初等数论论文

其实。初等数论最重要的思想就是，要教你怎样去证明最简单的理论及问题。。

主要从事本科生的《数学分析》、《复变函数》、《组合数学》、《初等数论》、和《数学建模》等基础课、学位课、选修课的教学和毕业论文指导，以及研究生的《初等数论》、《解析数论》、《代数数论》、《组合数学》等专业基础课、学位课的教学工作。指导大学生参加全国大学生数学建模竞赛获陕西赛区二等奖1项、三等奖2项。科研方面，主要从事数论中函数均值分布问题的研究工作。先后在《数学研究与评论》、《数学季刊》(英文版)、《数学杂志》等核心期刊和重要期刊发表研究论文50多篇。主持省教育厅专项科研基金资助科研课题2项,参与完成1项，其中一项获教育厅科学技术三等奖。1999年获首届延安青年科技奖。

我对哥德巴赫猜想的证明思路 西北工业大学信息智能与逻辑研究所 沈卫国 笔者在“国家科技图书文献中心预印本”发表了“强哥德巴赫猜想的证明”一文。不但证明了该猜想，而且得到了更强的结果。因而谓之“强哥德巴赫猜想”。有兴趣的数学爱好者可去该中心下载。由于该证明文章必须顾及数学证明的“严格性”，因此有面面俱到的缺点，反使解决该问题的重点思路不突出了。此文试图用极其通俗易懂的语言，解释笔者的证明思路而不涉及具体的证明过程。也就是，使此证明所反映的整数间的客观规律突出出来，大家一看就懂。然后就可以品评一番了。以下分步骤详述之。1、 任何偶数N，满足两个奇数相加等于它的奇数对共有N/4个（取整）。而且这两个奇数分别小于、大于该偶数除以2的“中间数”，也就是在该“中间数”的两边。这都是显然的。比如偶数20，其中间数是10，满足两个奇数相加等于它的奇数对分别是：9、11；7、13；5、15；3、17；1、19。其中1、19没有意义，可以舍去。在所取偶数很大时，误差是很小的。2、 在我们对任何偶数N，在其中点N/2两边等距地取奇数以构成其和等于N的奇数对时，是存在周期性的规律的：对任何小于根号下N（也就是N的1/2次方）的素数S（注意，这里不是“奇数”）而言，在上述奇数对中，如果两个奇数中都含有S因子（也就是能被S整除），则这样的奇数对占全部奇数对总数（N/4）的1/S；而如果是该奇数对的两个奇数中只有一个奇数含有S因子，则这样的奇数对占全部奇数对总数（N/4）的2/S。读者可自行验证上述规律。注意，上面的第一种情况（也就是占1/S的情况），是该偶数N的中点N/2中含有素数S因子时的情况。而第二种情况（也就是占2/S的情况），是中点数不含该素数S因子的情况。比如，如果所论偶数N为42，则其中点数是21，为素数3的合数，也就是含有素数3因子（能被3整除），于是，在满足要求的奇数对19、23；17、25；15、27；13、29；11、31；9、33；7、35；5、37；3、39中（1、41无意义，舍弃），含有3因子的奇数对是15、27；9、33；3、39，正好3对，正好占全部奇数对总数9个的1/3（这里S为3）。而对于素数5，则中点数21中不含5因子，所以，可以看出，含5因子的奇数不会同时出现在上述奇数对的两个奇数中，比如17、25；15、27；7、35；5、37，是分别出现的。而且其数目基本占全部奇数对总数N/4（这里也就是42/4=10（取整））的2/5，也就是4个。其它情况，读者可自行多举几个例子验证之。所取偶数越大，误差越小，因为不整除而有余数并被舍弃所产生的误差将随所论的偶数N的增大而变得微不足道。这里揭示的规律本不足为奇，因为对素数S而言，每隔S的倍数，就有一个含有S为因子的整数。每隔2S，就有含有S为因子的奇数（当然，或偶数）。因此，对奇数对而言的规律，不过是这一整数规律的“次规律”而已。3、 既然我们知道了含素数S因子的奇数对相对奇数对总数的比例（所占比例），那么，我们用1来减，就可得到不含素数S因子的奇数对相对奇数对总数的比例了。也就是（1-1/S），或（1-2/S）。比如，对素数3而言，在所论偶数N中，不含素数3因子的奇数对数为：奇数对总数乘以（1-1/3），也就是乘以2/3；或者是奇数对总数乘以（1-2/3），也就是乘以1/3。而所谓“奇数对总数”，前面已经指出了，很显然，就是N/4。换言之，就是（N/4）*（2/3），或（N/4）*（1/3）。“*”在此处作为乘号。两种情况何时适用，前面已经所论甚详了。对素数5、7等等，道理一样，不过把上面的素数3换成5、7等等就可以了。4、 可以证明，当然也可以实际去验证，上面揭示的关于在奇数对中含或不含素数S因子的规律，即相对奇数对总数的比例的规律，不但对奇数对总数有效，对在所有在奇数对总数中删去了所有或任何含有或不含小于素数S的素数因子的奇数对总数，仍然有效。比如相对于素数7，对前面所述的一种情况而言，不含素数7的奇数对数为（N/4）*（1-2/7），当然，这是相对奇数对总数（N/4）的。而对于在奇数对总数中已经删去了含有素数3因子的奇数对数而言，也就是相对（N/4）*（1-2/3）而言，该规律仍然成立。换言之，在奇数对总数中，既不含3因子，也不含7因子的奇数对数为（N／4）*（1－2／3）*（1－2／7）。这个规律是很重要的，但很好证明。此处从略了。5、 对任何已经选定的偶数N，如果逐次（从小到大）删去含有素数3、5、7，．．．．．．．．的素数对，那么，删到什么时候为止呢？由于我们是从小到大去删的，于是，当删到一个素数K，其自乘（也就是平方）数大于所选定的偶数N时，就不必再删了，因为所有包含有小于素数K的素数因子的奇数对都已经被删除了，而只包含大于等于素数K因子的合数，都已经大于所选偶数N了（包括其自乘数K*K，即K的平方，此数为最小的，但也已经大于N了），所以不必考虑了。6、 有了以上的准备，现在我们要问：在所选偶数N中，删去所有包含合数的奇数对后，还剩下什么？能否肯定还有奇数对——而此时已肯定成为了单纯的素数对了——存在？只要能证明有一对这样的素数对存在，哥德巴赫猜想就告证明。根据以上讨论，我们可以确定，对所选任一偶数N而言，删去其所有奇合数对的后的奇数对（也就是奇素数对）数显然为：（N／4）*（1－2／3）*（1－2／5）*（1－2／7）*（1－2／11）*．．．．．．．．．．*（1－2／根号下N）注意上式中没有（1－2／9），因为9不是素数。其它不是素数的情况也一样，不出现在上面的公式中。这里，我们在上式中加上（1－2／9）这类的因子，由于这是一个分母大于分子的分数，乘上这么个因子，只能使整个式子变小，于是，上面的式子就大于下面的式子：（N／4）*（1－2／3）*（1－2／5）*（1－2／7）*（1－2／9）*（1－2／11）*．．．．．．．．*（1－2／根号下N）也就是（N／4）*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(7/9)*(9/11)*…..............*［(根号下N)－2）］／（根号下N）可以看出，分子、分母相消后上式等于（N／4）*（1／根号下N），分子、分母都乘以“根号下N”，就得到最简单的：（根号下N）/ 4。也就是说，对所有偶数N而言，其包含的素数对数必然要＞（根号下N）／4。当N大于16后，此式当然＞1。也就是哥德巴赫猜想得证。同时，我们的结果还给出了一个满足哥德巴赫猜想的素数对的下限，它与“根号下N”成正比，随N的无限增大，它也无限增大，因此是远远大于哥德巴赫猜想所仅仅要求的1的。因此，我将此结果称为“强哥德巴赫猜想”。注意，上面的讨论都是针对“最不利”情况的，也就是“中点数”不含所删素数的因子的情况。此时所要删除的奇数对最多，换言之，剩下的素数对最少。因此，在这个情况下如果结论成立，其它情况就更成立了。因此不必再讨论了。我坚信，一个如此简单的命题所描述的关于数的断语，如果它是真理，则必有简单的关于数的规律可循。因此，所谓“初等数论”是唯一的出路。用直接涉及无穷、极限的解析方法来讨论此问题，已经被证明很难有作为。于此，我还要特别强调，在我之前已有胡桢（已故）、唐国胜二先生先后得到同样的结果（指“＞根号下N／4”）。他们的证明是否严格是另一个问题（起码与笔者的切入点及思路不尽相同），但发现的关于数的规律，是相同的（客观规律只有一个）。二位特别是已故的胡桢先生在此问题上的成就，是不应该、也终究不会被忽视的。另一方面，三个作者就同样的问题分别独立地得到同样的结果，此结果为错误的概率是不是就很小了？因为真理也就是正确的结论只有一个，而错误的途径可以是极多的。在平坦的马路上的同一个地点不断有人摔倒的可能性是很低的。不是吗？鉴于这个证明过程的极其简单性、明确性，笔者愿在此提出一个所谓的“反哥德巴赫猜想”，也就是笔者的证明过程，究竟在哪一步是错误的？如果提不出来，不是反倒证明了笔者证明的正确性吗？严格、完整的证明，请参看笔者在“国家科技图书文献中心预印本”中的论文（强哥德巴赫猜想的证明）。