高考数学压轴题论文范文

对数量积性质的新认识 【摘 要】：教学活动要遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在东西才会为主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的，若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示这种“知识链”，内化我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。【关键词】：数量积 向量 角度 距离作为新课程改革，高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入。其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如全日制普通高级中学教科书《数学•第二册（下B）》P33¬中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：（1） ，（2） ，（3） 。作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。可是对于性质（1），当时，在上新授课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移，笔者发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知，以飨读者。（一）性质的产生与内含已知向量 和轴l， 是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影 ，作点B在l上的射影 则 叫向量 在轴l上或在 方向上的正射影，简称射影。 可以证明得， （证明略，图如下所示。）此性质的内含理解有四点：①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量 所成角的范围决定；③加上绝对值 便是一条线段长度（这里 刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。（二）性质的“知识链”对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。1．1线线角 的求法的新认识：我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为 ），即 ,我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，，此时OB1可以看作是 与 方向上的单位向量 的数量积 ，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为： （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。1．2线面角 的求法的新认识： （其中 为平面 的一个法向量），此结论重新可以理解为： ，此时OP又可以看作是 在 上的投影，即 与 方向上的单位向量 的数量积 ， ，故 （这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）。1．3二面角的平面角 的求法的新认识： = （其中 是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为： （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。★三大角的统一理解： 、 、 、其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！ （2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。2．1点面距求法的新认识： （其中 为平面 的一个法向量），此结论重新可以理解为： ，即 在 上的投影，即 与 方向上的单位向量 的数量积 。2．2点线距求法的新认识：1）新认识之一：如图，若存在有一条与l相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量 ，则点P到l的距离 。2）新认识之二：若不存在有一条与l相交的直线时，我们可以先取l上的一个向量 ，再利用 来解，即： ,而数量OB可以理解为 在l上的向量 的投影，也即为： 。2．3异面直线间距离求法的新认识： 从这几年的高考《考纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也可以求出它们的距离的！那就是用向量法！如图所示：若直线l1与直线l2是两异面直线，求两异面直线的距离。 略解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，构造三个向量 ，记与两直线的公垂线共线的向量为 ,则由 ,得 ,则它们的距离就可以理解为： 在 上的投影的绝对值，即： 。 ★三大距离的统一理解: （点面距）、 （异面距）、 （点线距之一）、 且 （点线距之二）、其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！（三）性质的应用例1、（2005年山东省（理科）高考第20题）如图，已知长方体 直线 与平面 所成的角为 ， 垂直 于 ， 为 的中点.（I）求异面直线 与 所成的角；（II）求平面 与平面 所成的二面角；（III）求点 到平面 的距离.解：在长方体 中，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴建立如图示空间直角坐标系；由已知 可得 ， ，又 平面 ，从而 与平面 所成的角为 ，又 ， ， ，从而易得 （I） 因为 所以 ，易知异面直线 所成的角为 （II） 易知平面 的一个法向量 ，设 是平面 的一个法向量， 由 即 所以 即平面 与平面 所成的二面角的大小（锐角）为 （III）点 到平面 的距离，即 在平面 的法向量 上的投影的绝对值，所以距离 = 所以点 到平面 的距离为 例2、（2005年重庆（理科）高考第20题）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB= ，BB1=2，BC=1，∠BCC1= ，求：（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值. 解：（I）以B为原点， 、 分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB= ，∠BCC1= ，在三棱柱ABC—A1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0， ），B1（0，2，0），A1（0，2， ） ，设 ； ，则 得， （令y=1），故 =1（II）由已知有 故二面角A—EB1—A1的两个半平面的法向量为 。 。通过上述几个高考题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化），其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！参考文献：1、2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲 （高等教育出版社）2、《浙江省高考命题解析——数学》 （浙江省高考命题咨询委员们编著）3、基础教育课程改革教师通识培训书系第二辑《课程改革发展》（中央民族大学出版社 周宏主编）

高中关于概率论教学探究论文摘要：将数学史引入课堂、在教学中广泛应用案例、积极开展随机试验以及引导学生主动探索等，有助于改进概率论教学方法，解决教学实践问题，提高教学质量．教学手段的多样化以及丰富的教学内容可以加深学生对客观随机现象的理解与认识，并激发学生自主学习和主动探索的精神．关键词：概率论；教学；思维方法在数学的历史发展过程中出现了3 次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，第二次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开辟了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为未来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的学生所必修的一门基础课．但是教学过程中存在的一个主要问题是：学生们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以展开．这些都使得学生对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培养学生学习随机数学的思维方法就显得十分重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖．1 将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以帮助学生更好地认识到概率论不仅是“ 阳春白雪” ，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18 世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18 世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏经验等原因，天文观测误差是一个重要的问题，有许多科学家都进行过研究．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733 年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，指出正态分布可以很好地“ 拟合” 误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844 年法国征兵时，有许多符合应征年龄的人称自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面一定有人为了躲避兵役而说谎．果然，比利时数学家凯特勒（A. Quetlet，1796—1874）就是利用身高服从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000 个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在大学阶段，我们不仅希望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起学生学习概率论这门课程的兴趣，更应侧重让学生通过兴趣去深入挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型学生理解起来都很容易．但是继而出现的概率公理化定义，学生们总认为抽象、不易接受．尤其是概率公理化定义里出现的σ 代数[3]这一概念：设Ω 为样本空间，若Ω 的一些子集所组成的集合? 满足下列条件：（1）Ω∈? ；（2）若A∈ ? ，则A∈ ? ；（3）若∈ n A ? ，n =1, 2,??，则∈∞=nnA ∪1? ，则我们称 ? 为Ω 的一个σ 代数．为了使学生更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ 代数．几何概型是19 世纪末新发展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸．1899 年，法国学者贝特朗提出了所谓“ 贝特朗悖论” [3]，矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1 的圆，随机取它的一条弦，问：弦长不小于3 的概率为多大？对于这个问题，如果我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3 种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3 种答案针对的是3 种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“ 随机” 、“ 等可能”、“ 均匀分布” 等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件．现在再来理解σ -代数的概念：对同一个样本空间Ω ，?1 ={?, Ω}为它的一个σ 代数；设A为Ω 的一子集，则 ?2 ={?, A, A, Ω}也为Ω 的一个σ 代数；设B 为Ω 中不同于A的另一子集，则?3 = {?, A,B, A,B, AB, AB,BA,AB,Ω}也为Ω 的一个σ 代数；Ω 的所有子集所组成的集合同样能构成Ω 的一个σ 代数．当我们考虑?2 时，就只把元素?2 的元素? ， A ， A ， Ω 当作事件，而B 或AB 就不在考虑范围之内．由此σ 代数的定义就较易理解了．2 广泛运用案例教学法案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为学生所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以介绍．我们在讲条件概率一节时可以先介绍一个有趣的案例——“ 玛丽莲问题” ：十多年前，美国的“ 玛利亚幸运抢答”电台公布了这样一道题：在三扇门的背后（比如说1 号、2号及3 号）藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的．现在先让你选择，比方说你选择了1 号门，然后主持人打开了剩余两扇门中的一个，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？由于这个问题与当前电视上一些娱乐竞猜节目很相似，学生们就很积极地参与到这个问题的讨论中来．讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西有关，这样就可以很自然的引出条件概率来．在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得学生的积极性高涨，另一方面让学生意识到所学的概率论知识与我们的日常生活是息息相关的，可以帮助我们解决很多实际的问题．因此在介绍概率论基础知识时，引进有关经典的案例会取得很好的效果．例如分赌本问题、库存与收益问题、隐私问题的调查、概率与密码问题、17 世纪中美洲巫术问题、调查敏感问题、血液检验问题、1992 年美国佛蒙特州州务卿竞选的概率决策问题，以及当前流行的福利彩票中奖问题，等等[4]．概率论不仅可以为上述问题提供解决方法，还可以对一些随机现象做出理论上的解释，正因为这样，概率论就成为我们认识客观世界的有效工具．比如说我们知道某个特定的人要成为伟人，可能性是极小的．之所以如此，一个原因是由于某人的诞生是一系列随机事件的复合：父母、祖父母、外祖父母……的结合、异性的两个生殖细胞的相遇，而这两个细胞又必须含有某些产生天才的因素．另一个原因是婴儿出生以后，各种偶然遭遇在整体上必须有利于他的成功，他所处的时代、他所受的教育、他的各项活动、他所接触的人与事以及物，都须为他提供很好的机会．虽然如此，各时代仍然伟人辈出．一个人成功的概率虽然极小，但是几十亿人中总有佼佼者，这就是所谓的“ 必然寓于偶然转自之中” 的一种含义．如何用概率论的知识解释说明这个问题呢？设某试验中事件A出现的概率为ε ，0 <ε <1，不管ε 如何小，如果把这试验不断独立重复做任意多次，那么A 迟早会出现1次，从而也必然会出现任意多次．这是因为，第一次试验A不出现的概率为(1?ε )n ，前n 次A 都不出现的概率为1? (1?ε )n，当n 趋于无穷大时，此概率趋于1，这表示A迟早出现1 次的概率为1．出现A 以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A 必然再出现，如此继续，可知A必然出现任意多次．因此，一个人成为伟人的概率固然非常小，但是千百万人中至少有一个伟人就几乎是必然的了[5]．3 积极开展随机试验随机试验是指具有下面3 个特点的试验：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．在讲授随机试验的定义时，我们往往把上面3 个特点一一罗列以后，再举几个简单的例子说明一下就结束了，但是在看过一期国外的科普短片以后，我们很受启发．节目内容是想验证一下：当一面涂有黄油，一面什么都没有涂的面包从桌上掉下去的时候，到底会哪一面朝上？令我们没有想到的是，为了让试验结果更具说服力，实验人员专门制作了给面包涂黄油的机器，以及面包投掷机，然后才开始做试验．且不论这个问题的结论是什么，我们观察到的是他们为了保证随机试验是在相同的条件下重复进行的，相当严谨地进行了试验设计．我们把此科普短片引入到课堂教学中，结合实例进行分析，并提出随机试验的3 个特点，学生接受起来十分自然，整个教学过程也变得轻松愉快．因此，我们在教学中可以利用简单的工具进行实验操作，尽可能使理论知识直观化．比如全概率公式的应用演示、几何概率的图示、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、高尔顿钉板实验等，把抽象理论以直观的形式给出，加深学生对理论的理解．但是我们不可能在有限的课堂时间内去实现每一个随机试验，因此为了有效地刺激学生的形象思维，我们采用了多媒体辅助理论课教学的手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，建立一个图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而拓宽学生的思路，有利于概率论基本理论的掌握．与此同时，让学生在接受理论知识的过程中还能够体会到现代化教学的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果[6]．4 引导学生主动探索传统的教学方式往往是教师在课堂上满堂灌，方法单一，只重视学生知识的积累．教师是教学的主体，侧重于教的过程，而忽视了教学是教与学互动的过程．相比较而言，现代教学方法更侧重于挖掘学生的学习潜能，以最大限度地发挥及发展学生的聪明才智为追求目标．例如，在给出条件概率的定义以后，我们知道当P(A) > 0时，P(B | A)未必等于P(B)．但是一旦P(B | A) =P(B)，也就说明事件A的发生不影响事件B的发生．同样当P(B) > 0时，若P(A| B) = P(A)，就称事件B的发生不影响事件A 的发生．因此若P(A) > 0 ， P(B) > 0 ，且P(B | A) = P(B)与P(A| B) = P(A)两个等式都成立，就意味着这两个事件的发生与否彼此之间没有影响．我们可以让学生主动思考是否能够如下定义两个事件的独立性：定义1：设A，B 是两个随机事件，若P(A) > 0 ，P(B) > 0，我们有P(B | A) = P(B)且P(A| B) = P(A)，则称事件A 与事件B 相互独立．接下来，我们可以继续引导学生仔细考察定义1 中的条件P(A) > 0 与P(B) > 0 是否为本质要求？事实上，如果P(A) > 0，P(B) > 0，我们可以得到：P(B | A) = P(B) ? P(AB) = P(A)P(B) ? P(A| B) = P(A)．但是当P(A) = 0，P(B) = 0时会是什么情况呢？由事件间的关系及概率的性质，我们知道AB ? A， AB ? B，因此P(AB) = 0 = P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我们可以舍去定义1中的条件P(A) > 0，P(B) > 0，即如下定义事件的独立性：定义2 ： 设A ， B 为两随机事件， 如果等式P(AB) = P(A)P(B)成立，则称A，B为相互独立的事件，又称A，B 相互独立．很显然，定义2 比定义1 更加简洁．在这个定义的寻找过程中，我们不仅能够鼓励学生积极思考，而且可以很好地培养和锻炼学生提出问题、分析问题以及解决问题的能力，从而体会数学思想，感受数学的美．5 结 束 语通过实践我们发现，将数学史引入课堂既能让学生深入了解随机数学的形成与发展过程，又切实感受到随机数学的思想方法；把案例应用到教学当中以及在课堂上开展随机试验可以将概率论基础知识直观化，增加课程的趣味性，易于学生的理解与掌握；引导学生主动探索可以强化教与学的互动过程，激发学生用数学思想来解决概率论中遇到的问题．总之，在概率论的教学中，应当注重培养学生建立学习随机数学的思维方法，通过教学手段的多样化以及丰富的教学内容加深学生对客观随机现象的理解与认识．另外，要以人才培养为本，实现以教师为主导，学生为主体的主客体结合的教学思想，将培养学生实践能力、创新意识与创新能力的思想落到实处，以期达到学生受益最大化的目标，为学生将来从事经济、金融、管理、教育、心理、通信等学科的研究打下良好的基础．［参 考 文 献］[1] C·R·劳．统计与真理[M]．北京：科学出版社，2004．[2] 朱哲，宋乃庆．数学史融入数学课程[J]．数学教育学报，2008，17（4）：11–14．[3] 王梓坤．概率论基础及其应用[M]．北京：北京师范大学出版社，2007．[4] 张奠宙．大千世界的随机现象[M]．南宁：广西教育出版社，1999．[5] 王梓坤．随机过程与今日数学[M]．北京：北京师范大学出版社，2006．[6] 邓华玲，傅丽芳，任永泰．概率论与数理统计实验课的探讨与实践[J]．大学数学，2008，24（2）：11–14．建立数学创造性意识的学习氛围论文论文关键词：创造性思维;培养;协同培养 论文摘要：本文论述了创造性思维研究的现状，简单梳理了创造性思维研究的几种观点，并鉴于实践中对于创造性思维研究的成果的应用，列举了五种较为流传的创造……剖析高中平面向量授课方式研究论文【摘要】本文通过对高中第五章平面向量的研究，从运算的角度，教学内容、要求、重难点，本章的特点三个方面进行了总结，得出了五个方面的教学体会。 【关键词】平面向量；数形结合；向量法；教学体会……培养学生数学时刻使用意识研究论文[摘要]培养数学应用意识，促进知识内化，达到发展学生智慧的目的，是当前小学数学教学中人们关注的一个热点问题。本文从培养学生数学应用意识的理论依据及探索实践这两个方面对如何发展学生智慧问题进行探讨。……高中关于概率论教学探究论文摘要：将数学史引入课堂、在教学中广泛应用案例、积极开展随机试验以及引导学生主动探索等，有助于改进概率论教学方法，解决教学实践问题，提高教学质量．教学手段的多样化以及丰富的教学内容可以加深学生对客观……