第一问:因为题目假设商品价格之变化率与需求过剩量成正比,所以有dp(t)/dt=k(Q1(t)-Q2(t))=kQ(t),k为一个与商品种类有关的正常数。供需量常常不是固定的,而是随着时间变化的,故这里Q1、Q2写成关于t的函数的形式。第二问:需求、供给、价格三者是互相影响、互相制约的,甚至可以说,在价格面前,供给和需求像是某种同义反复,具体分析如下:供不应求时,价格上涨,同时刺激供应量增加,如果该商品存在替代品,涨价还会使得需求略微减少,需求过剩量减小;供应量增加到一定程度时,在很短暂的时间内会达到供求一致,此时,价格与(社会)价值相等,记这个价值为W;由于市场的自发性、盲目性、滞后性,达到供求一致后,供给量的增加不会立即停止,而是继续增长,于是,供求一致的局面很快就结束了,现在变成了供过于求,此时商品价格下跌,导致商品生产者纷纷撤资减产,供给减少,并且会使得需求略微增加,这时需求过剩量增大,同理,这一过程也会使得市场短暂达到供求一致,然后又变为供不应求,在不考虑其他因素时,价格和供求总是此般循环往复。我们注意到,在上述过程中,供和求总是反方向变化的,价格对供求的影响和价格对价值的偏离程度p(t)-W有关,偏离程度越大,供求反方向变动率就越大,以减少偏离。故不妨令p(t)-W=-mdQ/dt,m为一正常数。将第一问求导后代入,有d²p/dt²=–(k/m)*(p-W),这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程,不妨令η=p-W,ω²=k/m,则有η"+ω²η=0,解得p(t)=W+Asin(ωt+φ),假设t0时供求一致,此时,Q=0,p=W,dp/dt|t0=0,得φ=π-ωt0,A=-W/ω.第三问:极限不存在。实际上,在不考虑其他因素时,价格总是围绕价值上下波动的,因此确实不存在极限。注意到我们现实的市场中,价格——时间曲线并不是正弦曲线,这是因为,这里我们假设了几个参数W,k,m是常量。事实上,商品的价值W受到社会生产力发展、自然灾害等多方面影响,也会发生波动,与商品有关的k、m也受替代品和其他因素的影响而常常随着时间不同而发生变化。另外,我们的几个正比的假设,也未必完全准确反映实际(正如虽然我们常使用胡克定律,然而弹簧也有不少非线性的,或者弹簧的刚度系数也会随着弹簧老化而改变那样)。甚至我们的这些假设,比起胡克定律,要主观得多,臆断的成分更多,因此,这只是一个用来大致说明价格变化趋势的粗糙的模型,而不能用来做定量分析。