高考不等式题研究论文

【摘要】高中数学函数求最值问题是高中数学最重要的课程之一，由于求最值问题的内容较散，方法难以选择，因此最值问题求解一直困扰我们的学习。最值问题是数学考试中常用的求解题目，我们在学习中要通过例题的练习熟悉最值求解问题的解题方法，并且通过精确例题来确认可能存在的解题陷阱，从而让同学们提高对这一部分题目的解题熟练度和准确度。

1.函数最值求解的理论知识

高中数学函数中求最值是整个阶段学习的核心内容，最值求解问题的覆盖度较广，在高考题目中屡次出现，这也体现了这一知识点的重要性。函数最值问题的定义是：假设y=f（x）的定义域为A，如果存在x0∈A，使得A范围内的任意x值都有f（x0）≤f（x），则成为函数的最大值，反之则成为函数的最小值，这是最值问题的严格定义，将函数最值问题和函数单调性结合在一起，我们在学习过程中，要注重函数单调性的理解，精确求解函数最值。

函数最值问题的`求解较为复杂，这也是导致我们学习出现障碍的症结所在，函数最值问题求解需要考虑的方面较多，如果忽略了函数定义域的处理，就会导致函数最值求解错误。我们在最值问题求解时会涉及到函数定义域和值域、三角函数、单调性等问题，涉及的数学方法和解题技巧也较多，因此对于这类问题的求解要注重解题细节，灵活运用最值求解方法。

2.函数中求最值需要注意的点

区间上二次函数最值求解

二次函数最值求解是较为常见的函数问题，由于二次函数是非线性函数，讨论函数区间内的最值问题要综合考虑函数的特性，确定函数定义域区间内的最值，最值求解一定要在有意义的定义域区间内，我们要明确函数区间的开闭性，而此函数是给定的，其相应的函数值域也是确定的。例如已知二次函数f（x）=ax+bx+c（a>0），它的函数曲线是以直线x=-b/2a为对称轴，曲线为开口向上的抛物线，根据数形结合我们可以求解函数区间。我们在求解过程中，要注意函数区间（m、n）的界定，在函数区间内区分增区间和减区间，从而求解函数的最大值和最小值。

动二次函数的区间最值求解

二次函数随着参数的变化而变化，其函数曲线是运动的，但是其区间固定在一个区域内，这种情况下的函数定区间最值求解要考虑函数区间的单调性。函数参数如果实在曲线开口上，就要针对函数曲线开口向上和开口向下进行重点讨论，如果函数参数出现在对称轴上，就针对函数区间左侧、右侧和中间定义域进行讨论，如果函数区间在对称轴区间的中间，要分为两种情况进行讨论，细分为对称轴是分为左侧或者右侧的端点。动二次函数包含了参数，去区间也是变化的，函数在闭区间的最值可能是出现在区间端点，顶点处取得，最后要对得出的参数值进行验证。同时函数最值求解要把握二次函数的图像开口方向，确定定点的横坐标，并确定函数的单调性和对称性。

利用基本不等式求解最值问题

有些同学在利用基本不等式求解最值问题时，会忽视了等号成立条件的问题，在利用基本不等式求解最值时要必须对定理的前提的进行考虑，核实“一正二定三相等”的前提条件是否成立，否则求得的最值容易出现错误。例如对于例题：正数x、y满足x+2y=1，求解1/x+1/y的最小值，对于不等式最值求解可能会出现以下的错解，即由基本不等式可以得出x+2y=1≥。

所以可以得出xy≤1/8，我们可以将不等式变化带入到不等式1/x+1/y≥2≥4，其最小值为4。对于这种错误解题方法分析，第一次等号成立的条件为x=2y，但是第二次等号成立的条件是x=y，这两种之间的矛盾直接导致最值求解直接错误，因此我们在不等式求解最值时要格外注重等号成立条件的规定。

数形结合求解函数最值

数形结合求解函数最值问题是我们往往忽略的方法，这种方法借助图形可以直接观察到函数的单调性，从而确定函数最值在哪个位置。图形可以直观表现函数曲线的走向，而数则可以精确计算函数区间，通过数和形的联系可以结合函数最值问题。我们可以根据函数画出相应的图形，将函数图形纳入到坐标系中，画出函数曲线中的对称线和区间端点，利用函数图形辅助最值求解，函数图形可以直观准确计算出两个变量表达式的数值，用导数求极值进而求最值，也要借助草图来画出函数的单调性才能确定最大最小值在哪取得；在区间上求二次函数的最值问题也要画出二次函数的图象才能确定最值，因此我们要合理利用数形结合来求解函数最值，灵活运用函数图像的辅助作用，提高函数区间单调性的把握，从而精确计算函数最值。

3.结语

综上所述，高中数学函数中求最值是最常见的数学问题，对于这一问题的学习，我们要掌握多种求解方法，根据函数特征灵活运用，同时要注意函数定义域和值域的范围，采用数形结合、分类讨论、区间划分及函数单调性等方法来计算函数最值，提高最值问题的解题准确性，避免由于疏忽而导致解题错误。高中生在函数最值求解学习中，要对最值求解问题进行系统练习，在习题练习中总结求解方法，攻克最值求解的学习难关。

※不等式性质及证明※1．不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法 ； ； 。定理1：若 ，则 ；若 ，则 ．即 。说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。定理2：若 ，且 ，则 。说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。定理3：若 ，则 。说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立； （4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。定理3推论：若 。说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式 定理4．如果 且 ，那么 ；如果 且 ，那么 。推论1：如果 且 ，那么 。说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论 可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。推论2：如果 ， 那么 。定理5：如果 ，那么 。2．基本不等式定理1：如果 ，那么 （当且仅当 时取“ ”）。说明：（1）指出定理适用范围： ；（2）强调取“ ”的条件 。定理2：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）说明：（1）这个定理适用的范围： ；（2）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3．常用的证明不等式的方法（1）比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。（2）综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是： ，及从已知条件 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 。（3）分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程 ※不等式解法及应用※ 1．不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。（1）同解不等式（(1) 与 同解；（2） 与 同解， 与 同解；（3） 与 同解）；2．一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。 情况分别解之。3．一元二次不等式 或 分 及 情况分别解之，还要注意 的三种情况，即 或 或 ，最好联系二次函数的图象 4．分式不等式分式不等式的等价变形： >0 f(x)•g(x)>0， ≥0 。5．简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法：①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)，|x|>a x2>a2 x>a或x<－a(a>0)。一般地有：|f(x)|g(x) f(x)>g (x)或f(x)

（一）考点剖析1．不等关系与不等式：高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。2．一元二次不等式及其解法：高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度不大。 若以解答题出现，一般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范围，难度以中档题为主。3．简单的线性规划：线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的能力。4．基本不等关系：高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题，一般难度不太大。5．不等式的综合应用：不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。6．不等式的证明：不等式的证明多以交汇出现，以解答题的形式出现，属中等偏难的试题。 （二）命题规律 在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了分析问题、解决问题的能力。 解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性。 由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式。 如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。 有时属高难度的题。三）复习建议1．不等式的证明题题型多变，证明思路多样，技巧性较强，加之又没有一劳永逸、放之四海而皆准的程序可循，所以不等式的证明是本章的难点。 攻克难点的关键是熟练掌握不等式的性质和基本不等式，并深刻理解和领会不等式证明中的数学转化思想。 在复习中应掌握证明不等式的常用思想方法：比较法；综合法；分析法；放缩法；反证法；函数法；换元法；导数法。2．在复习解不等式过程中，注意培养、强化与提高函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想和方法，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力。 能根椐各类不等式的特点，变形的特殊性，归纳出各类不等式的解法和思路以及具体解法。3．熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式（如一元二次不等式）的解法，不等式在实际问题中的应用，不等式的常用证明方法。