一次函数与反比例函数论文研究

数学论文反比例函数基础知识的应用2009-09-16 17:26:25 来源：网络 一、反比例函数的基础知识1．一般地，形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,k是比例系数.2.函数的解析式的特征:①等号左边是函数y,等号右边是一个分式,分子是常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1.②自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.③比例系数“k≠0”是反比例函数定义的一个重要组成部分.④函数y的取值范围也是一切非0的实数.3.反比例函数的几种等价形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0)4.用待定系数法，求反比例函数的解析式：反比例函数 （且k为常数）中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值就可求出k的值，从而确定其解析式.5.反比例函数y=( k为常数,k≠0)图象是双曲线.(既是轴对称图形,又是中心对称图形)6.反比例函数图象的性质：当k>0时,双曲线位于第一,三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,因而y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线位于第二,四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,因而y随x的增大而增大.双曲线与x轴,y轴都没有交点,而是越来越接近x轴,y轴.7.比例系数k的几何意义:反比例函数中比例系数k的几何意义,如果过双曲线上任意一点引x轴,y轴垂线,与两坐标轴围成的矩形面积为|k|.二、反比例函数基础知识的应用例1． 已知 是反比例函数（1） 求它的解析式.（2） 求自变量 的取值范围，在每个象限内， 随 的增大而怎样变化？（3） 它的图象位于哪个象限？分析： （k≠0）叫反比例函数，也可以写成 ，因此，它的特点是（1）k≠0，（2）x的指数为-1.解：（1）由题意得 ， ，解析式为（2）自变量 的取值范围是 .（3）由于 ，它的图象位于二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大.OAOOBOOCOODO例2、在同一坐标系中，函数 和 的图像大致是 （ ）分析：本题是考查含有字母系数的几个函数在同一坐标系中的图象，分 和 两种情况进行讨论，选A.例3、如右图，在 的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、OC，记△ABO、△CDO的面积为 ，则 与 的大小关系是( )A. B. C. D.不确定分析：由基础知识7知 ，故选C.例4．已知反比例函数 的图像上有两点A( ， )，B( ， )， 且 ，则 的值是（ ）A、正数 B、负数 C、非正数 D、不能确定分析：由 可分为 ，易得 ，故选D.特别要注意反比例函数的增减性是对每一支曲线而言.例5．如图是三个反比例函数 ， ， 在x轴上方的图象，由此观察得到 、 、 的大小关系为（ ）A、 B、C、 D、分析：根据图象所在的象限，知 ，取 得 ，即 ，故选B.例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC边上与B点不重合的任意点，PA=x，D点到PA的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像以及自变量x的取值范围.DBAECP解：如图，由题意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2，∴⊿DEA∽⊿ABP，∴即(2) ∵P在BC上,与B不重合,可以与C重合, .(3)由于函数自变量的取值范围是30),当 x>a 或 x ,由于反比例函数 y= 当 k>0 时,y 随 x 的增大而减小. a b x 2 例如:函数 y= ,当 x>-1 时,y 的取值范围就是 y<-2;当 x<2 时 y 的取值范围就是 y> x 1,反比例函数 y= 1. k ( k<0),当 x>a 或 x 或 y< ,由于反比例函数 y= 当 k<0 时,y 随 x 的减小而增大.例如: a b x 2 函数 y= ,当 x>-1 时,y 的取值范围就是 y>2;当 x<2 时 y 的取值范围就是 y<-1. x k 3,反比例函数 y= (k ≠ 0) ,当 a ,则 y 的取值范围就是 . a b a b 2 ,当-21. 已知反比例函数图像上的若干个点,知道横坐标的大小关系, 二,已知反比例函数图像上的若干个点,知道横坐标的大小关系,让我们来判断纵坐标的 大小关系; 大小关系; 对于这种问题, 如果能正确的画出反比例函数的图像, 并会熟练的分析反比例函数的图 像,那么这类问题也很容易解决,但面对一些实际情况,我们只能寻找一些学生更容易例接 受的方式,下面我就对这些问题稍作分析: 1,反比例函数 y= k ( k>0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x 像上,已知 X10 时,y 随着 x 的增大而减小) ,很容易得 到 Y1>Y2>Y3>……>Yn.例如:已知函数 y= 像上,求 Y1,Y2,Y3 的大小关系.由于 2,反比例函数 y= 2 1 ,点 A(1,Y1),B( ,Y2),C(2, Y3)在函数的图 x 2 1 <1<2,按照上面方法很容易得到 Y2>Y1>Y3. 2 k ( k<0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x 像上,已知 X10),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x 像上,已知 X10 时,它的图像在一, x 三象限,并且在函数图象的每一支上,y 随着 x 的增大而减小.但不论怎样,第一象限内图 像的每一个点对应的 y 值都比第三象限内图像的每一点对应的 y 值要大.因此我们恒有 Ak+1……An 这些点所对应的 y 值要比 A1……Ak 点对应的 y 值要大.Y1,Y2……Yk 的大小顺寻很 容易判断是:Y1>Y2>……>Yk;Yk+1, Yk+2 ……Yn 的大小顺序是:Yk+1> Yk+2 >……>Yn.综 上我们得到 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系是:Yk+1> Yk+2 >……>Yn>Y1>Y2>……>Yk;如果 不考虑这么多,用一句简单化来概括的话就是:反比例函数 y= 反比例函数 k ,k>0 时,图像上任意 x 2 ,点 x 的点, 值要大, 的点,横坐标为正的点对应的 y 值比横坐标为负的点对应的 y 值要大,若横坐标的符号相 同 时 我 们 就 按 照 反 比 例 函 数 的 性 质 进 行 比 较 即 可 . 例 如 : 已 知 函 数 y= A(-1,Y1),B(- 1 ,Y2),C(2, Y3),D()在函数的图像上,求 Y1,Y2,Y3,Y4 的大小关系. 2 解析:k=2 是大于零的,A,B,C,D 四点的横坐标有正有负,横坐标为正的点对应的 y 值比横 坐标为负的点对应的 y 值要大,因此肯定有 Y3,Y4 要大于 Y1,Y2,当 k>0 时在反比例函数 图像的每一支上,y 随着 x 的增大而减小,因此有 Y4 0 x 时,它的图像在二,四象限,并且在函数图象的每一支上,y 随着 x 的增大而增大.但不论 怎样, 第二象限内图像的每一个点对应的 y 值都比第四象限内图像的每一点对应的 y 值要大. 因此我们恒有 A1……Ak 这些点所对应的 y 值要比 Ak+1……An 点对应的 y 值要大.Y1,Y2……Yk 的大小顺寻很容易判断是:Y1

不是比如，k=2,m=0时就有：（1，2），（-1，-2）两个交点一般的，一次函数和反比例函数总有两个交点画图可以验证或者联立方程得到关于x二次方程,有两个根

例1. （1）y与x成正比例函数，当 时，y=5.求这个正比例函数的解析式. （2）已知一次函数的图象经过A（－1，2）和B（3，－5）两点，求此一次函数的解析式. 解：（1）设所求正比例函数的解析式为 把 ，y=5代入上式 得 ，解之，得 ∴所求正比例函数的解析式为 （2）设所求一次函数的解析式为 ∵此图象经过A（－1，2）、B（3，－5）两点，此两点的坐标必满足 ，将 、y=2和x=3、 分别代入上式，得 解得 ∴此一次函数的解析式为 点评：（1） 不能化成带分数.（2）所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程. 例2. 拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并且画出图象. 分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量. 解： 图象如下图所示 点评：注意函数自变量的取值范围.该图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线. 例3. 已知一次函数的图象经过点P（－2，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式. 分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法. 解：设所求一次函数解析式为 ∵点P的坐标为（－2，0） ∴|OP|=2 设函数图象与y轴交于点B（0，m） 根据题意，SΔPOB=3 ∴ ∴|m|=3 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于B1（0，3）或B2（0，－3） 将P（－2，0）及B1（0，3）或P（－2，0）及B2（0，－3）的坐标代入y=kx+b中，得 解得 ∴所求一次函数的解析式为 点评：（1）本题用到分类讨论的数学思想方法.涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作.可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直线.（2）涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值.【综合测试】一、选择题： 1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ） 3. （北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. （陕西省课改实验区）直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 5. （海南省）一次函数 的大致图象是（ ）二、填空题： 1. 若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为_____________. 2. （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_____________.三、 一次函数的图象与y轴的交点为（0，－3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式.四、（芜湖市课改实验区）某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率η和海拔高度h（ ，单位km）的函数关系式如图所示. （1）请你根据图象写出机车的机械效率η和海拔高度h（km）的函数关系； （2）求在海拔3km的高度运行时，该机车的机械效率为多少？五、（浙江省丽水市） 如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD为米，双方场地的长OA=OB=（米）.羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为米，刚好落在对方场地点B处. （1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式； （2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米？（结果精确到米）【综合测试答案】一、选择题： 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B二、填空题： 1. 2. 三、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是－3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定. 解：设一次函数的解析式为 ， ∵函数图象和y轴的交点的纵坐标是－3， ∴ ∴函数的解析式为 . 求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组： 得 即交点坐标为（ ，0） 由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得 ∴ ∴ ∴这个一次函数的解析式为 四、解：（1）由图象可知， 与h的函数关系为一次函数 设 ∵此函数图象经过（0，40%），（5，20%）两点 ∴ 解得 ∴ （2）当h=3km时， ∴当机车运行在海拔高度为3km的时候，该机车的机械效率为28%五、解：（1）依题意，设直线BF为y=kx+b ∵OD=，DE=∴ 即点E的坐标为（0，）又∵OA=OB=∴点B的坐标为（－，0）由于直线经过点E（0，）和点B（－，0），得 解得 ，即 （2）设点F的坐标为（5， ），则当x=5时， 则FC=∴在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是米