数学与哲学论文提纲模板

毕业论文提纲格式范本（通用6篇）

充实的大学生活即将结束，大家都知道毕业生要通过毕业论文，毕业论文是一种有准备的检验学生学习成果的形式，那么毕业论文应该怎么写才合适呢？以下是我精心整理的毕业论文提纲格式范本，希望能够帮助到大家。

(一)确定论文提要，再加进材料，形成全文的概要

论文提要是内容提纲的雏型。一般书、教学参考书都有反映全书内容的提要，以便读者一翻提要就知道书的大概内容。我们写论文也需要先写出论文提要。在执笔前把论文的题目和大标题、小标题列出来，再把选用的材料插进去，就形成了论文内容的提要。

(二)原稿纸页数的分配

写好毕业论文的提要之后，要根据论文的内容考虑篇幅的长短，文章的各个部分，大体上要写多少字。如计划写20页原稿纸(每页300字)的论文，考虑序论用1页，本论用17页，结论用1—2页。本论部分再进行分配，如本论共有四项，可以第一项3—4页，第二项用4—5页，第三项3—4页，第四项6—7页。有这样的分配，便于资料的配备和安排，写作能更有计划。毕业论文的长短一般规定为5000—6000字，因为过短，问题很难讲透，而作为毕业论文也不宜过长，这是一般大专、本科学生的理论基础、实践经验所决定的。

(三)编写提纲

论文提纲可分为简单提纲和详细提纲两种。简单提纲是高度概括的，只提示论文的要点，如何展开则不涉及。这种提纲虽然简单，但由于它是经过深思熟虑构成的，写作时能顺利进行。没有这种准备，边想边写很难顺利地写下去。以《关于培育和完善建筑劳动力市场的思考》为例，简单提纲可以写成下面这样：

一、序论

二、本论

(一)培育建筑劳动力市场的前提条件

(二)目前建筑劳动力市场的基本现状

(三)培育和完善建筑劳动力市场的对策

三、结论

详细提纲，是把论文的主要论点和展开部分较为详细地列出来。如果在写作之前准备了详细提纲，那么，执笔时就能更顺利。下面仍以《关于培育和完善建筑劳动力市场的思考》为例，介绍详细提纲的写法：一、序论

1.提出中心论题；

2，说明写作意图。

二、本论

(一)培育建筑劳动力市场的前提条件

1.市场经济体制的确立，为建筑劳动力市场的产生创造了宏观环境；

2.建筑产品市场的形成，对建筑劳动力市场的培育提出了现实的要求；

3.城乡体制改革的深化，为建筑劳动力市场的形成提供了可靠的保证；

4.建筑劳动力市场的建立，是建筑行业用工特殊性的内在要求。

一、论文题目。论文题目应能概括整个论文最重要的内容，言简意赅，引人注目，一般不宜超过20个字。毕业论文的标题一般分为总标题、副标题、分标题几种。

二、目录。既是论文的提纲，也是论文组成部分的小标题，应标注相应页码。

三、摘要。摘要是全文内容的缩影。在这里，作者以极经济的笔墨，勾画出全文的整体面目；提出主要论点、揭示论文的研究成果、简要叙述全文的框架结构。

四、关键词或主题词。关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“摘要”的左下方。主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。

五、引言(或序言)。内容应包括本研究领域的国内外现状，本论文所要解决的问题及这项研究工作在经济建设、科技进步和社会发展等方面的理论意义与实用价值。

六、正文。正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、论证过程和结论。主体部分包括以下内容：a.提出-论点；b.分析问题-论据和论证；c.解决问题-论证与步骤；d.结论。论文结论要求明确、精炼、完整，应阐明自己的创造性成果或新见解，以及在本领域的意义。

七、参考文献和注释。按论文中所引用文献或注释编号的顺序列在论文正文之后，参考文献之前。图表或数据必须注明来源和出处。

参考文献是期刊时，书写格式为：

[编号]、作者、文章题目、期刊名(外文可缩写)、年份、卷号、期数、页码。

参考文献是图书时，书写格式为：

[编号]、作者、书名、出版单位、年份、版次、页码。

八、附录。包括放在正文内过份冗长的公式推导，以备他人阅读方便所需的辅助性数学工具、重复性数据图表、论文使用的符号意义、单位缩写、程序全文及有关说明等。

一、毕业论文格式

一般说来，一篇毕业论文要具备相对固定的格式。这些提到的毕业论文格式仅供参考。学校有具体规定的，则按规定办。这里以文件中规定的毕业论文格式为准。

①论文题目，有的含副标题。题目之下是作者署名，署名之前或下边一行写作者的校、院、系、年级。

②摘要与关键词(或称内容提要)，一般为300字左右。位于作者署名之后，正文之前。关键词，结合标题和正文内容一般选取3至5个。

③引论。用O标示，常写作引言、引论、绪论，引言较短时可不标出O.引言类小标题。引论的内容一般是交代选题背景，主要有:课题来源，本课题在国内外的研究进展状况。已有的研究成果，存在的问题。选题的意义，讨论的问题。本文分几部分，从哪些方面进行讨论，以及指导思想、论证方法等，均可根据内容的需要写在引论中。

④正论。正论常分几部分写，分别标示一二三四等，有的加小标题，或以分论点的形式出现，以凸现论述的观点或主要内容。这部分是对研究过程及分析、归纳、概括的表达，体现出分析方法与思路，充分有力的论证。正论还要体现出明确的指导思想。

⑤结论。一般用结语小结余论等标示。也可不标示结语之类的词儿，在正论之后空一行直接写结论或总结。 在毕业论文格式中，结论是对整个研究工作的归纳、综合或概括，也可以提出进一步研究的建议。若是在正论之后，对相关联的问题还想简短论述一下，或是对较为重要的问题再说一些想法，可写成余论。

⑥毕业论文致谢。接上文另起一段。简述自己撰写毕业论文的体会，并对指导老师以及有关人员表示感谢。毕业论文致谢并非形式，也不是走过场，是一个大学生修养的表现。

⑦注释与参考资料。注释专指本文注，即作者对论文有关内容所作的解释，一般用脚注(放在本页末)(属毕业论文格式的非必备项)。参考文献专指引文注，即作者对引用他人作品的有关内容所作的说明，在引文结束处右上角用[1][2]等标示，序号与文末参考文献列表一致。同一著作或文章被多次引用时只著录一次。

⑧附录。收录和论文有直接关系的文字材料、图表、数据、试验结果等。中文方面的毕业论文 格式中作附录的情况似乎不多见(属毕业论文格式的非必备项)。

以上是一篇毕业论文格式要求，是一般撰写毕业论文必需的表达形式，其中除注释和附录可有可无外，其他部分的毕业论文格式是必备的。

2.毕业论文格式的其他要求

①毕业论文的字数要求。一般来说，文学、新闻、历史、哲学等方面的毕业论文在7000字以上，语言方面的论文在6000字左右，也有对函授学员、自考生要求在5000字左右的。我的想法是对字数不去斤斤计较，关键是在毕业论文的内容要有创见。一般说来，达到了内容的要求，相应地也会满足字数的要求。

②表述要求。毕业论文是对自己研究成果的详细表述。要求论理正确、论据确凿、逻辑性强、层次分明，表意准确、鲜明，语言通顺、流畅，用规范汉字，不写错别字。一般情况下应采用计算机打印成文，若手抄则要求书写工整。

③修改要求。论文初稿写好后，全文阅读，前后对照，检查论点论据论证和词句运用，修改好了之后，搁置几天或者一两周，再来挑毛病，经过多次修改、加工、润色，最后在老师指导下定稿。

二、论文写作格式要求解析

1.引言(前言)

是医学论文开篇的一段短文，主要介绍本文的背景、理论依据、论文的范围目的与工作的收获、结果、意义等。可根据论文的需要或长或短。要求言简意赅，点明主题。如我院内科1992年2月至1995年10月应用盐酸纳络酮治疗镇静催眠药急性中毒48例，与同期未用纳络酮治疗的42例对照比较，疗效满意，报告如下。不可言过其实，尤其是诸如国内外罕见，未见报道，无先例，属最新水平之类，必须有充分证据，否则一般不用。

2.临床资料(资料与方法)

是论著的主要内容，包括实验对象、器具、采用什么方法、多少病例(男多少、女多少)、如何分组、诊断手断、依据、治疗方法(用药)、疗效标准、观察及随访时间等等。应说明资料来源的时限、年龄、性别、职业的可比性。在此需要特别提醒注意的是说明疗效或某种方法时需设对照组，条件同等、随机分组、用药或检测采用双盲法对照。共同的是使读者具体了解该研究的具体内容，一方面便于理解和评价，另方面便于验证和仿行。任何科学成果，必须能够在方法同样条件下重复出同样结果，方能得到公认。因此，描述材料和方法以使读者能进行重复为度，过分简略固然不行，过分详尽也无必要。

资料中如数字较多可用统计图表表示。统计表应有表题和序号(一个表不用序号，列为附表)。统计表应按统计学原则制作，表格两端开口，不用纵线，只用一条纵线说明主语与谓语，表格左上角不用斜线。表格内避免繁杂，更不能与正文重复。

3.结果

医学论文的中心部分。即实验研究、临床研究、分析观察、调查的各种资料和数据，进行分析、归纳，经必要的统计学处理后所得的结果。这是决定论著质量是否严谨，数据是否准确可靠，要求高度真实和准确，实事求是的撰写。失败就是失败，成功就是成功，不要人为地夸大成功率，且要消灭统计方面的误差。

4.讨论

即将所得结论或研究结果，从理论上进一步认真分析。科学的推论和评价，证实所得结果的可靠性，阐明具有科学性、先进性的论据，从而取得大家的公认。通常讨论的问题有:阐述该文研究的原理与机制；说明该文材料与方法的特点及其得失；分析该文结果与他人的异同及优缺点；根据该文结果提出新假设、新观点；对各种不同学术观点进行比较和评价；提出今后探索的方向等等。当然，一篇文章通常只讨论其中的某些方面，不可能面面俱到。重要的是，讨论必须紧紧扣住该文的研究结果，突出自己的新发现与新认识。有的医学论文讨论部分只是重复过去的文献，甚至抄袭某些专著和教科书的内容，这就失去了讨论的意义。

讨论的深浅、正确与否，很大程度上取决于掌握文献的多少和分析能力。因此，必须了解本专业的近况及动向，才能比较客观的得出正确的结论。

5.医学论文的参考文献

只限于自己阅读过并引用的文献(必须是公开发行的刊物)，按文内引用顺序排列写在文后，文内按顺序在引用处标出右上角码，如在右上角标注[1]或[1-3]或[1，4]最好是着重引用近年的(3-5年)期刊文献。 医学论文参考文献的书写格式多采用温哥华式。

刊物:作者(两位作者可一并列上，中间加逗号；三位作者或以上，可只写第一作者，后加逗号及等)，文题列于作者后(有的刊物略去文题)，然后顺序列出刊物名称、年份、卷(期):起迄页。

例 杨亚辉.国内外胸心血管外科进展临床医学1995；15(6):36

杨亚辉，等.国内外胸心血管外科进展临床医学1995；15(6):36一38

书籍:依次顺序为作者，书名，版次，出版地:出版社，年份:起页～迄页

例 张学礼主编，怎样撰写医学论文第一版，北京:中国医药科技出版社，

外文资料西文只用姓，不用全称，其它顺序同期刊。

参考文献不宜过多，论著8条、综述20条以内为宜。引用的文献必须具有价值，引用的论点必须准确无误。取其精华，引用部分要恰到好处，宁少勿滥。

一、论文题目

从汤显祖《牡丹亭》中杜丽娘人物形象

——看“发乎情，止乎礼”的时代性

二、论文观点来源

“发乎情,止乎礼”出自《论语》，是古代形容男女关系的。发乎情，即人的情感在男女之间产生。止乎礼，就是受礼节的约束。汤显祖所说的“情”是指包括*爱之欲在内的`人生欲求。可汤显祖在《牡丹亭》中强调真情，至情的时候，他始终指向的仍是社会现实，表现出对现世的热情和对道德的关注，更重视“发乎情，止乎礼”的教育作用。

三、基本观点

《牡丹亭》中杜丽娘能突破自身的心理防线，逾越家庭与社会的层层障碍，勇敢迈过贞节观，为鬼时，以身慰情人；在死而复生之初，能婉言拒绝情人的求欢，“发乎情，止乎礼”。有人认为，这是汤显祖思想的矛盾性，它在突破传统的同时，又在墨守陈规，是一种退步。而我认为“发乎情,止乎礼”符合了那个时代的特征，而在现代，在女性贞操观念淡薄，过度追求个性解放的今天，其伦理道德意义就更为重要了。

四、论文结构

全文共分七节及结论。

第一节《牡丹亭》：介绍汤显祖及其作品《牡丹亭》中的主要人物及内容。

第二节《杜丽娘》：杜丽娘是人们心中至情与纯情的偶像，对于人物的塑造，我认为主要受汤显祖的文学思想和当时人们思想信仰的影响。

第三节《萌芽》：主要论述《牡丹亭》中杜丽娘爱情观的萌芽。她一面悲叹青春的虚度，个人才貌的被埋没；一面又执着于自由、幸福的追求，“一灵咬住”，始终不放。

第四节《冲破》：《牡丹亭》中杜丽娘死了，可是她的死不是生命的结束，而是新的斗争的开始。在摆脱了现实世界的种种约束之后，她果然找到了梦中的书生，主动地向他表示爱情，并以身慰情人，还魂之后还结为夫妇。

第五节《对抗“情，礼”》：杜丽娘与柳梦梅梦中约会，以最明确的方式宣示，爱情以及*爱，首先是年轻女子自身的需要。在超我层面上，她遵从礼教的束缚，在本我层面上，她有强烈的情欲本能。《牡丹亭》复活了*爱女神的形象，表现了*爱女神的抗争。

毕业论文的要求

1、题目：应简洁、明确、有概括性，字数不宜超过20个字。

2、摘要：要有高度的概括力，语言精练、明确，中文摘要约100-200字；

3、关键词：从论文标题或正文中挑选3～5个最能表达主要内容的词作为关键词。

4、目录：写出目录，标明页码。

5、正文：

专科毕业论文正文字数一般应在3000字以上。

毕业论文正文：包括前言、本论、结论三个部分。

前言（引言）是论文的开头部分，主要说明论文写作的目的、现实意义、对所研究问题的认识，并提出论文的中心论点等。前言要写得简明扼要，篇幅不要太长。

本论是毕业论文的主体，包括研究内容与方法、实验材料、实验结果与分析（讨论）等。在本部分要运用各方面的研究方法和实验结果，分析问题，论证观点，尽量反映出自己的科研能力和学术水平。

结论是毕业论文的收尾部分，是围绕本论所作的结束语。其基本的要点就是总结全文，加深题意。

6、谢辞：简述自己通过做毕业论文的体会，并应对指导教师和协助完成论文的有关人员表示谢意。

7、参考文献：在毕业论文末尾要列出在论文中参考过的专著、论文及其他资料，所列参考文献应按文中参考或引证的先后顺序排列。

8、注释：在论文写作过程中，有些问题需要在正文之外加以阐述和说明。

9、附录：对于一些不宜放在正文中，但有参考价值的内容，可编入附录中。

1、标题问题：应简练、明白、有归纳综合性。

2、择要：要有高度的归纳综合力，说话精炼、明白。

3、环节词：从论文成效或者注释中遴选3～5个最能表达次要形式的词作为环节词。

4、目次：写出目次，表示页码。

5、注释：毕业论文注释：包含媒介、本论、结论三个局部。

媒介（引言）是论文的开首局部，次要解释论文写作的手段、理想意义、对于所钻研成绩的看法，并提出论文的中央论点等。数据复原媒介要写得长篇大论，篇幅没有要太长。

本论是毕业论文的主体，包含钻研形式与设施、试验资料、试验成效与剖析（评论辩论）等。正在本局部要使用各方面的钻研设施和试验成效，剖析成绩，论证观念，尽可能反映出本人的科研才能和学术程度。

结论是毕业论文的开头局部，是盘绕本论所作的完毕语。数据复原其基础的要点便是总结全文，加深题意。

6、道谢辞：简述本人经由过程做毕业论文的体味，并应答指点教员和辅佐完成论文的相关职员透露表现谢意。

7、参考文献：正在毕业论文开端要列出正在论文中参考过的专著、论文及其他材料，所列参考文献应按文中参考或者引证的前后递次摆列。

毕业论文概要

毕业论文概要的基础构造由序论、本论、结论三小局部组成。序论、结论这两局部正在概要中部应比拟简单。本论则是全文的重点，是应集合文字写深写透的局部，是以正在概要上也要列得较为具体。数据复原本论局部最少要有两层规范，层层深刻，层层推理，以便表现泛论点和分论点的无机连系，把论点讲深讲透。

1、论文题目：要求准确、简练、醒目、新颖。

2、目录：目录是论文中主要段落的简表。(短篇论文不必列目录)

3、提要：是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。

4、关键词或主题词：关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。

主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。

5、论文正文：

(1)引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义,并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。

〈2)论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、论证过程和结论。主体部分包括以下内容：

a、提出-论点；

b、分析问题-论据和论证；

c、解决问题-论证与步骤；

d、结论。

6、一篇论文的参考文献是将论文在和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《gb7714-87文后参考文献著录规则》进行。

中文：标题——作者——出版物信息(版地、版者、版期)：作者--标题--出版物信息

所列参考文献的要求是：

(1)所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。

(2)所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。

论文提纲也可以用最简单的格式和分类，简单明了地说明论文的目的、依据和意义，甚至是两句话。这种提纲往往是用于科学论文，而且在对于各种概念有相互联系而不是孤立的出来讨论的情况下。如果总要分出1、2、3……点来写的话，往往会变成“八股文”的模式，这样的论文往往是应付式的论文，其真正的科学价值会大打折扣。

在数学的哲学中，直觉主义可谓引起引起了现代学术思想的一次革命。数学与哲学的关系一是人们谈论的问题。以下是我整理的数学与哲学的论文的相关资料，欢迎阅读!

摘要：在数学哲学中，直觉主义可谓引起引起了现代学术思想的一次革命。虽然直觉主义可以追溯到康德，甚至柏拉图。然而，它是近现代的，20世纪前20年，它作为一个独立的数学哲学思潮而闻名。它是逻辑学哲学中的一次风暴逆袭，是经典数学的有力挑战者。直觉主义强调“构造”，出发于“心智”。直觉主义把整个自然数论视为整个数学的基础，直觉主义拒绝排中律和反证律，抵制实无穷而推崇潜无穷。随着计算机的产生和发展，直觉主义在数字构造中起到了积极的应用。同时，直觉主义对数学哲学的创新 教育 等方面都有着不可忽视的影响。

关键词：数学哲学 直觉主义 传统逻辑 布劳威尔

一、 “存在必须是被构造”——直觉主义的产生

直觉(intuition)一词意为未经充分逻辑推理的，直观的，直接领捂事物本质的思考。与H.柏格森、B.克罗齐、E.胡塞尔等人的直觉主义不同，我们这里所研究的“直觉”并不是指主体对于客观事物的一种直接把握能力，而是指思维的本能上的一种心智活动。在这里，直觉主义提倡的直觉，并非辩证唯物主义的“直观的感觉”，其本意是“先验的心智构造”，以此为出发点，形成了对数学对象“存在性”与“可构造性”等同的要求。[1]直觉主义哲学是一种反理性主义的唯心主义哲学思潮。数学研究中的构造主义是一种有关数学基础的观点，它主张自然数及其某些规律和 方法 ，特别是数学归纳法，是可靠的出发点， 其它 一切数学对象和理论都应该从自然数构造出来。[2]“存在必须是被构造”，这是直觉主义派最著名的 口号 。也因此，直觉主义是一种构造逻辑。直觉派认为，数学中的概念和方法都是必须可以被构造的，非构造性的证明不是直觉主义者能接受的。在数学领域中，集合论悖论的问题不可能通过对已有的数学作某种局部的修改和限制加以解决，而必须依靠一些可信的标准对已有的数学进行全面的审视和改造。直觉主义认为逻辑依赖于数学,而非数学依赖逻辑。数学建立在直觉的基础上。同时，直觉主义认为哲学、逻辑甚至计数等概念都比数学复杂得多,不能作为数学的基础,数学的基础需要更简单、更直接的概念,它就是直觉,直觉是心智的一项基本功能。[3]一位直觉主义数学家阿伦特·海廷(Arend Heyting)在他的论文《数学的直觉主义基础》中指出：“立即处理数学的构造也许是符合直觉主义者的积极态度了。这个构造的最重要基石是一(unity)的概念，它是整数序列所依赖的构造原则。整数必须作为单位(units)来看待，这些单位仅仅由于在这个序列中的位置而相互区别。”[4]61

直觉主义者认为，数学的基础在于数学直觉，在他们看来，建立在数学直觉之上的理论能使“概念和推理十分清楚地呈现在我们面前”，即“对于思想来说是如此的直接，而其结果又是如此的清楚，以致不再需要任何铸的什么基础了”(A·黑丁:《直觉主义导论》)。任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同，因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者，这是不正确的;不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种;但它不是唯一的一类。直觉主义的基本哲学立场是，数学是人类心智“固有”的一种创造活动，是主体的自身的活动，而不是对外在的描述.数学概念是一种自主的智力活动的结果，智力活动则是研究自明定律所支配的思想构造。[5]

二、颠覆传统逻辑，形式主义的逆袭——直觉主义的特点

直觉主义不承认实无穷，拒绝实际无穷的抽象。也就是说，它不考虑像所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学上存在着潜无穷与实无穷之争，就如同哲学上存在着唯物主义与唯心主义之争。而且必将长时间的持续的争论不休。数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。按照全称和条件量词的标准直觉主义，一个证明就是这样的潜无穷结构，这可能是合理的。(达米特《直觉主义逻辑的哲学基础》)[4]142按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。很显然，直觉主义支持潜无穷的观点，即把无穷集合看成无限延伸着的序列。

直觉主义反对排中律，这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。排中律和同一律、矛盾律并称为形式逻辑的三大基本规律。传统逻辑首先把排中律当作事物的规律，意为任一事物在同一时间里具有某属性或不具有某属性，而没有其他可能。排中律同时也是思维的规律，即一个命题是真的或不是真的，此外没有其他可能。例如，说A 或 B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。但是，对于排中律, A 或 非 A, 是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否命题。

直觉主义主要对抗的是形式主义。多个世纪以来，对数学规律的无懈可击的精确性的信念的依据是数学哲学研究的主要对象。直觉主义表示，精确性存在于人类心智之中，形式主义者认为，存在于纸面上。[4]90

直觉主义具有非逻辑性和整体性。数学直觉是作为逻辑的对立面而介定的一种认识方法,因此非逻辑性是数学直觉的最主要特性。可以说数学直觉的其他特性都是由它的非逻辑性所决定的,这是许多哲学家、科学家的共同见解。[6]直觉主义认为，数学是心灵的创造活动，心灵是丰富的，逻辑则是贫乏的。因此，坚决不能用贫乏的逻辑规则来全面准确地规划丰富的心灵活动。直觉主义的另一位代表人物阿伦特?海廷(Arend Heyting)说：“逻辑属于应用数学”。在对于直觉主义整体性上，一个日本数学家有如下精辟的解释：当一个人已经长期而持续地从事了研究并已成为一个完全成熟的研究人员时,他就已经在自己的头脑中形成了一种相对稳定的知识体系。经过他自己的努力,这种知识体系已被综合成为一种特殊的,确定的形式。而且自己综合的工作当然本身就是一种极有价值的 经验 。[7]

彭加勒在《数学中的直觉和逻辑》一文中写道：

哲学家告诉我们，纯逻辑永远也不能使我们得到任何东西;它不能创造任何新东西，任何科学也不能仅仅从它产生出来。在某种惫义上，这些哲学家是对的;要构成算术，像要构成几何学或构成任何科学一样，除了纯逻辑之外，还需要其他东西。为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词。可是，在这同一谕后，潜藏着多少不同的意思呢?比较一下这四个公理:(1)等于第三个最的两个量相等;(2)若一定理对数1为真，假定它对N为真，如果我们证明它对N+1为真，则它对所有整数均为真;(3)设在一直线上，C点在A与B之间，D点在A与C之间，则D点将在A与B之间;(4)通过一个定点仅有一条直线与已知直线平行。所有这四个公理都归之于直觉，不过第一个阐明了形式逻辑诸法则中的一个法则;第二个是真实的先验综合判断，它是严格的数学归纳法的基础;第三个求助于想象:第四个是伪定义。直觉不必建立在感觉明白之上;感觉不久便会变得无能为力。[8]

值得注意的是，直觉主义不是神秘主义。直觉的“不可解释性”并不等于直觉的“神秘性”，尽管直觉是“不可解释”的，但它却有着确定的本质。我们认为，直觉是认识过程中的一种飞跃，因此它就不是一种经验的认识，而是原来的思想路线的中断，不可能按照通常的 思维方式 ，用结论和推理的环节把它连接起来，所以直觉是“不可解释的”。[9]

三、从Kant到Dummett，直觉主义派的主要人物及其思想

伊曼努尔·康德(Immanuel Kant, 1724-1804)，从某种意义上来说，直觉主义是由哲学家康德开始的。1755到1770年，康德在哥尼斯堡大学教物理和数学，他认为我们所有的感觉都来自于一个预先假定的外部世界。虽然这些感觉不能提供任何知识，但是被感知到的物体间相互作用就产生了知识。心智将这些感觉梳理清楚，得到对空间和时间的直觉。康德说，感性直觉有两个纯形式，它们是先天知识的原则，这两个纯形式就是空间和时间。空间是外直觉的纯形式，而时间是内直觉的纯形式，它们都不是从外邻经验得来的，而是必然的、先天的观念。空间和时间不是客观存在的，而是心智的创作。心智理解经验，经验唤醒心智。虽然康德的思想有着直觉主义的影子，但是依旧没有直观地提出直觉主义，就数学基础的方法而言，直觉主义是现代的。[10]

亨利·彭加勒(常译作庞加莱，Henry Poincare，1854-1912)，当代语境中的数学直觉主义的先驱。后人评价为数学哲学与当代数学直觉主义之间的一座桥梁。逻辑主义对于数学基础的理解是虚幻的。它使数学失去基础。然而数学的基础是存在的，它就是我们的直觉。它赋予数学以意义，从而给数学以对象。彭加勒指明了一座(本来就)架在人类精神和数学存在之间的桥梁，那便是我们的数学直觉。[11]彭加勒主张自然数是最基本的直觉，认为数学归纳法是一种包含直观的思维方法，是不能简单地归结为逻辑的。他主张使用有限个词能定义的概念，主张数学对象的可构造性。他还在另一种意义上理解和强调数学直觉，将其看做选择和发明的工具。彭加勒认为，我们有多种直觉。然而，最重要的可以归结为两类：一是“纯粹直觉”，即他通常所说的“纯粹数的直觉”、“纯粹逻辑形式的直觉”、“数学次序的直觉”等，这主要是解析家的直觉;二是“可觉察的直觉”，即想象，这主要是几何学家“形”的直觉。对于这两类直觉，他认为都是必要的，各自发挥着不同的作用。他认为，这两类直觉“似乎发挥出我们心灵的两种不同的本能”，它们像“两盏探照灯，引导陌生人相互来往于两个世界”。[12]

布劳威尔(，1881-1966)，直觉主义真正的创始人和奠基人是布劳威尔。布劳威尔在数学上的直觉主义立场来源于他的哲学。1907年他在博士论文《数学基础》中提出直觉主义观点,认为数学的基础是先验的初始直觉。数学是起源于和产生于头脑的人类活动，不存在于头脑之外，因此，是独立于真实世界的。布劳威尔认为数学思维是智力构造的一个过程，它建造自己的天地，独立于经验，并且只受到必须建立于基本的数学直觉之上的限制。[10]布劳维尔发表的《数学基础》表明直觉主义的立场是强调“直觉”，这并不是说否认数学的逻辑性和严谨性,而只是突出直觉、灵感和创造力在数学中的地位。直觉主义者认为数学不仅是最讲究严格性的科学,也是最富有创造性的科学。布劳维尔认为数学的基础是先验的初始直觉,他和他的学生说他们所说的直觉正是人心对于它本身所构造的东西的清晰理解。[13]布劳维尔修改了康德的先验时空学说，放弃了“外直觉的纯形式”的先验时空概念，以适应非欧几何的发展;池把数学的基本直觉建立在“内直觉的纯形式”的先验时间概念的基础之上。[14]布劳威尔还提出了“二·一原则”(tow-oneness)。他认为这是数学的基本直觉。即假设N成立，则N+1成立。这个过程可以无限重复，创造了一切有限序数，因为“二·一原则”的元素之一可以被认为是一个新的“二·一原则”。布劳威尔认为，在这个数学的基本直觉中，联通和分离、连续和离散得到统一，并直接引出了线性连续统的直觉，即“介于”(between)的直觉。(布劳威尔《直觉主义和形式主义》)[4]93

阿伦特·海廷(Arend Heyting，1898-1980)，他是布劳威尔的学生。继承了布劳威尔有关数学直觉主义的思想。他认为，直觉主义是从一定的、多少有点任意的假设出发的。它的主题是构造性的数学思想。这使得它处于经典数学之外。形式主义和直觉主义的差别在于，直觉主义的进行独立于形式化，形式化只能追随在数学构造的后面。逻辑不是直觉主义的立足点，数学构造在头脑中是很直接的，结论也应该是很清楚的，所以不需要任何基础。海廷主张，在描述直觉主义数学时，应当在日常生活中去理解。比如，在注视那边树木时，我确信我看到树木，而实际上光波达到我眼中，使我构造出树木这一信念需要相当的训练。这种观点是自然的。两个人说话，我向你灌输意见，实际制造了空气的震动。这是理论的构造。(阿伦特·海廷《论辩》)[4]77-88

迈克尔·达米特(又译米歇尔·杜麦特Michael Dummett，1925-2011)，当代数学直觉主义学派的代表人物。达米特认为，数学首先是先验的，然后是分析的。达米特曾经从语言学角度和意义理论角度为直觉主义辩护。直觉主义关于数学陈述意义的解释避免了以真概念为核心概念的意义理论的不足，它把说话者关于数学陈述的理解与说话者使用这个陈述的实际能力结合在一起，因此具有很大的优点。从直觉主义关于数学陈述的意义说明出发，达米特提出了以证实为核心概念的新的意义理论的构想。[15]202达米特指出：“对于直觉主义逻辑来说，排中律的双重否定是有效的语义原则，就像二值逻辑认为排中律本身是有效的一样：断言任何陈述既不真也不假是不一致的。”[4]132

四、直觉主义的意义以及合理性

直觉主义对古典逻辑中的排中律和双重否定律等原理中的部分原则以及非构造性的结论持否定态度，也不承认数学中的实无限的对象和方法。数学的历史也表明，数学知识与理论不仅无法脱离对外部世界的永恒的依存关系，而且数学的错误不是通过限制数学，如排斥非构造数学和传统逻辑而得到克服的。数学真理的积累以及对谬误的抛弃是通过数学知识的不断增长和理论的不断完善获得的。一句话、数学的生命在于生生不息的创造过程中。庆幸的是，直觉主义由十其思想体系中某种先天的弱点而末成为数学的统治思想。但也应看到其构造思想的重要价值。[16]123-124可以说，直觉主义学派在本质上是主观和荒谬的，以直觉上的可构造性为由来绝对的肯定直觉派数学是不能真正解决问题的。但是，直觉主义揭示了经典逻辑只具有相对的真理性，在具体的数学工作中具有重要意义。

首先，数学哲学中的直觉主义学派高度认可直觉和个人的创造性思维在科学实践中的作用，推动了现代递归函数论的建立和发展，这无疑对数学的进步起到了很积极的作用。其次，直觉主义者倡导的构造性的能行性的研究方法,促进了人工智能和计算机科学的发展。这种积极探讨可行性方法在计算机数学以及计算机科学中具有重大的现实意义。第三，直觉主义数学哲学的思想方法在素质教育理论研究与实践上，具有宝贵的参考价值。在数学教育中，逻辑的作用很明显，其特征为，从已知知识出发,依据逻辑规则进行推导和演算,一步一步地达到对研究对象的认识。而直觉主义可以跳跃式地认知，虽然能一步得到正确答案，却无法说清楚其中的步骤。直觉主义虽排斥传统逻辑，但与逻辑关系十分密切，对培养良好的数学逻辑观念有着不可忽视的作用。另外，直觉主义有助于培养数学教育中大胆猜测的思维习惯。这种创新和探索精神有利于数学的进步和发展。

参考文献：

[1] 傅敏.直觉主义数学哲学研究及其对数学素质教育的启示[J].西北师范大学学报(自然科学版)，1996(1).

[2] 诸葛殷同.对传统逻辑的有力挑战——评《经典逻辑与直觉主义逻辑》[J].哲学动态，1990(4).

[3] 柯华庆.直觉主义数学哲学的两个阶段[J].学术研究，2005(2).

[4] 保罗·贝纳塞拉夫(美)，希拉里?普特南(美).数学哲学[M].北京：商务印书馆，2003.

[5] 黄秦安.数学哲学与数学 文化 [M].西安：陕西师范大学出版社，1999.

论文提纲写法：

一、构思

构思是对整个文章的布局、顺序、层次、段落、内容、观点、材料、怎样开头和结尾的思维，构思是写文章不可缺少的准备过程，构思时文章的主题中心要明确，用以表现的材料要充分、典型、新颖，结构上要严谨、环环相扣，只有潜心构思，才能思路流畅，写好提纲和文章。

二、提纲的编写步骤

1、撰写提要

论文的提要就是提纲的雏形，先把论文的题目、大标题、小标题列举出来，再把整理好的材料内容插进去，就成了提要了。

2、提纲的拟定

提纲又分简单提纲和复杂提纲，顾名思义，简单提纲就是比较简洁点的提纲，内容属于高度概括，只有提示论文的要点，关于论文主题研究怎么展开的内容则不会提及；复杂提纲则是出了内容稍微详细之外，关于论文主题研究怎么展开的内容都会有提及。

三、提纲的撰写方式

提纲是论文的轮廓，应尽量写得详细一些，提纲的拟写多采用标题式和提要式两种。

1、句子试

称为详细提纲，将该部分内容用一句话概括出来，这个句子能表达完整的意思。它在标明文章各部分标题的同时，还常用完整的句子把各部分的内容要点概括出来，甚至在过渡、转折处都有必要的文字说明。

2、标题试

称为简要提纲，用一个标题将该部分的内容概括出来，简明扼要，一目了然，但是这种方法通常是写给自己看的，毕业论文提纲不建议采用这种方法。