从微积分成为一门学科来说, 是在17 世纪, 但是, 微分和积分的思想早在古代就已经产生了.公元前3 世纪, 古希腊的数学家、力学家阿基米德( 公元前287~前212) 的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽, 他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想.作为微积分的基础极限理论来说, 早在我国的古代就有非常详尽的论述, 比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中, 著有“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”.三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细, 所失弥少, 割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”.他在1615 年《测量酒桶体积的新科学》一书中, 就把曲线看成边数无限增大的直线形.圆的面积就是无穷多的三角形面积之和, 这些都可视为黄型极限思想的佳作.意大利数学家卡瓦列利在1635 年出版的《连续不可分几何》,就把曲线看成无限多条线段( 不可分量) 拼成的.这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备.牛顿的“流数术”数学史的另一次飞跃就是研究“形”的变化.17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展,不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大, 而且由于实践的需要, 开始研究运动着的物体和变化的量, 这样就获得了变量的概念, 研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系.到了17世纪下半叶, 在前人创造性研究的基础上, 英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿是从物理学的角度研究微积分的, 他为了解决运动问题, 创立了一种和物理概念直接联系的数学理论, 即牛顿称之为“ 流数术”的理论, 这实际上就是微积分理论.牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》.这些概念是力的概念的数学反映.牛顿认为任何运动存在于空间, 依赖于时间, 因而他把时间作为自变量, 把和时间有关的应变量作为流量, 不仅这样, 他还把几何图形———线、面、体, 都看作力学位移的结果.因而, 一切变量都是流量.牛顿指出,“流数术”基本上包括三类问题:( 1) 已知流量之间的关系, 求它们的流数的关系, 这相当于微分学;( 2) 已知表示流数之间的关系的方程, 求相应的流量间的关系.这相当于积分学, 牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数, 还包括解微分方程;( 3)“ 流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值, 求曲线的切线和曲率, 求曲线长度及计算曲边形面积等.牛顿已完全清楚上述( 1) 与( 2) 两类问题中运算是互逆的运算, 于是建立起微分学和积分学之间的联系.牛顿在1665 年5 月20 日的一份手稿中提到“流数术”, 因而有人把这一天作为诞生微积分的标志.莱布尼茨使微积分更加简洁和准确而德国数学家莱布尼茨则是从几何方面独立发现了微积分, 在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过, 他们为微积分的诞生作了开创性贡献.但是他们这些工作是零碎的, 不连贯的, 缺乏统一性. 莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的.莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积, 运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的.牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学, 造诣较莱布尼茨高一等, 但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹, 既简洁又准确地揭示出微积分的实质, 强有力地促进了高等数学的发展.莱布尼茨创造的微积分符号, 正像印度———阿拉伯数字促进了算术与代数发展一样, 促进了微积分学的发展.莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一.牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了,而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用.莱布尼茨比别人更早更明确地认识到, 好的符号能大大节省思维劳动, 运用符号的技巧是数学成功的关键之一.
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