应用随机过程的论文主题有哪些

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，反对法随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。设为一概率空间，另设集合T为一指标集合。如果对于所有，均有一随机变量定义于概率空间，则集合为一随机过程。通常，指标集合T代表时间，以实数或整数表示。以实数形式表示时，随机过程称为连续随机过程；以整数表示时，则为离散随机过程。随机过程中的参数只为分辨同类随机过程中的不同实例，如上文下理不构成误会，通常略去。例如表达单次元布朗运动时，常以表达，但若考虑两同时进行布朗运动的粒子，则会分别以和（或作和）表示。历史为了了解金融市场和研究布朗运动，在19世纪后期人们开始研究随机过程。第一个用数学语言描述布朗运动的是数学家Thorvald N. Thiele。 他在1880年发表了第一篇关于布朗运动的文章。随后，在1900年， Louis Bachelier的博士论文“投机理论” 提出了股票和期权市场的随机分析。阿尔伯特·爱因斯坦（在他1905年的一篇论文中）和玛丽安·一维Smoluchowski（1906年）从物理界的角度出发，把它作为了一种间接证明了原子和分子的存在。他们所描述的布朗运动方程在1908年被让·佩兰核实。从爱因斯坦的文章的摘录描述了随机模型的基本原理："它必须明确假定每个单个颗粒执行的运动是独立于所有其他的粒子的运动;它也将被认为是1的动作和相同的颗粒在不同的时间间隔是独立的过程，只要这些的时间间隔不是非常小""我们引入一时间间隔蛋白考虑，相对来说这是非常小的，但是我们可观察到的时间间隔，仍然过大，在两个连续时间间隔蛋白，由粒子所执行的动作可以被认为是作为彼此独立的事件"。

摘 要 研究了沪深300指数日收益率时间序列，经检验其具有马氏性，并建立了马尔可夫链模型。取交易日分时数据，根据分时数据确定状态初始概率分布，通过一步转移概率矩阵对下一交易日的日收益率进行了预测。对该模型分析和计算，得出其为有限状态的不可约、非周期马尔可夫链，求解其平稳分布，从而得到沪深300指数日收益率概率分布。并预测了沪深300指数上涨或下跌的概率，可为投资管理提供参考。 关键词 马尔可夫链模型 沪深300指数 日收益率概率分布 平稳分布 1 引言 沪深300指数于2005年4月正式发布，其成份股为市场中市场代表性好，流动性高，交易活跃的主流投资股票，能够反映市场主流投资的收益情况。众多证券投资基金以沪深300指数为业绩基准，因此对沪深300指数收益情况研究显得尤为重要，可为投资管理提供参考。 取沪深300指数交易日收盘价计算日收益率，可按区间将日收益率分为不同的状态，则日收益率时间序列可视为状态的变化序列，从而可以尝试采用马尔可夫链模型进行处理。马尔可夫链模型在证券市场的应用已取得了不少成果。参考文献[1]、[2]、[3]和[4]的研究比较类似，均以上证综合指数的日收盘价为对象，按涨、平和跌划分状态，取得了一定的成果。但只取了40～45个交易日的数据进行分析，历史数据过少且状态划分较为粗糙。参考文献[5]和[6]以上证综合指数周价格为对象，考察指数在的所定义区间（状态）的概率，然其状态偏少（分别只有6个和5个状态），区间跨度较大，所得结果实际参考价值有限。参考文献[7]对单只股票按股票价格划分状态，也取得了一定成果。 然而收益率是证券市场研究得更多的对象。本文以沪深300指数日收益率为对考察对象进行深入研究，采用作为计算工具，对较多状态和历史数据进行了处理，得出了沪深300指数日收益率概率分布，并对日收益率的变化进行了预测。 2 马尔可夫链模型方法 马尔可夫链的定义 设有随机过程{Xt，t∈T}，T是离散的时间集合，即T={0，1，2，L}，其相应Xt可能取值的全体组成状态空间是离散的状态集I={i0，i1，i2，L}，若对于任意的整数t∈T和任意的i0，i1，L，it+1∈I，条件概率则称{Xt，t∈T}为马尔可夫链，简称马氏链。马尔可夫链的马氏性的数学表达式如下： P{Xn+1=in+1|X0=i0，X1=i1，L，Xn=in}=P{Xn+1=in+1|Xn=in} （1） 系统状态概率矩阵估计 马尔可夫链模型方法的基本内容之一是系统状态的转移概率矩阵估算。估算系统状态的概率转移矩阵一般有主观概率法和统计估算法两种方法。主观概率法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用。本文采用统计估算法，其主要过程如下：假定系统有m种状态S1，S2，L，Sm根据系统的状态转移的历史记录，可得到表1的统计表格。其中nij表示在考察的历史数据范围内系统由状态i一步转移到状态j的次数，以■ij表示系统由状态i一步转移到状态的转移概率估计量，则由表1的历史统计数据得到■ij的估计值和状态的转移概率矩阵P如下： ■ij=nij■nik，P=p11 K p1mM O Mpm1 L pmn（2） 马氏性检验 随机过程{Xt，t∈T}是否为马尔可夫链关键是检验其马氏性，可采用χ2统计量来检验。其步骤如下：（nij）m×m的第j列之和除以各行各列的总和所得到的值记为■.j，即： ■.j=■nij■■nik，且■ij=nij■nik（3） 当m较大时，统计量服从自由度为（m-1）2的χ2分布。选定置信度α，查表得χ2α（（m-1）2），如果■2>χ2α（（m-1）2），则可认为{Xt，t∈T}符合马氏性，否则认为不是马尔可夫链。 ■2=2■■nijlog■ij■.j（4） 马尔可夫链性质 定义了状态空间和状态的转移概率矩阵P，也就构建了马尔可夫链模型。记Pt（0）为初始概率向量，PT（n）为马尔可夫链时刻的绝对概率向量，P（n）为马尔可夫链的n步转移概率矩阵，则有如下定理： P（n）=PnPT（n）=PT（0）P（n）（5） 可对马尔可夫链的状态进行分类和状态空间分解，从而考察该马尔可夫链模型的不可约闭集、周期性和遍历性。马尔可夫链的平稳分布有定理不可约、非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布；有限状态的不可约、非周期马尔可夫链必定存在平稳过程。 3 马尔可夫链模型方法应用 观测值的描述和状态划分 取沪深300指数从2005年1月4日~2007年4月20日共555个交易日收盘价计算日收益率（未考虑分红），将日收益率乘以100并记为Ri，仍称为日收益率。计算公式为： Ri=（Pi-Pi-1）×100/Pi-1（6） 其中，Pi为日收盘价。 沪深300指数运行比较平稳，在考察的历史数据范围内日收益率有％在[，]。可将此范围按的间距分为18个区间，将小于和大于各记1区间，共得到20个区间。根据日收益率所在区间划分为各个状态空间，即可得20个状态（见表2）。 马氏性检验 采用χ2统计量检验随机过程{Xt，t∈T}是否具有马氏性。用前述统计估算法得到频率矩阵（nij）20×20。 由（3）式和（4）式可得：■.j=■nij■■nik，且■ij=nij■nik，■2=2■■nijlog■ij■.j=，令自由度为k=（m-1）2即k=361，取置信度α=。由于k>45，χ2α（k）不能直接查表获得，当k充分大时，有： χ2α（k）≈■（zα+■）2（7） 其中，zα是标准正态分布的上α分位点。查表得，故可由（1）、（7）式得，即统计量，随机过程{Xt，t∈T}符合马氏性，所得模型是马尔可夫链模型。 计算转移概率矩阵及状态一步转移 由频率矩阵（nij）20×20和（1）、（2）式得转移概率矩阵为P=（Pij）20×20。考察2007年4月20日分时交易数据（9：30~15：30共241个数据），按前述状态划分方法将分时交易数据收益率归于各状态，并记Ci为属于状态i的个数，初始概率向量PT（0）=（p1，p2，L，pt，L，p20），则： pj=Cj/241，j=1，2，K，20（8） 下一交易日日收益率分布概率PT（0）={p1（1），p2（1），L，pi（1），L，p20（1）}，且有PT（1）-PT（0）p，计算结果如表3所示。 马尔可夫链遍历性和平稳分布 可以分析该马尔可夫链的不可约集和周期性，从而进一步考察其平稳分布，然而其分析和求解非常复杂。本文使用采用如下算法进行求解：将一步转移概率矩阵P做乘幂运算，当时Pn+1=Pn停止，若n>5 000亦停止运算，返回Pn和n。计算发现当n=48时达到稳定，即有P（∞）=P（48）=P48。考察矩阵P（48）易知：各行数据都相等，不存在数值为0的行和列，且任意一行的行和为1。故该马尔可夫链{Xt，t∈T}只有一个不可约集，具有遍历性，且存在平稳分布{πj，j∈I}，平稳分布为P（48）任意一行。从以上计算和分析亦可知该马尔可夫链是不可约、非周期的马尔可夫链，存在平稳分布。计算所得平稳分布如表4所示。 计算结果分析 表3、表4给出了由当日收益率统计出的初始概率向量PT（0），状态一步预测所得绝对概率向量PT（1）和日收益率平稳分布，由表3和表4综合可得图1。可以看出，虽然当日（2007年4月20日）收益率在区间（，）波动且在（，）内的概率达到了，表明在2007年4月20日，日收益率较高（实际收盘时，日收益率为），但其下一交易日和从长远来看其日收益率概率分布依然可能在每个区间。这是显然的，因为日收益率是随机波动的。 对下一交易日收益率预测（PT（1）），发现在下一交易日收益率小于0的概率为，大于0的概率为，即下一交易日收益率大于0的概率相对较高，其中在区间（-2，）、（，1）和（1，）概率、和依次排前三位，也说明下一交易日收益率在（-2，）的概率会比较高，有一定的风险。 从日收益率长远情况（平稳分布）来看，其分布类似正态分布但有正的偏度，说明其极具投资潜力。日收益率小于0的概率为，大于0的概率为，即日收益率大于0的概率相当的高于其小于0的概率。 4 结语 采用马尔可夫链模型方法可以依据某一交易日收益率情况向对下一交易日进行预测，也可得到从长远来看其日收益率的概率分布，定量描述了日收益率。通过对沪深300指数日收益率分析和计算，求得沪深300指数日收益率的概率分布，发现沪深300指数日收益率大于0的概率相对较大（从长远看，达到了，若考虑分红此概率还会变大），长期看来沪深300指数表现乐观。若以沪深300指数构建指数基金再加以调整，可望获得较好的回报。 笔者亦采用范围（-5，5）、状态区间间距为1和范围（-6，6）、状态区间间距为2进行运算，其所得结果类似。当采用更大的范围（如-10，10等）和不同的区间大小进行运算，计算发现若状态划分过多，所得模型不易通过马氏性检验，如何更合理的划分状态使得到的结果更精确是下一步的研究之一。在后续的工作中，采用ANN考察所得的日收益率预测和实际日收益率的关系也是重要的研究内容。马尔可夫链模型方法也可对上证指数和深证成指数进行类似分析。 参考文献 1 关丽娟，赵鸣.沪综指走势的马尔可夫链模型预测[J].山东行政学院，山东省经济管理干部学院学报，2005（4） 2 陈奕余.基于马尔可夫链模型的我国股票指数研究[J].商场现代化（学术研讨），2005（2） 3 肖泽磊，卢悉早.基于马尔可夫链系统的上证指数探讨[J].科技创业月刊，2005（9） 4 边廷亮，张洁.运用马尔可夫链模型预测沪综合指数[J].统计与决策，2004（6） 5 侯永建，周浩.证券市场的随机过程方法预测[J].商业研究，2003（2） 6 王新蕾.股指马氏性的检验和预测[J].统计与决策，2005（8） 7 张宇山，廖芹.马尔可夫链在股市分析中的若干应用[J].华南理工大学学报（自然科学版），2003（7） 8 冯文权.经济预测与决策技术[M].武汉：武汉大学出版社，2002 9 刘次华.随机过程[M].武汉：华中科技大学出版社，2001 10 盛千聚.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社.1989转

随机过程的发展 随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。 气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如,在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。 随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。 随机过程的定义 设 (Ω,F,p)为概率空间（见概率），T为指标t的集合（通常视t为时间）,如果对每个t∈T,有定义在Ω上的实随机变量x(t)与之对应，就称随机变量族x＝{x(t),t∈T}为一随机过程（简称过程）。研究得最多的是T 为实数集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T为整数n的集,也称{xn}为随机序列。如果T是d维欧几里得空间Rd（d为大于1的正整数）的子集，则称x为多指标随机过程。 过程x实际上是两个变元(t,ω)(t∈T,ω ∈Ω)的函数，当t固定时，它是一个随机变量；当ω固定时,它是t的函数,称此函数为随机过程（对应于ω）的轨道或样本函数。 如不限于实值情况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E,ε)为可测空间（即E为任意非空集,ε为E的某些子集组成的σ域）,称x=(x(ω), ω∈Ω)为取值于E的随机元,如果对任一B∈ε,{ω:x(ω)∈B}∈F。特别,如果为Rd中全体波莱尔集所成的σ域（称波莱尔域）,则取值于Rd中的随机元即d维随机向量。如果其中RT为全体实值函数ƒ=(ƒ(t),t∈T)的集,而为包含一切RT中有限维柱集 的最小σ域，则取值于E的随机元x 即为上述的(实值)随机过程。如对每个t∈T，有取值于E 的随机元x(t)与之对应，则称{x(t),t∈T}为取值于E的随机过程。 以下如无特别声明，只讨论取值于(R 1,B1)的随机过程。 有穷维分布族 一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律（见概率分布）,对随机过程x={x(t),t∈T}起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：对任意 n个tj∈T,i＝1，2,…,n,考虑的联合分布函数，,全体联合分布称为x 的有穷维分布族,它显然满足下列相容性条件： ① 对(1,2,…，n)的任一排列(λ1,λ2,…,λn)， ； ② 若m0，ε>0，с≥0,使得对任意的t∈【α,b】,t+Δt∈【α,b】，有,则过程的轨道以概率1在【α,b】上一致连续。设可分过程{x(t)，t∈【α,b】}随机连续，而且存在常数p>0，q>0，r>0，с≥0,使得对任意的α≤t1≤t2≤t3≤b，有 则过程的轨道以概率 1无第二类断点。正态过程的轨道性质有更好的结果:对均值函数m(t)呏0的可分正态过程{x(t),t∈【α,b】}，只要存在с≥0,α>0，使得 ,x的轨道就以概率1连续。 停时 这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事,它带来了许多新的研究课题,而且扩大了理论的应用范围。早在1945年，.杜布关于马尔可夫链的文章中已经有了停时的思想。60年代杜布、Ε.Б.登金（又译邓肯）、.布卢门塔尔等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；70年代，由于法国概率论学派的工作而使停时的理论更加完善。 直观上，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变量t的随机化。例如,灯泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻τ,τ(ω)=inf{t>0,x(t,ω)∈A}，且约定inf═＝∞，当x 的轨道连续而且A是一个闭集时，τ就是一个停时，它是一个随机变量，而且对任何t≥0，{τ≤t}∈σ{x(u),u≤t}。 一般地，设在可测空间(Ω,F)中已给F的一族单调、右连续、完备的子σ 域族{,t∈R+},称定义在Ω上的非负可测函数τ=τ(ω)（可取+∞为值）为 停时，如果对任意 t≥0，总有{τ≤t}∈。这一定义的直观背景是：把理解为到t为止的全部信息，一个可观测的随机现象发生的时刻τ是否不迟于t这一信息应包含在之中。 类似于，对停时τ可以定义σ域,其中为包含一切的最小σ域。Fτ可理解为过程到τ为止的全部信息。 停时有许多好的性质,例如,若τ1、τ2是停时,则τ1∨τ2、τ1∧τ2也是停时，其中,;还有，这里表示包含、的最小σ域；进一步，若{τn}是一列停时，则也是停时。更细致地研究停时，需要对其进行分类，重要的类型有可料时、绝不可及时等。 二阶过程 均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。二阶过程理论的重要结果之一是它的积分表示。设F是可测空间(∧,A)上的有限测度，如果对每一A∈A,有一复值随机变量Z(A)与它对应,且满足：①E|Z(A)|2< ∞；②则称Z＝{Z(A)，A∈A}为(∧，A)上的正交随机测度。定义在∧上、关于A可测而且关于F平方可积的函数全体记为L2（∧，A，F）。给了一个正交随机测度Z，一族函数,， 就可以产生一个二阶过程,满足 (1)它的二阶矩为 。 (2)反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表示(2)，就一定存在一个正交随机测度Z，使过程本身有积分表示(1)。(1)和(2)分别称为过程x和它的二阶矩的谱表示。对均方连续的实二阶过程{x(t),t∈【α,b)】},则有级数展开式 其中{ηn}是标准正交实随机变量序列,即；δnm=0，n=m时,δnm=1)，λn是积分方程的本征值，ψn是相应的本征函数 Γ(t,s)=Ex(t)x(s)。 特殊随机过程类 对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单,便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同,前者连续而后者则是上升的阶梯函数。 广义过程 正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集，定义在D上的连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑D×Ω上的二元函数x(φ,ω),如果对固定的ω,x(·,ω)∈Dx是广义函数,而对固定的φ,x(φ，·)是随机变量,则称{x(φ,ω):φ∈D}为定义在(Ω,F,p)上的广义过程。它在φ1,φ2,…,φn上的联合分布为 全体这种联合分布构成了广义过程x的"有穷维分布族"。前两阶矩分别称为均值泛函 和相关泛函 根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、广义正态过程等。例如，若对D中任意有限个线性独立函数φ1,φ2,…,φn，有限维分布都是正态分布，则称x＝{x(φ,ω)}为广义正态过程。