地球物理学报参考文献

苏正1,2，曹运诚1，吴能友1,22，Lawrence ，陈多福1,2

苏正，（1980—），博士，助理研究员，主要从事天然气水合物及盆地流体活动的数值模拟研究，E-mail:。

注：本文曾发表于《地球物理学报》，2009,12:3124-3131，本次出版有修改。

1.中国科学院边缘海地质重点实验室/广州地球化学研究所，广州510640

2.中国科学院广州天然气水合物研究中心/可再生能源与天然气水合物重点实验室/广州能源研究所，广州510640

of Earth&Atmospheric Sciences,Cornell University,Ithaca,New York 14853-1504,USA

摘要：海洋环境中天然气水合物层是理想的毛细管封闭层，游离气被抑制在水合物层下，游离气层的气体压力随气体聚集和气层厚度的增加而升高，当气压超过封闭层的毛细管力时，游离气会克服毛细管进入压力、刺入上覆封闭层孔隙空间，毛细管封闭作用随之消失，从而形成水合物下伏游离气向海底的渗漏。通过对该过程进行的数值模拟计算表明：渗漏气体是以活塞式驱动上覆沉积层中的孔隙水向海底排出，水合物稳定带内流体渗漏速度随水流柱高度的减小而增加，当水流阻抗大于相应沉积层段的静岩压力时，沉积层将转变为流沙，流沙沉积被海流移除后便在海底留下凹陷麻坑。麻坑形成后流体运移通道演化为气体通道，气体快速排放。麻坑深度主要取决于游离气层的厚度和水合物封闭层（底界）的深度，而与沉积层的渗透率无关。麻坑深度一定程度上指示了渗漏前水合物层下伏游离气层的资源量。对布莱克海台海底麻坑的深度数值模拟计算表明，形成4 m深的海底麻坑需要至少22 m厚的游离气层。

关键词：天然气水合物；毛细管封闭；游离气渗漏；麻坑；布莱克海台

Numerical Computation and Case Analysis of the Venting Process of Free Gas Beneath Hydrate Layer

Su Zheng1,2,Cao Yuncheng1,2,Wu Nengyou1,2,Lawrence Duofu1,2

Key Laboratory of Marginal Sea Geology/Guangzhou Institute of Geochemistry,Chinese Academy of Sciences,Guangzhou 510640,China

Guangzhou Centerfor Gas Hydrate Research/CAS Key Laboratory of Renewable Energy and Gas Hydrate/Guangzhou Institute of Energy Conversion,Chinese Academy of Sciences,Guangzhou 510640,China

of Earth&Atmospheric Sciences,Cornell University,Ithaca,New York 14853-1504,USA

Abstract:A hydrate layer is an ideal capillary seal,beneath which free gas is overpressure increases as gas accumulates and gas column seals have the property that they fail completely when gas pressure reaches the point that they are invaded by gas,and thereafter they offer little resistance to gas the seepage is triggered,the venting gas will push the overlying water upward at increasingly higher velocities as the gas “piston”approaches the model shows that as the water velocity increases,the near surface sediments will become quick at a depth that the resistance of water flow exceeds the hydrostatic pressure of the sediment hosting the water quick sediments can then be removed by bottom ocean currents,leaving a hollow pockmark on the gas pathway isformed below the pockmarks and the reservoir gas drains pockmark depth is afunction of thickness of free gas column beneath the hydrate and depth of the hydrate seal (bottom of hydrate layer).Interestingly,pockmark depth does not depend on sediment depth implies the resource amount offree gas beneath hydrate model shows that a 22-m-thick free gas layer at least is needed toform a 4-m-deep pockmark on the rise of Blake ridge.

Key words:gas hydrate;capillary seal;gas seepage;pockrnarks; Blake ridge

0 引言

在海洋环境水合物稳定带内孔隙水溶解甲烷浓度超过甲烷水合物形成的溶解度时，溶解甲烷会结晶形成水合物，随着水合物含量的增加，形成水合物层圈闭，并在其之下发育游离气层[1-4]。在特定的条件水合物层之下的游离气沿通道向上渗漏进入海底，并在海底形成麻坑、自生碳酸盐岩、生物群落、气泡羽状体，如俄勒冈外海水合物脊[5]、布莱克海台等[6]、北刚果陆坡[7-8]、挪威外海[9]以及中国南海[10]。虽然水合物层下伏游离气向上渗漏活动在水合物发育区比较普遍，但是水合物层下伏游离气向上渗漏的机制和泄漏过程中的流体动力学特征，及流体渗漏对海底沉积地层的破坏（形成麻坑）过程并不清楚。

水合物层下伏游离气受到水合物层毛细管作用的封闭，随气体聚集和气层厚度增长，水合物下伏游离气的压力持续增加，当气体超压克服毛细管封闭作用后气体渗漏被激发，超压气体推动孔隙水向上排出，在海底形成麻坑，麻坑深度反映了流体的破坏强度和游离气层的超压幅度。因此，本文将应用水合物层毛细管封闭机理和沉积孔隙流体渗漏动力学，研究水合物稳定带之下游离气如何向上突破的动力学过程，建立游离气层压力状态与麻坑深度之间的数值模型，通过海底麻坑特征揭示水合物系统游离气层的演化规律。

1 毛细管封闭及游离气渗漏机理

海底沉积层中存在2种毛细管力封闭作用。第一类毛细管力封闭作用是存在于小型的气藏顶部的毛细管封闭作用，属于低渗透率的气体捕集封闭。封闭层的孔隙度和渗透率较低，而水更倾向存在于较小的孔隙空间，因此封闭层的孔隙空间完全被水占有，而封闭层之下含气层的孔隙度和渗透率相对较高[11]。碎屑沉积物孔隙介质一般为水润湿相，气液界面处的毛细管力阻止天然气进一步向上运移，使气体处于孔隙较大的沉积层段，但当气体压力超过相应孔隙的气体的毛细管进入压力时，超压气体将刺入封闭层的小孔隙，气藏开始排气，并在上覆沉积层中产生气体的渗漏通道。侵入毛细管压力由拉普拉斯方程给出[12]：

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其中：γ为界面张力，取值 N/m[13],rf和rc分别代表小孔隙和大孔隙的有效孔隙半径。

第二类毛细管封闭作用存在于气－液二相共存的沉积孔隙中，气液二相均可流动[14-15]。由于整个沉积体是由沉积颗粒构成的孔隙介质，孔隙水优先占据并被吸附在孔隙的喉道位置，具有小孔径的孔喉部位产生的毛细管力抑制了孔隙腔中气体的流动。此类毛细管封闭条件是孔隙内2种流体共存，且二者均可流动。在渗漏活动初期这种情况出现在气流柱顶部和气柱周围的气－水混合的部位，沉积层中毛细管封闭线的位置随气柱的发育而变迁，这种毛细管封闭作用约束了气流柱的形状和发育，并使气流柱有一个相对平坦的顶部；同时也会形成一个相对稳定的通道直径，这意味着渗漏气柱顶部的气－水界面相对平坦，在理想均质介质中渗漏气体以“活塞”式向上推进。但是当渗漏气柱遇到渗透率在横向上不均匀或不连续（如断层）的沉积介质时会出现分支或扭曲的气体通道。

海洋环境扩散型水合物稳定带与下伏游离气之间属于第一类毛细管力的封闭，在水合物稳定带底部水合物含量最高[3,16]，水合物的形成降低了孔隙介质的有效孔隙度和渗透率，使水合物层的孔隙度低于下伏游离气层的孔隙度，水合物层的有效孔隙半径小于游离气层的有效孔隙半径。亲水性的水合物沉积层内除水合物外的其余孔隙空间被水占据，而下伏沉积体的孔隙空间完全被气体充填，水合物层与游离气层之间就存在一个上覆孔隙水与下伏游离气的界面。因此在水合物层与游离气层界面（大孔隙与小孔隙之间）上产生毛细管力，其方向指向孔隙半径较大的含气层，阻止下伏气体进入上覆含水层（水合物层），抑制气体向上运移。但是当下伏游离气层中的气体压力超过上覆水合物封闭层的毛细管力时，超压气体将刺入水合物封闭层，使水合物层的毛细管封闭作用完全失效或仅剩很小的封闭作用，气体泄漏开始。超压的气体渗漏进入水合物稳定带后，随着气柱的增长气体逐渐侵占原有孔隙水所占的孔隙空间，驱使孔隙水向上排出，并最终泄漏进入海底。水合物稳定带内气柱的增长过程受第二类毛细管封闭作用的控制，使气流柱以“活塞”式增长，而没有出现气流弯曲和分支，这与地球物理资料显示的近于垂直的流体渗漏通道（气囱）特征一致[8-9,17-19]。

图1给出了海洋水合物层下伏游离气渗漏过程。游离气在水合物层底界之下聚集，气层厚度和气体超压逐渐增加（A），当气体压力超过水合物封闭层的毛细管力时，高压气体会在封闭薄弱点或气层最顶端刺穿封闭，使水合物毛细管封闭失效（B）。气流柱在高压作用下向上推进，并驱使上覆沉积孔隙水向外排出。气流柱高度（hg）逐渐增长，而水流柱高度（hw）相应缩短（B到C过程）。如果气压驱动力保持相对恒定，由于岩层对水的黏滞力（或水流阻抗）远大于其对气的黏滞力（或气流阻抗），随水流柱高度hw减小，流体渗漏速度将越来越快，在单位长度水流柱上的压降（等于岩层对水流的黏滞力）随流体速度的增长而增加。在气流接近海底时流体速度明显增强，浅层水流阻抗（即水流对地层的作用力）超过相应沉积体的静岩压力，浅层含水沉积将被流沙化，当流沙化的沉积物被海底底流搬运后，便在海底形成“新鲜的”麻坑，此时麻坑下形成单一的气体运移通道（D）。由于气体黏度远小于水的黏度（约为1/60），气体排放异常迅速，游离气藏中气体会很快排干，流体渗漏通道中的气流逐渐退化（E），孔隙流体压力回归静水压力，孔隙水重新占据水合物封闭层和流体渗漏通道的孔隙空间，在气量通量减小体系温度降低的过程中伴随者水合物的生成（此文中不做详细论述），并因此减小了流体流动速度，少量气体仍可滞留在流体渗漏通道内，在地震记录上显示为气烟囱，水合物层底部的毛细管封闭作用恢复，水合物层之下游离气的聚集过程再次启动（F）。

图1 水合物下伏游离气渗漏概念模型示意图[11]

Z为海底以下深度，h为水合物稳定带厚度（或水合物封闭层深度）。黑色带表示毛细管封闭层，浅灰色表示气体所占据孔隙沉积层。A.气体被封闭在水合物层之下；B.气体刺穿封闭层开始泄漏C.气柱高度增加，推动水流向外排出，水流柱高度相应缩短，流体运移速度不断增加；D.含水流沉积中孔隙压力超过静岩压力，在海底出现麻坑，形成单一的气流通道；E.游离气藏中的天然气被逐渐排空，孔隙超压消失，流体通道中的气流柱逐渐退化；F.气流柱完全消失，在海底留下气烟囱，并有水合物生成，水合物封闭作用恢复，并开始新的气体聚集

2 游离气渗漏过程的数学模型

气体渗漏过程中（图1）气柱和水柱都是在游离气超压的驱动下流动，流体运移的总驱动力等于气体超压（ρw－ρg)gd。气流柱不断增大，并且以同一速度推动渗漏通道内的上覆孔隙水向上流动。假定水合物稳定带为一种均质孔隙介质，渗漏通道内流体（水和气）的渗漏速率相同，孔隙介质内流体渗漏模型可用达西定律描述为

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其中：Δp为流体运移总推动力，是施加在气流柱和水流柱上的压降之和（Δpg＋Δpw），或者是气流阻抗与水流阻抗之和，等于气层底部的超压（ρw－ρg)gd；ρ为流体密度；d为游离气层的厚度；μ为流体黏度；V为流体速度；k为沉积体的渗透率；krg和krw分别为沉积体孔隙气和水的相对渗透率；hg和hw分别为气流柱和水流柱的高度。

假定气流柱中气的饱和度和水流柱中水的饱和度均为1，气和水的相对渗透率为1。由方程（1），流体（气体和水）的运移速度表示为

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在方程（2）中，若 可知流体运移速度随气流柱高度（hg=h-hw）的增长而增加。对方程（2）进行积分得到气柱增长方程：

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利用方程（3）既可以计算渗漏气流柱增长到某一高度所需要的时间，也可以计算某一时间点水合物稳定带内气流柱的高度。

由方程（1）和方程（2）可知，孔隙介质中单位长度流体柱所受阻抗随气流柱高度的增加（或水流柱高度的减小）而增加，也就是说沉积物格架所受流体的反作用力（流体阻抗）逐渐增加，当流体阻抗超过相应沉积体的静岩压力时，相应沉积层将被流体化而成为流沙[20]，渗漏流体速度须满足 。流沙沉积被海流移除后在海底形成麻坑，被流沙化沉积体的底界确定了麻坑深度。用 替换方程（2）中流体速度V，麻坑深度hpm替换水流柱高度hw，即可得到麻坑深度方程：

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方程（4）中，若μw≌60μg、krw≌krg≌1（假定水流柱中水的饱和度和气流柱中气的饱和度近似为1），方程（4）可简化为

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在一定的温压条件下流体密度和黏度为常数[12]。因此，方程（5）中麻坑深度可近似为水合物下伏的游离气层厚度（d）和水合物封闭层深度（h）的函数，与沉积体的渗透率无关。模型计算中所有参数取国际标准单位。

3 模型应用及讨论

美国卡罗莱纳外海的布莱克海台区是典型的水合物发育区，既有完美的BSR显示，又有游离气的渗漏活动及在海底形成的麻坑[6,21-22]。大洋钻探计划（ocean drilling program)1 64航次对布莱克海台进行了钻探取心研究，其中997站位钻至海底之下750 m，穿过了BSR（海底之下450 m），其中180～462 m 层段含水合物，水合物平均饱和度为6％，位于水合物稳定带底部（462 m）的水合物体积分数最高为24%[4]。996站位于布莱克底辟链的最南端，处于997站位西北98 km，最大钻孔深度为63 m，刚好位于麻坑之中，地震剖面显示该区BSR深度为440 m，深部底辟作用使上覆地层变形、形成小型断层，成为有利的流体渗漏通道，在海底发育有深4 m、直径50 m的麻坑，并且正在发生气体渗漏（图2），钻探获得的水合物体积分数高，最高达沉积孔隙的99%[6,21-23]。

驱动流体运移的气体超压取决于游离气层的厚度。如果下伏游离气层厚度达100 m（图1），其总的流体驱动力（等于气体超压）可达到 MPa；如果游离气层厚度为22 m，流体超压驱动力为 MPa（图3最左端A点）。渗漏开始时水流柱高度分数（等于hw/h）为1，总水流阻抗等于气体总超压，整个气流柱高度增加而降低。但是由于水流速度增加，施加在单位长度水流柱上的驱动力和相应的黏滞力增加，水流阻抗逐渐趋近海底相应深度沉积层静岩压力，且在水流柱高度分别小于40 m（对于游离气层厚度为100 m）和4 m（对于游离气层厚度为22 m）时水流阻抗超过沉积介质的质量（图3D点）。该位置以上的沉积物被流沙化[20]，转变成颗粒悬浮的液状混合体，这种流沙化沉积被海流搬运后在海底形成麻坑。利用方程（3）可以计算游离气从水合物稳定带底部渗漏到达海底所需的时间。假定渗漏率为10-12m2时， 100 m厚的游离气层泄漏到海底的时间大约为5 a。

图2 布莱克海台地震反射强度剖面揭示的BSR、底辟构造、海底麻坑及与ODP977站位揭示的BSR深度比较

a.地震反射强度显示布莱克海台水合物发育、气体聚集以及底辟构造顶端的流体渗漏[22];b.为ODP997站位BSR揭示的水合物封闭层深度[21]

图3 渗漏通道中的流体阻抗和含水沉积层的静岩压力曲线交点指示麻坑深度

水合物稳定带中气流柱高度增加（顶部坐标向右），水流柱高度减小（底部坐标向右），水流阻抗和静岩压力随之减小，水流阻抗大于静岩压力时发生流沙破坏，曲线交点位置指示麻坑深度（D点）。布莱克海台100 m的游离气层发生渗漏时在海底可形成40 m深的麻坑，而22 m厚的气层泄漏时可形成4 m深的海底麻坑（最右边灰色阴影）

方程（2）中流体渗漏速率与渗透率成正比，但方程（4）中麻坑深度不依赖于沉积体渗透率，只是水与气体相对渗透率比的函数，而相对渗透率决定于孔隙流体的饱和度[12]，因此沉积体渗透率控制流体渗漏速率，但不控制麻坑形成。实际上，渗透率越大，气体渗漏越快，麻坑形成越快；气体超压在水流柱和气流柱之间的分配不依赖于渗透率，而是决定于气体的超压幅度，以及流体黏度和气流柱高度（或水流柱高度）。

利用方程（5）可以简单计算海底麻坑深度，同时在已知水合物底界（封闭层）深度和麻坑深度，也可以通过方程（5）计算游离气层的厚度。图4显示麻坑深度与游离气层厚度和封闭层深度的关系。在给定封闭层深度，麻坑深度随游离气层厚度的增加而增大，相反较深的沉积层厚度削弱了渗漏流体对麻坑的挖掘作用，水合物封闭层越浅，形成一定深度的麻坑所需的游离气层厚度越小。

图4 水合物封闭层深度和麻坑深度与游离气层厚度的关系

麻坑深度主要决定于游离气层厚度和水合物封闭层埋深，与游离气层厚度呈正比，与水合物层埋深呈反比。如果水合物封闭层深700m，形成4m深的麻坑需要27m的游离气层，如果水合物封闭深度为440 m，则需要22 m的游离气层，如果水合物封闭层深100m，仅需要1l m厚的游离气层

地球物理显示布莱克海台ODP996站位周围的BSR深度为440 m，而在ODP996站位正下方游离气藏气体沿底辟构造上升至大约220 m（图2）处，在沿小断层渗漏至海底，由方程（5）可知麻坑深度与渗透率无关，取决于游离气藏的埋深和游离气层的厚度。对于海底4 m深的麻坑，计算表明在水合物层之下至少需要有22 m厚的游离气层。苏正和陈多福[4]计算了布莱克海台997站位的水合物和游离气体积分数分布，在水合物稳定带底界之下26 m处的气体饱和度为28％，底界之下74 m处气体饱和度为％，其中水合物体积分数分布与同一区域的ODP995站位是相近的[24]。28％的气体饱和度大于气体流动所需20％的饱和度，而底界之下74 m处％的气体饱和度不能流动，也不能传递孔隙气体压力。如果20％的饱和度指示可传递气层的底界，则气层的有效压力传递厚度约为30 m，这与笔者22 m厚的游离气层模型计算结果相近（图5）。实际上，该钻位水合物平均体积分数约为6%[4]，可封闭气层厚度为24 m（三角点所示），接近模型估计的22 m。此外，在水合物稳定带底部的水合物饱和度达24%[4]，其毛细管作用可封闭约33 m的游离气层（菱形点所示），与Flemings等[25]估计的极限破坏厚度29 m相似（虚线所示位置），接近但略小于30 m的参考厚度。然而，在996站位游离气发生泄漏后， 997站位扩散型水合物的体积分数仍在持续增加[26]，水合物层的封闭能力也相应增强，游离气层厚度不断增长，因此，997站位游离气厚度（30 m）大于996站位游离气发生泄漏时的22 m气层厚度是合理的。

图5 布莱克海台的水合物饱和度和所能封闭的游离气层厚度

气层厚度随水合物饱和度增加而增高，水平虚线与气层厚度曲线的交点（29 m）为Flemings等预测的997站位气层的临界水力压裂厚度[25]，圆形点标示约30 m的实际气层厚度，三角形点显示平均饱和度6％的水合物能封闭24m的气层，而饱和度24％的水合物可封闭33 m的游离气层（菱形点）

4 结语

本文构建了水合物层下伏游离气渗漏动力学过程的数学模型，游离气被水合物层的毛细管作用所圈闭，下伏游离气的超压随游离气层的增长而增加；当气体超压超过作用于水合物与游离气层界面的毛细管阻力时，游离气渗漏进入上覆水合物稳定带，并以“活塞式”驱动上覆孔隙水向外排出，渗漏速度随水流柱高度的减小而增加；当水流阻抗超过相应层段的静岩压力时沉积体变为流沙，流沙沉积被海流带走便在海底留下麻坑。模型显示麻坑深度为游离气层厚度和水合物封闭层埋深的函数，而与沉积介质的渗透率无关。游离气渗漏形成的海底麻坑对水合物下伏游离气层的厚度具有指示作用，在已知水合物封闭层深度和海底麻坑深度条件下，模型可以计算水合物层下伏游离气藏发生渗漏时的气层厚度，在布莱克海台海底发育有4 m深的麻坑，它的形成需要至少22 m厚的游离气层。

致谢：挪威国家石油公司Martin Hovland教授提供了全球麻坑基础资料和最新信息，表示感谢。

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朱生旺1，2曲寿利1魏修成1刘春园3

（1.中国石化石油勘探开发研究院，北京100038；2.中国地质大学（北京），北京100083；3.中国石油大学（北京），北京102249）

摘要 研究复杂介质中地震波传播规律及地震响应特征需要在细小网格剖分下进行弹性波方程数值模拟计算，而小网格下的数值模拟计算将带来巨大的计算量问题，采用变网格计算是减少计算量的有效途径。本文给出一种变网格差分计算的实现方法，在局部复杂介质区域采用细网格计算，其余区域采用粗网格计算，在两种网格的过渡区通过改变差分算子和波场插值实现波传播的过渡衔接。该实现方法的特点是：①在所有计算节点均采用交错网格计算方式；②估算空间一阶导数时，保持差分计算节点的对称性；③可选择任意阶计算精度。该方法的计算结果表明，粗细网格的过渡不会对地震波传播模拟带来影响，从而达到了既减少计算量又保证计算精度的目的。

关键词 弹性波方程 数值模拟 变网格差分 频散

Elastic Modeling on A Staggered Grid with Varying Spacing

ZHU Sheng-wang1，2，QU Shou-li1，WEI Xiu-cheng1，LIU Chun-yuan3

（ ＆ Production Research lnstitute，SlNOPEC，Beijing100083； University of Geoscience，Beijing100083； University of Petroleum，Beijing102249）

Abstract It is necessary to use small grid in elastic wave equation modeling for researching the law of seismic wave propagation and feature of seismic response in complex is an effective scheme to calculate on a staggered grid with varying spacing which can reduce the enormous calculation amount caused by using the small grid calculation article proposes the finite difference method in which small grid is used for local complex medium，and big grid is used for transition region between two kinds of grid，transient conjugation of wave propagation is implemented by changing the difference operator and applying wave field trait of this way includes：（1）Keeping staggered-grid calculation mode in all operation node；（2）Maintaining The symmetry of operation node in estimating spatial first derivate；（3）Any precision order available in finite difference result of the way indicates that the simulation of seismic wave propagation will not be affected by using two kinds of grid，and as a result，not only the calculation amount decreases，but also the high calculation accuracy remains.

Key words elastic wave equation modeling staggered-grid dispersion

在复杂油气藏的勘探开发中，地震数值模拟（正演）发挥着越来越重要的作用。利用地震方法进行储层预测，首先要研究储层的地震响应特征，找出与储层最为相关的地震属性，进而优选储层预测的技术方法，地震数值模拟是研究储层地震响应特征不可缺少的手段。

对复杂储层或地质体进行地震数值模拟需在足够小的空间网格上进行计算，以保证地质模型的局部变化细节能够准确地反映到数值模拟结果中来，即确保数值模拟结果能够较为精确地反映介质的小尺度非均质性引起的波场变化。在正演计算中，为保证计算收敛，空间和时间方向的采样率必须满足收敛条件，由弹性波方程有限差分正演的收敛条件［1，2］知，减小空间计算网格尺度的同时，时间方向的递推计算步长也必须大体上做相应比例的减小，即空间计算网格点数增加 n倍，意味着计算量将增加 n2倍。因此，若对整个模型采用细小网格计算所面临的问题是计算量太大，即使是二维模型的正演计算，譬如使用1m×1m 或更小尺度的计算网格，当采用能够反映实际地震反射深度的地质模型时，模拟多次覆盖采集，其计算量亦十分惊人。实际中的数值模拟一般是针对某一特定的地质目标（或储层），且地质目标仅占据整个模型很小的一部分，对计算网格仅要求在该地质目标处细化，于是，采用变网格计算，即在目标地质体区域采用较小的计算网格，而在该区域以外采用较大的计算网格就可以大大地减少计算网格节点的数量，从而可在很大程度上降低计算量。

为减少计算量，提高数值模拟的计算效率，Jastram C和Tessmer E提出了单方向上变网格计算方法［3］，文献［2］亦强调采用变网格计算技术，但没有给出具体实现方法。采用变网格进行差分计算的关键是解决好网格尺度变化处的波场过渡衔接问题，保证在过渡区不会因网格尺度变化产生明显的计算噪声。本文基于二维弹性波方程数值模拟的交错网格差分算法，通过引入不等间距节点情况下一阶导数的高阶精度差分计算式，结合波场的高阶精度插值和粗细网格过渡区的计算节点选取技巧，给出弹性波方程变网格正演计算的实现方法，应用结果表明，该方法能够得到满意的计算精度，在过渡区不会产生明显的因网格尺度变化带来的附加计算噪声。

1 利用对称任意间距节点估算一阶导数的高阶精度差分近似式

在沿时间方向的递推计算过程中，提高波场函数空间一阶导数的估计精度是弹性波方程数值模拟研究的关键内容之一。对于固定差分网格，通过应用等距节点高阶精度的差分算子可实现空间导数的高精度估算［1，2］。对于局部采用细网格的非固定差分网格情况，在粗、细网格区域内部可分别应用上述等距节点的高阶精度的差分算子，而在粗、细网格过渡区，本文采用下面导出的具有任意节点间距的差分算子估算一阶导数值。

设在x方向上以点x0为中心对称分布2N个网格节点，其x坐标分别为x0-qNΔx/2，…，x0-q1Δx/2，x0+q1Δx/2，…，x0+qNΔx/2，如图1 所示，这里Δx为节点间的最小间距。由2N个节点处的函数值f（x0-qNΔx/2），…，f（x0-q1Δx/2），f（x0+q1Δx/2），…，f（x0+qNΔx/2）可给出函数f（x）在点x0处的一阶导数估值。由泰勒展开有：

图1 估算一阶导数的对称计算节点示意图

油气成藏理论与勘探开发技术

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两式相减，得

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略去（1）式中误差项O（（qiΔx/2）2N+1），将精确的f（i）（x0）换成f（i）（x0）的估计 （x0），并写成矩阵形式，则有

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记

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设A-1为A 的逆，即 AA-1=I，则（A-1）TAT=I，即（A-1）T为 AT的逆，从而有 AT（A-1）T=I，右乘向量e1得

AT（A-1）Te1=e1 （3）

（3）由方程（2）知

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记向量（A-1）Te1=（c1，c2，…，cN）T，代入式（4）则有

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且由式（3）及（A-1）Te1=（c1，c2，…，cN）T知cn（n=1，2，…，N）满足方程

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式（5）即为用对称任意间距节点计算一阶导数的计算式，cn（n=1，2，…N）通过求解方程（6）得到。若取qn=2n-1（n=1，2，…，N），则cn（n=1，2，…，N）即为等距节点情况的一阶导数具有2N阶精度差分近似的差分系数。

将f（x）做傅氏变换变换到波数域，即f（x） F（k），对f（x）一阶导数进行傅氏变换则有f（1）（x） .i2πkF（k），即f（x）可看作是对f（x）进行的空间线性滤（1）波结果，其滤波响应为i2πk。用f（x）离散点的值估算∂f/∂x得 （x），亦看作是对f（x）进行的空间线性滤波结果，记其滤波响应为 （k），由式（5）知 （k）= cnsin（πkqnΔx）。记

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显然，用 （x）作为f（1）（x）的估计，其精度可由 （k）逼近i2πk的程度，即e（k）来反映。

2 一阶导数的变网格有限差分估算

采用变网格计算，以x方向的一阶导数估算为例来说明两种网格过渡处的处理方法。设细网格节点间距为Δx，粗网格节点间距为mΔx，即粗网格节点间距是细网格节点间距的m倍。为表述方便，不妨取m=3，采用10阶精度，即N=5，如图2所示。图中 表示粗网格节点； 表示粗网格中的加密节点，其与粗网格节点一起组成细网格节点；“+”为求导点位置。①～⑥为粗细网格过渡区的6个一阶导数计算点，计算该6个点处的一阶导数所用的网格节点分别在图2中标示，其中①及其左边大网格区的各计算点按粗网格计算；⑥及其右边的细网格区各计算点按细网格计算；②～⑤4个点需按式（5）计算。

图2 两种网格过渡区计算示意图

一般取2N阶差分计算精度时，在粗、细网格分界的细网格一侧共有N-1个计算点需要采用如式（5）给出的对称不等间距节点差分算子进行一阶导数估算，每一个点的差分算子不同，加上粗网格和细网格内部计算点的差分算子，这样共有N+1个不同的差分算子。N+1个不同的差分算子可事先算好存于内存数组中供每次计算调用。

图3 10阶精度（N=5）不同计算点差分算子对应的滤波响应

①～⑥分别为图2中对应计算点的差分算子的滤波响应；⑦为理想的滤波响应

图3 给出的是图2中的①～⑥求导计算点的估算一阶导数差分算子的滤波响应。对于计算点⑥，由于参加计算的节点为细网格中的相邻2N个网格节点，显然其差分算子的滤波响应与理想的滤波响应最接近，精度最高；对于计算点①，参加计算的节点为粗网格中的相邻2N个网格节点，其差分算子的滤波响应仅在低波数与理想的滤波响应接近，精度最低；而对于计算点②～⑤，精度介于计算点①与⑥之间，且随着参加计算的近距离点增加，其精度越来越高。

在粗细网格过渡区一阶导数的估计精度不一致可能会引起反射，附加计算噪声，现对此做出分析。

用有限差分方法估算空间一阶导数的精度由差分频散决定，有限差分算子的滤波响应只能在低波数段逼近一阶导数算子的滤波响应，在高波数段将出现严重的频散。设kα为具有可接受差分频散水平的最高波数，即在k≤kα的低波数区， （k）与i2πk足够逼近，频散很小，对最终正演结果的影响可忽略不计。记kα=αkN，这里kN=1/（2Δx），0＜α＜1，α值由差分算子决定，如：对均匀网格时的10 阶精度的差分算子，可认为α约为。又设模拟地震波场的最大波数为kmax，它由子波最高频率fmax与最低速度vmin决定，即kmax=fmax/vmin。为了使有限差分数值模拟计算结果不受差分频散的显著影响，必须选取Δx满足α/（2Δx）=kα＞kmax=fmax/vmin，即

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式（7）是保证数值模拟计算精度的空间离散步长Δx应满足的条件，只要满足条件（7），则在波数范围［0，kmax］内差分频散误差可忽略。

采用变网格计算，粗网格尺度也应该满足式（7），即

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否则波场在粗网格区传播就会产生强的频散噪声。式（8）成立，则条件（7）必然满足，由前面对两种网格过渡区的差分算子精度的分析结论知，此时过渡区的差分算子均满足精度要求，即kα＞kmax。既然所有差分算子都能够满足不产生明显的差分频散噪声的要求，差分算子变化也将不会引起明显的计算误差。

因此，对于两种网格过渡区波场传播的衔接问题，上述分析的结论是只要粗网格计算满足精度要求，即不产生明显的差分频散，则按本文的计算方法，在两种网格的过渡区不会出现明显的反射噪声，波场传播的模拟精度基本不受计算网格变化的影响。

3 弹性波方程变网格有限差分正演模拟的实现

实现方法

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以二维弹性波方程数值模拟计算来说明变网格有限差分法的实现。利用二维弹性波方程进行有限差分正演计算，在交错网格中的递推算式为

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上式中， 和 分别表示 （x，z，t） 和 ∂z（x，z，t） 的有限差分估计，余类推。在式（10）中，ρ，c11，c13，c33及c55都是空变的，为书写简洁，略去了其空间下标。计算中对边界的处理是，在顶边界采用自由边界条件，在其他数值边界则采用PML吸收边界条件［4，6］。

图4 粗、细两种网格中计算节点的布排

在一定的网格尺度下，交错网格计算具有精度高的优点。当采用变网格，即在模型局部用细网格剖分进行计算时，关键是要合理布置计算节点，以保证在所有计算节点均能采用交错网格计算方式。图4 以粗细网格尺度比等于3 为例，给出本文采用的计算节点布排方式，不难看出，要保持交错网格的计算方式，x和z方向粗细网格尺度比 mx和 mz都必须为奇数。

对波场递推计算中空间一阶导数的有限差分估算，根据节点所处位置，分为 3种情况分别处理（为简化图示，不妨设差分算子长度N=2，即4阶精度）：

（1）对细网格区域之外（图4实线框之外）的计算节点采用粗网格进行计算；

（2）对细网格区域内部（图4虚线框内）的计算节点采用细网格进行计算；

（3）对细网格边界区域（图4虚线框与实线框之间）的计算节点按图2描述的方法进行计算，但在计算前对参与计算的某些点（图4 中空心点所在的位置）的波场值需要通过内插得到，本文采用拉格朗日插值方法，内插阶数与差分算子的阶数相同。

算例

首先，用一个均匀介质模型检验网格变化是否对模拟波场传播产生明显的影响。

如图 5 所示，模型大小为 1000m×1000m，vP=3000m/s，vS=1800m/s，ρ=，vz震源位于模型正中位置，采用两种网格划分进行正演计算。第一种网格划分如图5（a）所示，在225～275m深度段（图中阴影部分）用1m×1m的细网格，其余部分用5m×5m的粗网格，采用该变网格进行正演计算，图5（b）和（c）分别是160ms时刻的x分量和z分量波场切片；第二种网格划分如图5（d）所示，在725～775m深度段（图中阴影部分）用1m×1m的细网格，其余部分用5m×5m的粗网格，采用该变网格进行正演计算，图5（e）和（f）分别是160ms时刻的x分量和z分量波场切片。比较两组计算结果可以看到，图（b）与（e），（c）与（f）几乎没有差别，即局部采用细网格对波场传播没有带来明显的影响。为了看得更清楚，将沿过震源的垂直线上（图5（d）中虚线所示）的波传播情况显示于图6，从向上、向下两个方向传播的波的一致性可知，波通过细网格区域时没有产生反射噪声。

图5 变网格计算与波场切片

其次，通过一个含不同尺度圆形洞的介质模型正演结果观察变网格差分计算的效果。

如图7所示，模型大小为1500m×600m，vP=5000m/s，vS=3000m/s，ρ=，在模型中部500m深度上分布3个半径分别为5m，10m，20m的3个圆形洞，洞间相距200m，洞内vP=1800m/s，ρ=。模拟野外地震观测，炮间距10m，道间距5m，排列长度为1500m，中间激发，激发震源处于模型中部地表，激发子波主频为40Hz，采用变网格计算，粗网格尺度为5m×5m，细网格（图7上的白色虚线框内）尺度为1m×1m，共得150个炮记录，抽出零偏移距剖面，其结果如图8所示。图9（a）是激发点位于模型中部的一炮记录；图9（b）是与图9（a）相对应的对整个模型用1m×1m细网格计算的炮记录。将这两个炮记录进行对比可看到二者差别甚微，证实采用变网格计算基本没有降低计算精度。但采用变网格计算却极大地减少了计算量，就该模型来说，如果对整个模型采用1m×1m的网格进行计算，其计算量约为采用上述变网格计算的计算量的15倍。不难看出，如果对更大尺度的模型进行正演计算，采用变网格计算对减少计算量就显得更有必要。

图6 变网格对波场传播影响测试

图7 含圆洞的介质模型

4 结论

在对复杂介质进行数值模拟计算时，采用变网格计算是解决计算精度与计算量之间矛盾的有效途径。理论分析和数值模拟结果表明，本文给出的适应变网格计算的弹性波方程正演模拟实现方法保持了交错网格高阶差分的精度高特点，在粗细网格过渡区不产生人为反射噪声，是一种在保证计算精度前提下减少计算量的有效实用方法。

图8 圆洞模型的零偏移距剖面

图9 变网格与固定小网格计算的炮记录对比

参考文献

［1］董良国.一阶弹性波方程交错网格高阶差分解.地球物理学报，2000，43（3）：411～419.

［2］牟永光，裴正林.三维复杂介质地震数值模拟.北京：石油工业出版社，2005.

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［4］Francis Collino，Chrysoula of the perfectly matched absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in an isotopic heterogeneous ，2001，66（1）：294～307

［5］Cunha C modeling in discontinuous ，1993，58（12）：1840～1851.

［6］Rune boundary conditions for elastic staggered-grid modeling ，2002，67（5）：1616～1623.