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油新华1 李晓2 何刚1

（1.北京城建集团有限责任公司 北京 100044

2.中国科学院地质与地球物理研究所 北京 100029）

摘要 土石混合体是一种非均质、不连续体，针对其结构特点，分析了其尺寸效应，提出了土石混合体的随机结构模型。对其中砾石块体的空间位置、大小、方位三个随机变量的实测统计、分布函数、生成方法等进行了深入的研究。并利用随机模拟方法提出了一套随机结构模型的自动生成技术，最后给出了两个随机结构模型的例子。

关键词 土石混合体 随机结构模型 自动生成技术

岩土工程从定性到定量转化的重要标志是岩土介质模型的建立，而模型的合理有效性是保证工程定量分析结果精确可靠的基本前提。土石混合体是一种非均质、不连续体，其力学性质受控于土石混合体的内部结构［1～4］。土石混合体力学行为所显示的不确定性、不规则性和模糊性是其结构复杂性的具体反映。因而，反映并确定岩土体结构的非线性特征已成为突破连续介质力学模型的束缚、发展全新思维的岩土力学理论与技术的关键。一种岩土力学的分析方法能否成功地解决实际岩土工程问题将在很大程度上取决于它如何真实地反映出工程岩体所具有的这些特性。本文在土石混合体实测剖面的基础上，利用图像处理技术和有限差分网格的自动生成技术对其中砾石块体的空间位置、大小、方位三个随机变量的实测统计、分布函数、生成方法等方面进行了深入的研究，并利用随机模拟方法提出了一套随机结构模型的自动生成技术，最后给出了几个随机结构模型的例子。

1 土石混合体的力学性质分析

土石混合体由于含有不同大小、不同种类、不同数量的砾石块体而具有典型的非均质、非连续性，在力学性质上表现为强烈的各向异性。

在实际工程中，岩土体的非均匀性不仅仅表现为物质成分分布的非均匀性，而且更主要地表现为岩土体结构的非均匀性［5，6］。土石混合体可以认为是复合型结构体，它可以包含强度相对较低的粘土或砂土充填物以及强度相对较高的砾石块体，这决定了它物质组成上的非均质性。同时所含的石块可以具有各种各样的空间结构和方向，尺寸也相差很大，这决定了它结构上的非均质性。

正是由于土石混合体组成物质上的非均匀性、结构的非均匀性，从而使其物理-力学性质表现为明显的非均匀性、各向异性和不连续性和应力重分布的复杂性［7］。

确定这种物质的力学性质，传统的方法效果甚微：惯用的现场和实验室试验相对于大面积岩土体来说，不能提供研究所具有的代表性条件。为减少这些不足，文中采取的办法是对强度较大的砾石块体和强度较小的粘砂土充填物分别赋予不同的材料强度参数，以解决物质组成上的非均质性；同时用随机变量的形式来模拟砾石夹杂物的百分含量、尺寸、形状和方向，以解决土石混合体结构上的非均质性。

在土石混合体中，由于包含硬度大小不同的两种或多种物质，而使得在受力变形时，应力和位移表现为不连续，主要体现在两种不同物质的交界面上，砾石块体和土体单元之间可以拉裂和滑移。本文采取的办法是用Interface单元来模拟这一界面，结果证明它能很好地反映位移和应力的不连续。

岩土体材料的均匀程度及连续性，同使用的研究尺度和所考察的范围有关［8，9］。在一定尺度内严重碎裂的块体在另一尺度内可以是大块体的组合。改变研究的尺寸，岩体的非均质、非连续性和各向异性都将发生变化，因此采用的力学方法也随之变化。

土石混合体中含有的砾石块体有大有小，分布极不均匀，但在实际研究中，必须保证其最大粒径不能大于试样尺寸的1/5，对于特殊的大颗粒应该单独进行分析，以研究它的存在对整个应力场的影响；对于异常小的颗粒则不予考虑。

通过以上的分析，可知在模型的建立时必须坚持以下一些原则：

（1）在土石混合体的模型中，假定只包含两种强度不同的材料，且这两种材料分别是均质、连续的。

（2）在数值模拟中，应尽可能考虑“夹杂物-充填物”之间的接触界面作用，以模拟土石混合体的非连续性。

（3）研究的区域尺寸至少应该大于最大夹杂物特征尺寸的4～5倍，这样才能得到土石混合体的代表性性质。

（4）数值模拟可根据平面变形方式进行，忽略试件的体应力状态，试验证明其结果实际上等于或稍小于体应力下的实验中强度和变形的特性。Christensen于1982年提出的复合材料理论证实了这一想法。

2 基于随机分布的随机结构模型的自动生成技术

蒙特-卡洛（Monte-Carlo）法又称随机模拟方法或统计计算方法，是一种由统计抽样理论所确定的随机变量在计算机上模拟的数值计算方法［10～12］。它的应用非常广泛，在岩土工程中，用Monte-Carlo法进行节理裂隙的模拟引起了广泛的注意，在不少工程中得到了实际应用；将Monte-Carlo法与有限元等数值方法相结合而发展起来的随机有限元法、随机边界元法等方法正在得到进一步发展。

本文利用Monte-Carlo法来模拟土石混合体中砾石的大小、方位和空间分布，以建立基于随机分布的土石混合体随机结构模型。其基本思路是：根据对土石混合体的野外地质调查以及对典型试样的粒组分析和含石量统计，同时为了研究的方便，假定砾石在土石混合体中的空间位置服从均匀分布，砾石的大小及方位服从对数正态分布。首先，在某一研究区域中，均匀产生一位置点；然后，给其赋予大小和方位两个随机地质参数，由这些属性参数并利用AutoCAD或Ansys的绘图功能，即可建立土石混合体的随机结构模型。

在土石混合体随机结构模型的创建中，要使用砾石块体的空间位置、块体的大小、块体的方位三个随机变量。

块体的空间位置

从总体上看，块体在试样中是均匀随机分布的，如图1所示。由于是平面问题，所以需要产生一个随机分布的数对（x，y）。这是一个二维随机变量，x、y分别是点的X、Y坐标，由实际情况可知，随机变量x、y是统计独立的，其联合概率密度函数为：

土石混合体

式中：fx（x）为x的边缘分布密度函数；fy（y）为y的边缘分布密度函数。

这时可以运用单随机变量的情形，彼此分开和相互独立地生成每一个随机变量的随机数。在具体应用中，可以利用反函数法生成两个属于不同区间的随机序列，即

土石混合体

土石混合体

由此可以得到一个随机数对（xi，yi），即在如图1所示的区域内产生一个点。

图1 均匀随机分布的空间布置

块体的大小

土石混合体中砾石块体的形状、大小随其种类的不同而不同，如滑坡堆积形成的土石混合体中的块体多为圆形或亚圆形，大小不一，而崩塌堆积形成的土石混合体中块体多为棱角形。关于形状，本文考虑了三角形和圆形两种极限情况。而对于块体的大小，作者统计了白衣庵滑坡地区两个试样中砾石块体的粒径，同时也利用数码照相的方法统计了试样中块体的面积大小和平均粒径的大小，其直方图见图2至图5。

图2 人工统计的试样1 粒径分布直方图

图3 人工统计的试样2 粒径分布直方图

图中横坐标分别代表不同的粒径组别。例如，在图2中，组别1：小于1cm；组别2：1～2cm；组别3：2～4cm；组别4：4～6cm；组别5：6～8cm；组别6：8～10cm；组别7：10～12cm；组别8：大于12cm。由图中可以看出粒径的大小基本上符合对数正态分布。对数正态分布的概率密度函数为：

图4 自动统计的数值试样的平均粒径直方图

图5 自动统计的数值试样的面积分布直方图

土石混合体

对数正态分布的密度函数f（x）是偏正态的，如图6所示。由图可知，对数正态分布的随机变量x均在正值域取值，所以在工程中相当多的随机变量，如土的粘聚力、内摩擦角等都服从对数正态分布［12］。

图6 对数正态分布的概率密度函数

对于这种随机变量，一般采用坐标变换的方法来产生。

设r1、r2是两个相互独立的在［0，1］上均匀分布的随机数，做变换为

土石混合体

则η1，η2是两个相互独立、服从标准正态分布的随机数。由正态分布和标准正态分布的关系，可以方便地求出具有均值μx标准差σx的非标准正态分布的随机数x1、x2：

土石混合体

由正态分布与对数正态分布的关系，得对数正态分布的随机数：

土石混合体

块体的方位

块体的方位是指块体的优势方向，对于圆形块体来说不存在这一问题；而对于三角形特别是扁平的多边形来说，则具有非常重要的意义，因为其方位不同，变形破坏机理也不同，试样的强度性质相差很大。本次计算，只考虑块体为等边三角形的情况，其方位可以如图7定义。

图7 三角形块体的方位角示意图

三角形的三个顶点分别为1，2，3，以1 点为例，将1点和原点的连线与 X 轴的夹角定义为三角形的方位角 α。因为是等边三角形，故0＜α＜120 °。

对于块体的方位，可以针对某一个剖面进行现场测量，或者利用数码照相的方法进行自动统计。这一部分的工作暂时没有做，但是根据前人的经验［8］可知块体的方位角一般也服从对数正态分布。对于某一类型或某一地区的土石混合体来说，其块体方位角都有一个优势值，即均值。然后给出一个方差，根据上节的方法即可产生一个服从对数正态分布的随机变量α。

3 随机结构模型的生成

有了上述三个随机变量，就可以编程来生成土石混合体的随机结构模型。首先在一定的区域内随机生成一个均匀分布的随机点，作为圆形的圆心或三角形的形心（因为是等边三角形故也为重心）。然后给这个点赋予大小和方位两个随机参数变量li，αi，当然若为圆形则只有一个参数li。最后，由这两个参数，即可画出一个三角形或圆形。具体方法如下：

（1）对于圆形，因为有圆心和半径（表示大小的随机变量li），就可以利用Fortran语言或ANSYS或AutoCAD中的绘图命令来产生一个圆，如图8所示。

（2）对于三角形，先利用形心、大小和方位产生点1，根据1点和2点仅相差120°，产生点2，同理产生点3。连接1和2，2和3，3和1，即可得出一个随机产生的等边三角形，如图9所示。

图8 随机圆的生成示意图

图9 随机三角形的生成示意图

产生一个圆或三角形以后，就可以根据同样的方法生成一系列的圆或三角形，因为产生这些实体的三个随机变量是相互独立的，所以它们之间也是相互独立的。在这个过程中，有一点需要特别指出，即在产生某一个实体的时候，要先判断一下这个实体是否和其他已经生成的实体相交，如果相交则舍去，重新生成下一个。对于圆形，判断两个圆心之间的距离是否大于两个圆半径之和即可（图10）。而对于三角形，则有三种情况：点点相对（图11）、点边相对（图12）、边边相对（图13）。为了简便起见，只考虑最不利的第一种情况（图11），即判断两形心之间的距离是否大于等于两三角形外接圆半径之和。另外在三角形和圆形混杂的情况下，也只判断较不利的方式，即圆和三角形的顶点相对，这样可判断三角形形心和圆的圆心之间的距离大于等于三角形外接圆半径和圆的半径之和。

图10 两圆相交判断示意图

图11 三角形点点相对相交判断示意图

图12 三角形点边相对相交判断示意图

图13 三角形边边相对相交判断示意图

利用上述方法生成的土石混合体随机结构模型，可以导入Ansys，从而提取很多有用的信息：面的信息、线的信息、点的信息。由这些信息，可以统计出以下量化指标：砾石块体的面积、砾石块体的周长、土石混合体的含石率、砾石的面周比、砾石块体的长细比。这样就建立了能进行数值计算的土石混合体随机结构模型。利用这种模型，可以系统地研究含石量、块体形状、块体分布形式对土石混合体强度性质以及变形破坏形式的影响，详见文献［4］。

4 土石混合体随机结构模型的实例

在以上分析的基础上，作者编制了一套相应的Fortran语言程序，以产生不同的随机结构模型。下面给出了两个较为复杂的模型：①圆形、三角形块体混合分布，大小、方位都服从对数正态分布（图14）；②圆形、三角形、四边形块体混合分布，大小和方位均服从对数正态分布（图15）。

致谢 在本文的写作过程中，得到了许多现场和科研机构工作人员的大力协助，在此向他们特别是中国水文地质工程地质勘查院的殷跃平总工，中国科学院地质与地球物理研究所的张年学研究员、曲永新研究员，北京城建集团的贺长俊教授级高工表示衷心的感谢！

图14 随机结构模型（1）

图15 随机结构模型（2）

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