导数的几何意义论文英文文献

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微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。 它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。微积分的基本内容 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 微积分是与科学应用联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。一元微分 定义： 设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。 通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义 设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。[编辑本段]多元微分 同理，当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。 一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。 其中：[F(x) + C]' = f(x) 一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。 一阶微分与高阶微分 函数一阶导数对应的微分称为一阶微分; 一阶微分的微分称为二阶微分; ....... n阶微分的微分称为(n+1)阶微分 即:d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数,d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方) 一起来学微积分 国内最早探讨微积分知识的网站，也是人气最旺的微积分fans的交流网站。参考资料：

该书分上下两册。上册主要内容为：第二版前言第一版前言绪论第一章 函数、极限、连续第一节 集合、映射与函数 集合及其运算 实数集的完备性与确界存在定理 映射与函数的概念 复合映射与复合函数 逆映射与反函数 初等函数与双曲函数习题第二节 数列的极限 数列极限的概念 收敛数列的性质 数列收敛性的判别准则习题第三节 函数的极限 函数极限的概念 函数极限的性质 两个重要极限 函数极限的存在准则习题第四节 无穷小量与无穷大量 无穷小量及其阶 无穷小的等价代换 无穷大量习题第五节 连续函数 函数的连续性概念与间断点的分类 连续函数的运算性质与初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性 压缩映射原理与迭代法习题综合练习题第二章 一元函数微分学及其应用第一节 导数的概念 导数的定义 导数的几何意义 可导与连续的关系 导数在科学技术中的含义——变化率习题第二节 求导的基本法则 函数和、差、积、商的求导法则 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 初等函数的求导问题 高阶导数 隐函数求导法 由参数方程确定的函数的求导法则 相关变化率问题习题第三节 微分 微分的概念 微分的运算法则 高阶微分 微分在近似计算中的应用习题第四节 微分中值定理及其应用 函数的极值及其必要条件 微分中值定理 L‘Hospital法则习题第五节 Taylor定理及其应用 Taylor定理 几个初等函数的：Maclaurin公式 Taylor公式的应用习题第六节 函数性态的研究 函数的单调性 函数的极值 函数的最大（小）值 函数的凸性习题综合练习题第三章 一元函数积分学及其应用第一节 定积分的概念、存在条件与性质 定积分问题举例 定积分的定义 定积分的存在条件 定积分的性质习题第二节 微积分基本公式与基本定理 微积分基本公式 微积分基本定理 不定积分习题第三节 两种基本积分法 换元积分法 分部积分法 初等函数的积分问题习题第四节 定积分的应用 建立积分表达式的微元法 定积分在几何中的应用举例 定积分在物理中的应用举例习题第五节 反常积分 无穷区间上的积分 无界函数的积分 无穷区间上积分的审敛准则 无界函数积分的审敛准则 r函数习题第六节 几类简单的微分方程 几个基本概念 可分离变量的一阶微分方程 一阶线性微分方程 可用变量代换法求解的一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 微分方程应用举例习题综合练习题第四章 无穷级数第一节 常数项级数 常数项级数的概念、性质与收敛原理 正项级数的审敛准则 变号级数的审敛准则习题第二节 函数项级数 函数项级数的处处收敛性 函数项级数的一致收敛性概念与判别方法 一致收敛级数的性质习题第三节 幂级数 幂级数及其收敛半径 幂级数的运算性质 函数展开成幂级数 幂级数的应用举例习题第四节 Fourier级数 周期函数与三角级数 三角函数系的正交性与Fourier级数 周期函数的Fourier展开 定义在[o，l]上函数的Fourier展开 Fourier级数的复数形式习题综合练习题习题答案与提示参考文献下册主要内容：第五章 多元函数微分学及其应用第一节 n维Euclid空间Rn中点集的初步知识 n维Euclid空间 Rn中点列的极限 Rn中的开集与闭集 Rn中的紧集与区域习题第二节 多元函数的极限与连续性 多元函数的概念 多元函数的极限与连续性 多元连续函数的性质习题第三节 多元数量值函数的导数与微分 方向导数与偏导数 全微分 梯度及其与方向导数的关系 高阶偏导数和高阶全微分 多元复合函数的偏导数和全微分 由一个方程确定的隐函数的微分法习题第四节 多元函数的Taylor公式与极值问题 多元函数的Taylor公式 无约束极值、最大值与最小值 有约束极值，Lagrange乘数法习题第五节 多元向量值函数的导数与微分 一元向量值函数的导数与微分 二元向量值函数的导数与微分 微分运算法则 由方程组所确定的隐函数的微分法习题第六节 多元函数微分学在几何上的简单应用 空间曲线的切线与法平面 弧长 曲面的切平面与法线习题第七节 空间曲线的曲率与挠率 Frenet标架 曲率 挠率 Frenet公式习题综合练习题第六章 多元函数积分学及其应用第一节 多元数量值函数积分的概念与性质 物体质量的计算 多元数量值函数积分的概念 积分存在的条件和性质习题第二节 二重积分的计算 二重积分的几何意义 直角坐标系下二重积分的计算法 极坐标系下二重积分的计算法 曲线坐标下二重积分的计算法习题第三节 三重积分的计算 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分 柱面与球面坐标下三重积分的计算法习题第四节 重积分的应用 重积分的微元法 应用举例习题第五节 含参变量的积分与反常重积分 含参变量的积分 含参变量的反常积分 反常重积分习题第六节 第一型线积分与面积分 第一型线积分 第一型面积分习题第七节 第二型线积分与面积分 场的概念 第二型线积分 第二型面积分习题第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用 Green公式 平面线积分与路径无关的条件 Stokes公式与旋度 Gauss公式与散度 几种重要的特殊向量场习题综合练习题第七章 常微分方程第一节 常微分方程的基本知识 微分方程与微分方程组 微分方程组及其解的几何解释习题第二节 线性微分方程组 齐次线性微分方程组 非齐次线性微分方程组习题第三节 常系数线性微分方程组 常系数齐次线性微分方程组的求解 常系数非齐次线性微分方程组的求解习题第四节 高阶线性微分方程 高阶线性微分方程解的结构 高阶常系数线性微分方程的求解 高阶变系数线性微分方程的求解问题习题第五节 微分方程的定性分析方法初步 自治系统与非自治系统 稳定性的基本概念 线性自治系统平衡位置稳定性的判别法 非线性自治系统平衡位置稳定性的判别法 应用举例习题综合练习题第八章 无限维分析入门第一节 从有限维空间到无限维空间 多维空间概念的现实基础 为什么要研究无限维空间 数学中空间概念的含义第二节 赋范线性空间与压缩映射原理 内积空间 赋范线性空间 赋范线性空间的收敛性与点集性质 空间的完备性 压缩映射原理及其应用习题第三节 Lebesgue积分与Lp([a，6]）空间 从R积分到L积分 点集的Lebesgue测度与可测函数 Lebesgue积分 Lp([a，6]）空间习题第四节 Hilbert空间与最佳逼近问题 正交投影与正交分解 最佳逼近问题 Hilbert空间的正交系与FOUrier展开 L2([-π，-π]）空间的Fourier展开与最佳均方逼近习题习题答案与提示参考文献

毕竟要考高一知识，导数本不做深入要求，你会但有可能不算正确，建议你还是不要用。至于导数、积分用处还是挺广的，积分在物理上用处比较广，以后你会接触到；至于导数，求函数极值用导数比较方便，另外求导可用来求某点切线斜率（一次导数等于0时代入改点值）。