初中数学概率论教法研究论文

例谈中学概率统计教学中数学史的运用 3 挖掘史料,让学生体会概率统计的思想方法 概率统计是中学数学新课程的重要组成部分,它研究随机现象的统计规律性,具有独特的概念、方法和理论．教学中应更多地关注实验与统计过程,结合史例,及早培养学生的随机思想和统计观念． 随机思想 随机思想的核心是认识隐藏在随机现象背后的统计规律性,强调随机现象的个别观察的偶然性与大量观察中的统计规律性之间的联系．必然性通过偶然性表现出来,偶然性背后总是隐藏着必然性,大量的随机现象正体现出事物发展过程中的必然性的一面．随机思想正是通过对这种偶然性的研究去发现其背后的必然性—即统计规律性,并通过这种必然性去认识和把握随机现象． 随机试验是随机思想中的一个重要方法,历史上为了研究随机现象呈现的统计规律性,进行过非常著名的随机试验,如蒲丰、皮尔逊等所做的掷硬币试验,高尔顿设计的高尔顿板试验模型等．例如,投掷硬币中,假如我们进行大量投掷,正面朝上的频率就非常接近一半,即正面朝上的理论概率为12,我们把这种个别结果不确定,但是多次重复之后,结果有规律的现象称为随机现象．“随机的”不是“偶然的”同义词,而是描述一种不同于确定性的秩序,概率统计是描述随机性和统计规律性的数学． 理解随机思想的关键是理解某一事件发生的试验频率与理论概率存在偏差,而且偏差的存在是正常的．虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率,但也不排斥无论做多少次试验,试验概率仍然是理论概率的一个近似值,而不能等同于理论概率．例如理论上事件“随意抛掷一枚硬币,落地后正面朝上”发生的概率为12,但试验100次,并不能保证恰好50次正面朝上,50次正面朝下．只要学生真正动手做试验,必能体会到这一点．事实上,做100次掷币试验恰好50次正面朝上,50次正面朝下的概率仅为C?50?100?(12)?100?≈? ?8%,远远低于投币二次有一次正面朝上的概率50%．教学中要防止学生把概率直觉地理解为“比率”,这样才算对某一事件发生的概率有较为深刻的认识． 随机思想还包括统计实验过程中抽样的随机性及模拟试验或随机抽样结果的随机性．只有学生认识到这一点,才能真正明白现实世界广泛存在的随机性,并主动地应用到生活中去．抽样的方法很多,但无论用什么方法抽样,都要坚持随机抽取的原则．这是避免人为的影响,保证样本客观、真实的基本要求． 统计推断思想 统计课程的核心目标是引导学生体会统计思维的特点和作用,体会统计思维与确定性思维的差异．例如,在运用样本估计总体的学习中,应通过对具体数据的分析,使学生体会到由于样本抽取具有随机性,样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征,但与总体有一定偏差．另一方面,如果抽样的方法比较合理,样本的信息还是可以比较好地反映总体的信息．例如著名数学家拉普拉斯对伦敦、彼得堡、柏林和法国的男婴和女婴出生规律进行研究,得到的统计资料显示：10年间,男孩出生的频率在2243附近摆动；我国历次人口普查总人口性别构成数据,与拉普拉斯所得到的结果非常的接近． 科学家发现,不仅在人类社会生活中,在大自然中,生命的繁殖、进化也莫不服从概率统计规律．早在1843年,捷克修道士孟德尔首先通过研究豌豆的遗传规律为世人揭示了大自然的奥秘．由于豌豆的两种遗传基因在进入下一代的杂种细胞时,彼此分离,互不干扰,最后在生物传粉过程中随机组合,所以这个规律又称“分离定律”．后来孟德尔经过艰苦的探索又发现了两对性状不同的植株进行杂交时,不同对的遗传基因自由组合,而且机会均等,这就是孟德尔第二定律,也称“自由组合定律”．孟德尔发现的分离规律和自由组合规律实质上就是概率统计规律在遗传过程中的体现． 统计推断的过程不同于数学中的逻辑推理,是带有概率性质的一种推理方法,其依据是“小概率事件原则”．小概率事件原则认为:概率很小的事件在一次试验中是几乎不会发生的．如假设检验问题的解法便是统计推断思想的体现．对于某个假设,给定一小概率水平标准,通过对抽样数据进行整理、计算,如果结果使得一小概率事件发生了(这与小概率事件原则矛盾),我们作出拒绝接受原假设的推断；否则,认为原假设是可接受的．这种统计推断思想的实施使数理统计的实用性得到充分的展现．教学中可以利用药效检验等实例重点介绍统计推断思想． 4 运用概率模型史例,启发学生的创新意识 随机数学有很大一部分可以用概率模型进行描述,如有限等可能概型(古典概型)、伯努利概型、正态分布等．应用概率模型方法就是根据随机问题的具体特点,模拟建构一个随机问题的现实原型或抽象模型,借以反映问题的内在规律,然后 选择相应的数学 方法对 求得的数学模型作出解答,表现出从实践到理论又回到实践的过程．概率统计教学中应重视对概率模型的理解和应用,淡化繁杂的计算,使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程,体会这些例子中的共同特点,培养学生识别模型的能力．美国普渡大学统计学教授大卫.s.莫尔曾经这样论述道:“学习组合学并不使我们增进对机遇概念的理解,也不比其他学科更能发展使用概率建模的能力．在大多数情况下,应该避免组合问题,除非是最简单的计数问题”．使用概率模型解决问题是归纳思维的一种典型方式,它离不开人们的观察、试验与合情推理,是数学化意识和思想方法的体现,有助于培养学生将数学理论应用于解决实际问题的能力和创新意识． 数学史在展现随机数学知识发展过程的同时,数学家也常给后人在数学方法的运用和解决实际问题的创新思维方面带来启示,例如利用概率模型求 π就是典型的史例,一部计算圆周率的历史,被誉为人类“文明的标志”．1872年英国学者威廉.向克斯已把 π的值算到了小数点后707位．此后半个多世纪,数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑,法格逊的疑问是基于以下奇特的想法:在 π的数值中,大约不会对一两个数码存有偏爱,也就是说各数码出现的概率都应当等于110．随着电子计算机的出现和应用,计算 π的值有了飞速进展,1973年,法国学者让.盖尤与芳旦娜小姐合作,对 π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了有趣的统计得出的结论是：尽管各数字出现也有某种起伏,但基本上平分秋色．看来,法格逊的想法应当是正确的,在 π的数值展开式中有: P(0)=P(1)＝P(2)=…＝P(9)＝?．但有时由于概率模型含有不确定的随机因素,分析起来比确定性的模型困难．在这种情况下,可以考虑采用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法．Monte Carlo方法是计算机模拟的基础,它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛,其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法,即著名的蒲丰投针问题．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支,它的基本思想是首先建立一个概率模型,使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟统计试验,即多次随机抽样试验,统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大,该百分比便近似于事件发生的概率,最后利用建立的概率模型,求出要估计的参数即问题的解． 参考文献 1 李文林.数学史概论〔M〕.北京:高等教育出版社,2002 2 张丹.统计与概率〔M〕.北京:高等教育出版社,2006 3 张远南.概率和方程的故事〔M〕.北京:中国少年儿童出版社,2005

浅谈数学的文化价值一、数学：打开科学大门的钥匙 科学史表明，一些划时代的科学理论成就的出现，无一不借助于数学的力量。早在古代，希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras）学派就把数看作万物之本源。享有“近代自然科学之父”尊称的伽利略（G. Galileo）认为，展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。物理学家伦琴（ @①ntgen）因发现了X射线而成为1910 年开始的诺贝尔物理奖的第一位获得者。当有人问这位卓越的实验物理学家科学家需要什么样的修养时，他的回答是：第一是数学，第二是数学，第三还是数学。对计算机的发展做出过重大贡献的冯·诺依曼（ ）认为“数学处于人类智能的中心领域”。他还指出：“数学方法渗透进支配着一切自然科学的理论分支，……它已愈来愈成为衡量成就的主要标志。” 科学家们如此重视教学，他们述说的这些切身经验和坚定的信念，如果从哲学的层次来理解，其实就是说，任何事物都是量和质的统一体，都有自身的量的方面的规律，不掌握量的规律，就不可能对各种事物的质获得明确清晰的认识。而数学正是一门研究“量”的科学，它不断地在总结和积累各种量的规律性，因而必然会成为人们认识世界的有力工具。 马克思曾明确指出：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”这是对数学作用的深刻理解，也是对科学化趋势的深刻预见。事实上，数学的应用越来越广泛，连一些过去认为与数学无缘的学科，如考古学、语言学、心理学等现在也都成为数学能够大显身手的领域。数学方法也在深刻地影响着历史学研究，能帮助历史学家做出更可靠、更令人信服的结论。这些情况使人们认为，人类智力活动中未受到数学的影响而大为改观的领域已寥寥无几了。 二、数学：科学的语言 有不少自然科学家、特别是理论物理学家都曾明确地强调了数学的语言功能。例如，著名物理学家玻尔（）就曾指出：“数学不应该被看成是以经验的积累为基础的一种特殊的知识分支，而应该被看成是普通语言的一种精确化，这种精确化给普通语言补充了适当的工具来表示一些关系，对这些关系来说普通字句是不精确的或过于纠缠的。严格说来，量子力学和量子电动力学的数学形式系统，只不过给推导关于观测的预期结果提供了计算法则。”（注：《原子物理学和人类知识论文续编》，商务印书馆1978年版。）狄拉克（ ）也曾写道：“数学是特别适合于处理任何种类的抽象概念的工具，在这个领域内，它的力量是没有限制的。正因为这个缘故，关于新物理学的书如果不是纯粹描述实验工作的，就必须基本上是数学性的。”（注：狄拉克《量子力学原理》，科学出版社1979年版。）另外，爱因斯坦（）则更通过与艺术语言的比较专门论述了数学的语言性质，他写道：“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界，并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。……理论物理学家的世界图象在所有这些可能的图象中占有什么地位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到。”（注：《爱因斯坦文集》第1卷，商务印书馆1976年版。） 一般地说，就像对客观世界量的规律性的认识一样，人们对于其他各种自然规律的认识也并非是一种直接的、简单的反映，而是包括了一个在思想中“重新构造”相应研究对象的过程，以及由内在的思维构造向外部的“独立存在”的转化（在爱因斯坦看来，“构造性”和“思辨性”正是科学思想的本质的思想）；就现代的理论研究而言，这种相对独立的“研究对象”的构造则又往往是借助于数学语言得以完成的（数学与一般自然科学的认识活动的区别之一就在于：数学对象是一种“逻辑结构”，一般的“科学对象”则可以说是一种“数学建构”），显然，这也就更为清楚地表明了数学的语言性质。 数学作为一种科学语言，还表现在它能以其特有的语言（概念、公式、法则、定理、方程、模型、理论等）对科学真理进行精确和简洁的表述。如著名物理学家、数学家麦克斯韦（J. C. Maxwell ）的麦克斯韦方程组，预见了电磁波的存在，推断出电磁波速度等于光速，并断言光就是一种电磁波。这样，麦克斯韦创立了系统的电磁理论，把光、电、磁统一起来，实现了物理学上重大的理论结合和飞跃。还有黎曼（Riemann ）几何和不变量理论为爱因斯坦发现相对论提供了绝妙的描述工具。而边界值数学理论使本世纪二三十年代的远距离原子示波器的制成变为现实。矩阵理论为本世纪20年代海森堡（W. K. Heisenberg）和狄拉克引起的物理学革命奠定了基础。 随着社会的数学化程度日益提高，数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段。如果说，从前在人们的社会生活中，在商业交往中，运用初等数学就够了，而高等数学一般被认为是科学研究人员所使用的一种高深的科学语言，那么在今天的社会生活中，只懂得初等数学就会感到远远不够用了。事实上，高等数学（如微积分、线性代数）的一些概念、语言正在越来越多地渗透到现代社会生活各个方面的各种信息系统中，而现代数学的一些新的概念（如算子、泛函、拓扑、张量、流形等）则开始大量涌现在科学技术文献中，日渐发展成为现代的科学语言。 三、数学：思维的工具 数学是任何人分析问题和解决问题的思想工具。这是因为：首先，数学具有运用抽象思维去把握实在的能力。数学概念是以极度抽象的形式出现的。在现代数学中，集合、结构等概念，作为数学的研究对象，它们本身确是一种思想的创造物。与此同时，数学的研究方法也是抽象的，这就是说数学命题的真理性不能建立在经验之上，而必须依赖于演绎证明。数学家像是生活在一个抽象的数学王国中，然而他们在数学王国的种种发现，即数学结构内部和各种结构之间的规律性的东西，最终还是现实的摹写。而数学应用于实际问题的研究，其关键还在于能建立一个较好的数学模型。建立数学模型的过程，是一个科学抽象的过程，即善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程先撇在一边，抽出主要因素、主要关系、主要过程，经过一个合理的简化步骤，找出所要研究的问题与某种数学结构的对应关系，使这个实际问题转化为数学问题。在一个较好的数学模型上展开数学的推导和计算，以形成对问题的认识、判断和预测。这就是运用抽象思维去把握现实的力量所在。 其次，数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，是使认识从感性阶段发展到理性阶段，并使理性认识进一步深化的重要手段。在数学中，每一个公式、定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立。数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤都在逻辑上准确无误。所以运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时，所得结论有逻辑上的确定性和可靠性。数学的逻辑严密性还表现在它的公理化方法上。以理性认识的初级水平发展到更高级的水平，表现在一个理论系统还需要发展到抽象程度更高的公理化系统，通过数学公理化方法，找出最基本的概念、命题，作为逻辑的出发点，运用演绎理论论证各种派生的命题。牛顿所建立的力学系统则可看成自然科学中成功应用公理化方法的典型例子。 第三，数学也是辩证的辅助工具和表现方式。这是恩格斯（）对数学的认识功能的一个重要论断。在数学中充满着辩证法，而且有自己特殊的表现方式，即用特殊的符号语言，简明的数学公式，明确地表达出各种辩证的关系和转化。如牛顿（I. Newton ）—莱布尼兹（G. W. Leibniz ）公式描述了微分和积分两种运算之间的联系和相互转化，概率论和数理统计表现了事物的必然性与偶然性的内在关系等等（注：孙小礼《数学：人类文化的重要力量》，《北京大学学报》（哲学社会科学版），1993年第1期。）。 最后，值得指出的是，数学还是思维的体操。这种思维操练，确实能够增强思维本领，提高科学抽象能力、逻辑推理能力和辩证思维能力

高等数学的基础性、工具性和广泛应用性已被许多人公认。一切事物都离不开“数”和“形”，因此，高等数学早就成为物理学、力学、化学、天文学、生物学等学科的基础。数学为它们提供了描述大自然的语言和探索大自然奥秘的工具。正如伟大科学家伽俐略所说，“自然界这部伟大的书是用数学写成的。”从历史上看，众多的天文、物理的重大发现无不与数学的进展有关。如牛顿的万有引力定律的发现依赖于微积分；爱因斯坦的相对论与黎曼几何有关；特别微积分的诞生，则开创了科学的新纪元。高等数学不仅是自然科学的基础，还是一切重大技术革命的基础。在现代社会里，高等数学不仅对科技进步发挥着基础性的作用，而且已成为一种普遍适用的技术和工具。如离散数学、概率论与数理统计、计算数学、拓扑学在齿轮设计、冷轧钢板的焊接、海堤安全高度的计算、计算机的发明与发展等等方面都提供了有效且便利的方法。事实上，从医疗上的CT技术到中文印刷排版的自动化，从飞行器的模拟设计到指纹的识别，从石油勘探的数据处理到信息安全技术，无不是高等数学在其中起着重要作用。高等数学作为工具，在经济理论研究，财政和金融活动中也有重要作用。用数学模型研究宏观经济与微观经济，用数学手段进行市场调查与预测，进行风险分析，指导金融投资等已很普遍。纵观上两届诺贝尔经济学奖获得者，都是以数学方法在经济中的运用而驰名中外的。高等数学的应用越来越广泛，连一些过去与高等数学无关的领域，如考古学、语言学、心理学等也都成为了高等数学大显身手的地方。数学方法也深刻地影响着历史学的研究，能帮助历史学家作出更可靠、更令人信服的结论。艺术大师和科学巨匠达芬奇不仅认为绘画科学的基础是数学，而且强调任何人类的探索活动只有通过数学表达方式和数学证明为自己开辟道路，才能真正成为科学。在知识经济时代，高等数学正在从幕后走向前台。揭示高等数学的基础性、工具性和广泛应用性，可以大大拓展学生的知识领域，让他们在掌握高等数学这一有力的工具来解决问题并为现实服务时，激发对数学的兴趣，树立科学的世界观和方法论；同时也明确高等数学与社会进步的关系，充分认识到学好高等数学的重要性，为今后的学习、发展、研究奠定良好的基础。（二）高等数学的人文价值高等数学不仅具有重要的科学价值，还具有丰富的人文价值，也是人类文化的重要组成部分。首先，高等数学是人类认识自然的中介。笛卡尔认为，“现实世界就是数学定律表现物体在时空中运动的总和，而整个宇宙则是一个以数学定律构成的庞大而协调的机器。”正是数学方法为人类开辟了一条获得自然规律的道路。随着科学与数学的进一步发展，高等数学的推测与实际观测的吻合，使人们从信仰宗教转向信仰自然，坚信自然规律就是数学规律，一切注意力都集中在探索宇宙的数学规律上。从古希腊到现在，人们一直在探索数学与自然的关系。科学史的大量资料显示出数学的巨大力量。在人类的创造中，数学是最强大的方法，高等数学使我们对形形色色的自然现象取得了确定的认识。可见，高等数学是人类认识自然必不可少的中介。其次，数学是人类文化的重要组成部分。高等数学作为数学的重要组成部分，一方面，它是人类认识自然的中介，是自然科学的工具，是思想方法体系；另一方面，它也是思维的工具，数学活动是一种创造与发现活动，同时又是一种艺术。因此，它是人类文化的重要组成部分，它在创造、保存、传递、交流发展人类的文化中充当重要角色，发挥着巨大的作用。高等数学能促进人类文化的不断进步，促进人类文化不断迈向更高阶段，数学精神是人类文化精神的最高代表。从系统论的观点来看，数学文化可以表述为以数学科学为核心，以高等数学的思想、精神、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大功能的动态系统。高等数学的文化价值还体现在它是一种语言、一种文字文化、量的文化和计算机文化。此外，它还是一种理性精神，能促进人类文明的不断进步，促进人类智能的不断发展。因此，在高等数学传授时要加强文化的渗透与教育。此外，高等数学的人文价值还体现在强大的育人功能，它是大学生发展的必要食粮。正如著名数学家M.克莱茵所说，“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学能使人获得智慧，科学可改变物质生活，但数学能给予以上的一切。”高等数学的教育功能由此可见一斑。（三）高等数学的育人价值由于高等数学的基础性、工具性作用日趋明显，应用越来越广泛，再加上丰富的人文价值，它对大学生成长的各个方面都将起到重要的教育作用，主要体现在以下几个方面：1.有助于为大学生的专业发展奠定基础。高等数学作为一门基础课程，它不仅能丰富和拓宽学生的数学理论知识、思维方法，为学生学习专业知识奠定基础，为他们在今后的科研、工作中继续学习，不断更新知识结构，自我发展、自我提高保持后劲，更重要的是贯穿在高等数学中一系列的精神、思想、方法对培养学生良好的数学素养有直接或间接的影响。这种影响在学生今后的工作中会长期稳定地显示其作用。学会用数学思维处理问题、解决问题，学会用数学方法进行科学研究，学会用数学的思想进行创新改革，这些都将成为大学生成长的不竭动力。2.有助于大学生的思维能力和创新能力的培养。数学是思维的体操，是创新的工具。作为变量数学的高等数学，蕴含着丰富的辨证思想，其内容的辨证性体现得非常典型和深刻。在高等数学中，矛盾对立统一的观点，普遍联系的观点，否定之否定、量变到质变的辨证规律随处可见。集中地反映了辨证法在数学中的应用，因此，它是培养学生辨证思维能力的最优载体。高等数学的学习和认识还是一种再创造、重新发展的过程。通过观察、实验、归纳、模拟、猜想、验证等活动，概括出数学概念，提出数学命题，通过建立数学模型，解决实际问题等活动，也能极大提高大学生的创新能力。（四）高等数学的个性优化价值高等数学不仅是培养创新思维的好材料，也是完善学生人格的好材料。它对人格的培养主要依赖于自身的人文价值。高等数学是一门理论严谨，逻辑缜密的学科，其一切结论都有依据，并经过了严格的逻辑论证。这种科学的实事求是精神，可以培养学生严谨治学的态度，使学生养成尊重客观事实，不固执不偏激，既敢于坚持真理，又勇于修正错误的品格。高等数学的高度抽象性以及知识间一环扣一环、系统性强的特点，决定了学好这门课必须有不畏艰难、坚持不懈的精神。所以，学习高等数学，可以磨练和培养学生的顽强意志与坚强毅力。同时，在解题中又能经常受到“以退求进”、“逐步调整”等方法策略的影响，潜移默化地培养自己“能进能退”的开阔胸怀。通过数学史选讲、文化价值的体现，能够丰富学生的数学史料，体会高等数学在人类文化发展中的重要价值，焕发他们的民族自尊心和自豪感。同时，古今中外数学家们在事业上的志坚如磐，严肃认真；在品格上刚正不阿，诲人不倦等，都会在不同程度和角度上唤起学生崇高的奉献精神。高等数学中潜隐着大量美的信息。抽象美、和谐美、结构美；美的数、式、形、符号以及美的结构体系、理论、方法等比比皆是。教师有责任去揭开美的面纱，展示数学美的风采，让学生在这种熏陶中增长知识、能力。以利于培养他们的审美意识，形成良好的情商，完善心理结构。综上所述，重视高等数学的课程价值，能够充分发挥高等数学的育人价值，是高等数学课程改革的重要内容，意义十分重大，也将成为广大高数教师追求的目标。参考文献：[1]M.克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,1979. [2]林崇德.数学的智慧[M].北京:开明出版社,1996.