积分和t无关,t可以提出 积分<0,1> 积分<0,1> sin(tx) e^(t^2x^2y^2) dxdy= lim ------------------------------------------------------------- t->0 t0/0,洛必达,其次积分上下限都是常数,所以d[积分 f(t,z)dz]/dt=积分 f_t(t,z) dz 积分<0,1> 积分<0,1> xcos(tx) e^(t^2x^2y^2)+ sin(tx) e^(t^2x^2y^2)*2t x^2 y^2 dxdy= lim --------------------------------------------------------------------------------------------------------- t->0 1然后 积分D |xcos(tx) e^(t^2x^2y^2)+ sin(tx) e^(t^2x^2y^2)*2t x^2 y^2| <= e^t^2+2te^(t^2)有界所以由勒贝格控制收敛定理此处积分和取极限可交换=积分<0,1> 积分<0,1> [lim t->0 xcos(tx) e^(t^2x^2y^2)+ sin(tx) e^(t^2x^2y^2)*2t x^2 y^2] dxdy=积分<0,1> 积分<0,1> x+0 dxdy=(积分<0,1> dy)*(积分<0,1> xdx)=1*1/2=1/2