特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。

特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。

2.伽马函数的性质及应用

伽马函数的定义：

伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。

Г函数在区间连续。

事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。

，伽马函数的递推公式

此关系可由原定义式换部积分法证明如下：

这说明在z为正整数n时，就是阶乘。

由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....

用Г函数求积分

贝塔函数的性质及应用

贝塔函数的定义：

函数称为B函数(贝塔函数)。

已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：

贝塔函数的性质

对称性：=。事实上，设有

递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有

即

由对称性，

特别地，逐次应用递推公式，有

而，即

当时，有

此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为

由上式得以下几个简单公式：

用贝塔函数求积分

例

解：设有

(因是偶函数)

例贝塔函数在重积分中的应用

计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，

解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是

通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。

贝塞尔函数的性质及应用

贝塞尔函数的定义

贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ是任一实数。

贝塞尔函数的'递推公式

在式(5)、(6)中消去则得式3，消去则得式4

特别，当n为整数时，由式(3)和(4)得：

以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。

又因为

以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。

为半奇数贝塞尔函数是初等函数

证：由Г函数的性质知

由递推公式知

一般，有

其中表示n个算符的连续作用，例如

由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数(n为正整数)都是初等函数。

贝塞尔函数在物理学科的应用：

频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，.根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令

称为的Fourier变换。它的逆变换是

若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值(这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，

这就是Shannon取样定理。Shannon取样定理中的母函数是

由于Shannon取样定理收敛速度不够快，若当这时允许的最大取样间隔特征函数Fourier变换：

以下取样方法把贝塞尔函数引进取样定理，其特点是收敛速度快，且可根据实际问题调节收敛速度，这样就可以由不太多的取样值较为精确地确定函数。

首先建立取样定理

设：

其中是零阶贝塞尔函数。构造函数：

令

经计算：

利用分部积分法，并考虑到所以的Fourier变换。

通过函数卷积法，可加快收敛速度，使依据具体问题，适当选取N，以达到预期效果，此种可调节的取样定理，计算量没有增加很多。取：

类似地

经计算：

经计算得：

则有：设是的Fourier变换，

记则由离散取样值

因为，故该取样定理收敛速度加快是不言而喻的，通过比较得，计算量并没有加大，而且N可控制收敛速度。

例，利用

引理：当

当

因为不能用初等函数表示，所以在求定积分的值时，牛顿-莱布尼茨公式不能使用，故使用如下计算公式

首先证明函数满足狄利克雷充分条件，在区间上傅立叶级数展开式为：

(1)

其中

函数的幂级数展开式为：

则关于幂级数展开式为： (2)

由引理及(2)可得

(3)

由阶修正贝塞尔函数

其中函数，且当为正整数时，取，则(3)可化为

(4)

通过(1)(4)比较系数得

又由被积函数为偶函数，所以

公式得证。

3.结束语

本文是关于特殊函数性质学习及其相关计算的探讨，通过对特殊函数性质的学习及其相关计算的归纳可以更好的掌握特殊函数在日常学习中遇到相关交叉学科时应用，并且针对不同的实例能够应用不同的特殊函数相关性质进行证明、计算，从而更加简洁，更加合理的利用特殊函数求解相关问题。有些特殊函数的应用不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。

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