二次型的性质及应用论文文献综述

应用领域：线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。

而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（）、蒙日和泊松（）建立的。

历史：

二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。

柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。

正定二次型拥有以下两个性质:

1.设A为正定实对称阵 ,则AT，A-1,A*均为正定矩阵;

2.若A,B均为n阶正定矩阵 ,则A+B也是正定矩阵。(注:可用正定二次型的定义来验证)

正定二次型是指:若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。根据定义，我们可以得出以下4点具体分析:1. 正定矩阵的特征值全大于零  2. 正定矩阵与单位阵合同 3. n元正定二次型的正惯性指数等于n 4.正定矩阵的行列式大于零，且对角元都大于零，归纳总结出来及为二次定型的性质。

正定二次型的性质如下：

1、n阶实对称矩阵A正定。

A的正惯性指数等于n。

A与单位矩阵合同。

A的顺序主子式大于零。

A的特征值大于零。

A的行列式大于零（但行列式大于零的矩阵不一定是正定矩阵）。

2、若n阶实对称矩阵A和B正定，K为实数，则，

①A（逆）、A（伴随矩阵）、A+B均正定；

②KA正定K>0；

③AB正定AB=BA。

正定二次型

若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。

判定方法

1、行列式法

对于给定的二次型，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于来判定二次型的正定性。