要解决这个问题,我们要从最原始的情况——数项级数乃至数列讲起。幂级数作为函数项级数的一类,相当于数项级数的“升级版”,也就是说,级数的每一项都会随着x的变化而变化,且每一项都是关于x的幂函数。
下面我们回过头来想一下,一个数项级数的收敛条件是什么,也就是说,级数
收敛,意味着什么。回顾级数收敛的定义,就可以知道,级数收敛意味着它的部分和序列
存在有限的极限值,所以级数收敛还是会归到数列的求和问题。
因为数列求和本身是一个比较困难的问题,对于不同的数列很难直接求出它们的求和公式,因此直接判断一个级数的收敛性是有困难的。除了几何级数(等比数列)、可以裂项的数列以外,其他数列的求和公式往往都不可得。除了通过直接求和的方法来判断收敛性以外,我们还可以通过比较的方法,就是拿一个级数跟我们熟悉的级数、数列、积分来进行比较,例如比值法和根式法(与几何级数作)、p-级数(与定积分作比较)等等,进一步得出其他级数的收敛判据。上面提到的有一种比较重要的判别法,就是比值判别法:
上图参考资料:
完整、详细的证明过程可以看教材。
下面就到幂级数的问题了。(当然这里跳过了对函数项级数的介绍,相信你们的教材是有这部分内容的)
形如
的函数项级数称为幂级数。
上面有关比值判别法的图中,讨论的对象是正项级数,其实把这个条件去掉也是成立的,但是取极限之前应该对比值取绝对值。如果对这个过程有疑问可以进一步追问。
下面通过比值判别法来确定上图中幂级数的收敛范围。
设
你没有看错,这里是前一项与后一项的比值,和上面的图不一样。为什么要这样书写呢?因为这个比值和所谓的“收敛半径”有直接的关系。
当然为了方便起见,我们这里假设极限
是存在的。如果不存在怎么办?不存在就把极限符号换成上极限符号,上极限是必定存在的,大不了就取∞。这是更加复杂的情况,我们这里不作讨论。
既然这个极限存在,我们设这个极限为R。
那么,要使得级数收敛,应有ρ<1,即R/|x-a|>1即
R>|x-a|或者写作a-R
同样的道理,如果ρ>1,那么级数发散,对应地就有|x-a|>R。
因此R的实际意义就是幂级数的收敛半径。
那么幂级数的收敛域是不是关于a点对称呢?如果不考虑端点的话,根据上面的结论,当然是成立的。但是实际上,幂级数在两个端点不一定都收敛或者都发散,可能在一个端点收敛,但在另一个端点发散,典型的例子就是ln(1+x)的泰勒级数,在x=-1处发散,在x=1处收敛。因此,“幂级数的收敛域关于某点对称”是不一定成立的,具体情况要结合该点处的情况进行讨论。