确界原理论文开题报告

规范小数：若一个有尽小数a0。a1a2…ap在第k位之后不全为0或9，则称其为规范小数。上下界：设非空集合E∈R，如果有实数L使得x≤L，∀x∈E（即E中所有元素均小于等于x），则称L为E的一个上界。如果有实数l使得x≥l，∀x∈E，则称l为E的一个下界。上下确界：对于非空集合E属于R，其最小上界称为E的上确界，以supE表示；最大下界称为E的下确界，以infE表示。用数学语言表示为：若实数m满足条件：a）x≤m，∀x∈E ; b)(∀m'm')，则m=supE（其中条件b等价于m'x，即k非E的一个下界。依次考察0,1,2，…，k，显然其中存在a0为E的下界，而a0+1不是。再考察a0.1,…a0。9，显然存在a0.a1为E下界，而a0.a1+0.1不是。以此类推，我们得到a=a0.a1a2…an使得a0.a1a2…an为E下界，而a0.a1a2…an+1/10n不是。首先我们证明a0.a1a2…an为规范小数：若a0.a1a2…an不是规范小数，那么，必定存在p∈N，使得ap+1=ap+2=…=an，这里，p是满足条件的最小自然数。对于任意b∈E，设其规范小数表示形式为b0.b1b2…，则必定存在n>p使得bn<9.又因为b≥a，所以，必定存在q∈{0,1，…，p}使得b0=a0，b1=a1，…，bq-1=aq-1，bq≥aq+1.于是有b≥a0.a1a2…aq-1（aq+1）≥a0.a1a2…ap-1（ap+1）=a0.a1a2…ap-1ap+1/10p 即b=a0.a1a2…ap-1ap+1/10p ，而由“a0.a1a2…an不是规范小数”这一假设推出的结论与p的选择方法相矛盾（联系该段第3行的结论与第4行）。故a0.a1a2…an是规范小数。接着证明a为E的下确界。首先，对任何c∈E都有c≥a，其次，对任何b>a，都必定存在自然数k使得b≥a0.a1a2…ak+1/10k，联系上段第3行结论，得到b不可能是E的下界。至此，a=infE。情形二：设0不是E的一个下界，则必有x∈E且x<0.于是，E的任何下界（根据假设它一定有下界）T一定小于0.构造实数下的另一非空集合F={-T|T为E的下界}，容易看出0是F的一个下界。根据情形一，F一定有下确界，设inf=c。由于infQ=-sup（-Q）（这里Q为R下的非空集合，-Q为Q所有元素相反数的集合。这个命题很容易证出。），故a=-c一定是E的下界。为此，考察任意x∈E，对于E的任意下界T，有x≥T，-x≤-T，这说明-x是F的下界。因而-x≤c=-a，x≥-c=a，证明了a为E的下界。另一方面，对任意实数b>a，我们有-b<-a=c，故-b∉F，任何大于a的实数b都不是E的下界。a=infE。综上，确界原理得证。

这个证明没有错误，用确界原理关键就是构造这样的集合，在谢慧民的书中称之为Lebesgue方法

确界原理：任一有上界的非空实数集必有上确界（最小上界）；同样任一有下界的非空实数集必有下确界（最大下界）。

实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano,B.)于1817年发现的。

确界原理（supremum and infimum principle）是刻画实数完备性的命题之一。

设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

确界原理作为整个极限理论的基础，并且由于它直观易懂，经常代替戴德金定理作为实数公理，从而导出一系列与极限相关的性质，如单调有界定理，柯西审敛原理等。