甘肃高师学报

摘 要：法国著名作家维克多•雨果在小说《巴黎圣母院》中塑造了众多的人物形象，但是对于爱情的态度最为特殊也最值得人深思的人物形象却是貌相丑陋无比而内心善良的卡西莫多。卡西莫多的爱情是残缺的，是盲目的。然而，就是在这残缺与盲目的碰撞之间，这个地位低下，其貌不扬的撞钟人却追求并到了最真，最纯的爱情。在卡西莫多式的爱情中我们可以认识并且了解我们人类自身的爱情真谛，从而正确认识爱情书写完美人生。 关键词：《巴黎圣母院》；卡西莫多；爱情观 爱情是很自私的情感，是具有排他性的，不允许第三者介入的。然而在雨果笔下的卡西莫多的爱情观显然与大众的爱情观不同。他能够接受艾斯米拉达倾心他人，能够不顾一切一心一意的对艾斯米拉达。或许在旁人眼里，卡西莫多的爱情观是畸形的，但是最为一个真正走在追求真实爱情道路上的人，他的做法是正确的，他一生只是走在追求自己爱情权力的道路上。 一、残缺的爱情 卡西莫多是作者在作品中创作出外表最为丑陋的男人，驼背，独眼，又聋又跛。似乎所有的不幸都与卡西莫多相随，理所当然，卡西莫多从小就饱受人们的歧视和欺凌。但是，天意弄人，卡西莫多偶然在艾斯米拉达身边得到了人生中第一次温暖。进而外表粗野的他将自己的生命和满腔的热情寄托在艾斯米拉达身上，因为爱情，卡西莫多可以为艾斯米拉达赴汤蹈火。然而，在卡西莫多的丑陋与艾斯米拉达的美丽之间，他们二人有着终身难以逾越的鸿沟。他们二人的爱情是残缺不全的。卡西莫多的丑陋外表和艾斯米拉达的美丽便是他们二人不可逾越的鸿沟，纵然二人在人性上有着相同之处，但是二者的爱情却仅仅局限于卡西莫多的一厢情愿，卡西莫多的爱情中充满着不幸与缺憾。雨果在卡西莫多与艾斯米拉达这俩个人物的塑造之中，赋予了他们同样美丽的内心，却又制造了截然不同的外貌，也就仅仅因为如此，小说中卡西莫多在爱情的处境中使人扼腕叹息。我们在阅读作品中，每每为卡西莫多的情况而愤恨，难道只是因为外貌就要剥夺一个人对于追求爱情的权力吗？因为丑陋，卡西莫多不能像他人一样去约会艾斯米拉达，只能在心中默默地爱恋并且关心着对方。所以，在作品中卡西莫多是一厢情愿，在最终也并没有与艾斯米拉达成为眷侣。所以最后小说也只能够通过悲剧来磨平卡西莫多的丑陋与艾斯米拉达美丽之间的鸿沟。“概括一切灵魂和忠诚之美的卡西莫多，概括博学，知识，智慧之美的克洛德，概括形体之美的福比斯。”[1]而这三个人中，唯一对艾斯米拉的付出真心的便是卡西莫多。但是卡西莫多先天丑陋的外表对于任何一个美丽的女人都不可能产生爱情，更不要说一个只重视外表和救命之恩的艾斯米拉达。所以，卡西莫多的爱情从开始就是个残缺的悲剧，但是他从未放弃追求爱情的权力。 二、盲目的爱情 卡西莫多对艾斯米拉达的爱是博大的，是不求回报的。不同于伪君子福比斯对于美貌的追求，卡西莫多当初爱上艾斯米拉达的场景就是因为卡西莫多被绑于炎炎烈日之下鞭刑示众，当卡西莫多乞求喝口水时，在众目睽睽之下，却是善良纯洁的艾斯米拉达递他水喝。艾斯米拉达的善良深深打动了丑陋无比的卡西莫多，从此他从心里深深的爱上了艾斯米拉达。卡西莫多追求的并不是华而不实的外表，而是深掩与皮囊之下的心灵美。也恰恰因为如此，卡西莫多并没有思考过艾斯米拉达的过往和为人，他仅仅凭借一件善事就认定艾斯米拉达，这是盲目的。其次，他也没有考虑过艾斯米拉达是否早有中意之人。总而言之，卡西莫多对于艾斯米拉达的一见倾心有太多的冲动与不成熟。卡西莫多终年处于教堂几乎不涉事，所以，卡西莫多心中的爱情是最原始，也是最真诚发自内心本来的情感宣泄。然而卡西莫多对于艾斯米拉达的感情只是单方面的感情而已，艾斯米拉达曾告诉克洛德：“我爱福比斯，他长的比你漂亮！而你呢，教士，你太老了，长的又丑，你去死吧！”[2]由此我们可以直观看出，艾斯米拉达对于爱情观只停留在普通人最初的阶段，仅仅通过外表来判断自己的爱情。艾斯米拉达是可悲的，她只懂得选择“外表华丽冠冕堂皇的花瓶”，[3]她却不懂得珍惜内心善良真正愿意为她付出生命的卡西莫多。但是卡西莫多一厢情愿的喜欢上艾斯米拉达也是可悲的，卡西莫多自己选择了不会结果的爱情。他只是被那人性心灵中最纯洁的对爱情向往冲昏头脑，从而盲目的选择自己所追求的眷侣。可是美丽善良如同天使般的艾斯米拉达却唤醒了卡西莫多对于爱情的渴望。而这样的渴望并没能带给他心灵深处对于美丽爱情所向往的状态，反而让他深深地明白自己丑陋的外表是他对于爱情致命的缺陷。可是，虽然卡西莫多对于不切实际的爱情进行追求的同时也恰恰是其作为一个人，理应追求爱情的权力体现。 三、升华的爱情 爱情有三种境界：第一种境界——身体之恋；第二种境界——物质之恋；第三种境界——精神之恋。身体之恋——爱情是一种难忘的激情；物质之恋——爱情是一种优雅的占有；精神之恋——爱情是一种相互的理解。真正的爱情不掺杂任何其他的东西，真正的爱情隐藏在心灵深处，甚至连本人也难觉察到。钟楼怪人卡西莫多达到了爱情的最高境界。前俩个境界的爱情是没有保障的，或许在旦夕之间爱情就灰飞烟灭，但是第三境界的爱情是长久的。 爱一个人的最高境界是等待，卡西莫多对艾斯米拉达的爱就是这样的爱，是大爱，是升华的爱。他能够在她需要自己的时候出现，并且给于她最真诚无私的帮助。所以当卡西莫多深知自己的外表根本无法打动美丽的艾斯米拉达时，卡西莫多就自诩说道“我的不幸，就在于我还是太像个人了。我情愿完全做一只野兽，就像这只小羊儿。”[4]由此可见，面对艾斯米拉达，卡西莫多是自卑的，但他的内心本意却是渴望接近艾斯米拉达，渴望去拯救艾斯米拉达，可是他自身的缺陷却又让他时刻躲避着艾斯米拉达。卡西莫多只想要艾斯米拉达留在自己的身边，然后尽全力去保护她，使得自己精神上的到满足，而不是情欲的占有。所以当艾斯米拉达行刑之日，卡西莫多将副主教从楼顶上推下，在副主教摔死后，卡西莫多便当日失踪。两年后，人们在墓地发现他的尸骨和艾斯米拉达的尸骨拥抱在一起。当人们想把他们分开时，已经是一堆灰烬。而卡西莫多悲剧性的爱情结局恰恰是其爱情升华的最有力证据。卡西莫多所追求的爱情恰如他们死后身体的灰烬，不是物质和情欲的形态，而是源自精神上的依赖与寄托。卡西莫多所挚爱的情感是一种博爱，他不求索取的为爱情肝脑涂地，也只在他们死后相拥化为灰烬之时，卡西莫多得到了他的爱情，他们的爱情也得到了最好的归宿。纵使作者给予读者悲剧化的结局，但是这丝毫不影响读者对于这伟大爱情的敬仰。 结语：当你活着的时没有一个人真正理解你，你被人类抛弃，也被上帝抛弃，你爱过，渴望过，但没有回报。”[5]纵然如此，作为独立的每个人，我们都有爱的权利与矛盾，不管是否美若天仙，还是怪物丑人。在我们的社会中，不是全部的爱情都是郎才女貌，门当户对，卡西莫多与艾斯米拉达的爱情才是写实生活。不管外貌如何，人们在情感层面上都是的平等，情感能够冲突与身份的障碍，从而引领情感的宣泄。所以，在卡西莫多式的爱情观中，最值得我们思考和学习的应该是其追求爱情权力的那种无畏无惧。 参考文献： [1]欧仁•苏评《巴黎圣母院》, 转录自《雨果夫人回忆录》[M] 第366 页。 [2]雨果 《巴黎圣母院》〔Z〕, 陈敬容译, 贵州人民出版社, 1980 年版616页 [3]《巴黎圣母院》 黄涛梅  甘肃高师学报  2002年 03期  [4] 雨果《巴黎圣母院》〔Z〕, 陈敬容译, 贵州人民出版社, 1980 年版486 页 [5]灵的追求,肉的毁灭——剖析《巴黎圣母院》中的克洛德 王学文 世界文化 1997年 01期

数学悖论与三次数学危机

陈基耿

摘要：数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。

历史上一连串的

数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。

数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。

危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

关键词：数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论

数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。

悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1]。

数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。

数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。

本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。

1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机

第一次数学危机的内容

公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2]。

他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比）， 除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。

毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3]，也就是我们所说的勾股定理。

勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a2=b2+c2，a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c表示斜边。

然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。

他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。

假设正方形边长为1，并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？显然d不是整数，那它必是两整数之比。

希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明[4]，用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有c2=2a2，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素，于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m，则有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。

这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。

第一次数学危机的影响

毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。

第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。

首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[5]，为数学分析的发展奠定了基础。

再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。

欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的[6]。

第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。

2贝克莱悖论与第二次数学危机

第二次数学危机的内容

公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。

然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。

例如牛顿当时是这样求函数y＝xn的导数的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n•xn-1•△x＋[n（n+1）/2]•xn-2•(△x)2＋……＋（△x）n，然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y ，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn ]/△x＝n•xn-1＋[n（n-1）/2] •xn-2•△x＋……＋n•x•（△x）n-2＋（△x）n-1，最后，扔掉其中含有无穷小量△x的项，即得函数y=xn的导数为y′=nxn-1。

对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：先用△x为除数除以△y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明△x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。

[8]这就是著名的“贝克莱悖论”。

确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为0，有时又异于0的做法，不得不让人怀疑。

无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。

第二次数学危机的影响[8]

第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。

在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。

微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。

在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。

而柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。

后来外尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。

极限的ε－δ定义就是用静态的ε－δ刻画动态极限，用有 *** 来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。

极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。

后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了 *** 论。

这样有了极限理论、实数理论和 *** 论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。

3罗素悖论与第三次数学危机

第三次数学危机的内容

在前两次数学危机解决后不到30年即19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了 *** 论, *** 论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。

1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布[9]：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而，正当人们为 *** 论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论”的内容是这样的：设 *** B是一切不以自身为元素的 *** 所组成的 *** ，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B。

这样，利用 *** 的概念，罗素导出了—— *** B不属于B当且仅当 *** B属于B时成立的悖论。

之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论[10]。

理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。

那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。

如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子。

同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。

这就是历史上著名的罗素悖论。

罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。

第三次数学危机的影响

罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础—— *** 论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。

罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了 *** 的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决。

罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。

数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道[11]：“对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了。

在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地。”可见第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地。

然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出 *** 论时对“ *** ”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切 *** 的集体”这种过大的 *** 而产生了悖论。

为了从根本上消除 *** 论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。

如以罗素为主要代表的逻辑主义学派[12]，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的 *** 论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制 *** 的概念，从逻辑上保证 *** 的纯粹性，他首次提出了 *** 论公理系统，后经费兰克尔、冯•诺伊曼等人的补充形成了一个完整的 *** 论公理体系（ZFC系统）[5]，在ZFC系统中，“ *** ”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。

ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列 *** 悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。

尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，现代公理 *** 论一大堆公理是在很难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续[7]。

为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。

可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。

4结语

历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展源泉之一。

第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论和 *** 论三大理论的产生和完善，使微积分建立在稳固且完美的基础之上；第三次数学危机，使 *** 论成为一个完整的 *** 论公理体系（ZFC系统），促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。

数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系，每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。

悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了,新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们便不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。

数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的出现，不单是给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。

数学中悖论和危机的历史也说明了这一点：已有的悖论和危机消除了，又产生新的悖论和危机。

但是人的认识是发展的，悖论或危机迟早都能获得解决。

“产生悖论和危机，然后努力解决它们，而后又产生新的悖论和危机。”这是一个无穷反复的过程，也就不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

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