最速曲线方程推导过程是：
首先，要最快到达，就必须合理分配速度。球如果沿着斜面下降，那么其加速度较小（只有重力加速度在斜面方向的投影那么点大，这个数值太小了），速度没法很快提上去，耽误了时间。
如果球直接竖直落地，加速度是最大的，可以很快把速度提上来。但可惜，这种情况，球是永远到达不了下面这一点。
所以，最佳的情况，就是球尽量沿着竖直方向下降，且必须在运动过程中不断调整方向，以使球的运动轨迹能够到达下面那一点。
数学上推出（用变分法），如果球沿着“滚轮线”运动，就能够满足上述要求，这就是最速降线。
牛顿证明最速曲线的过程：
从给定点A出发，画一条平行于水平面的无界直线APCZ，在这条直线上描述任意摆线AQP，在Q点上与直线AB相交（并在必要时延伸），然后另一个摆线ADC的底和高[as AC: AP]应分别为前一个的底和高AB到AQ。
这条最近的摆线将穿过B点，成为一条曲线，在这条曲线上，一个重物在自身重量的作用下，最迅速地从A点到达B点。
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