常微分方程线性多步法毕业论文

本文归纳常见常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程数值解算例实现。

考虑常微分方程的解析解法，我们一般可以将其归纳为如下几类：

这类微分方程可以变形成如下形式： 两边同时积分即可解出函数，难点主要在于不定积分，是最简单的微分方程。

某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

形如 的方程叫做一阶线性微分方程，若 为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法： (直接套公式)

伯努利方程 形如 的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程： 令 , 方程两边同时乘以 ，得到 即 . 这就将伯努利方程归结为可以套公式的一阶线性微分方程。

形如 的方程称为二阶常系数微分方程，若 ，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

首先假设 .用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解： 解的情况分为以下三种：

情况一：方程有两个不同的实数解

假设两个实数解分别是 , 此时方程的通解是 情况二：方程有一个二重解 假设该解等于 ，此时方程的通解是 情况三：方程有一对共轭复解 假设这对解是 , 此时方程的通解是

对于 和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：

形如 的方程叫做高阶常系数微分方程，若 ，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

问题一:两点边值问题的解析解

由于此方程是非齐次的,故 求解此类方程分两步：

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

首先假设 . 用特征方程法，写出对应的特征方程 求解得到两个不同的实数特征根: .

此时方程的齐次通解是

由于 . 所以非齐次特解形式为 将上式代入控制方程有 求解得: , 即非齐次特解为 .

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

于是,原方程的全解为 因为该问题给出的是第三类边界条件,故需要求解的导函数 且有 将以上各式代入边界条件 解此方程组可得: .

综上所述,原两点边值问题的解为

对一般的二阶微分方程边值问题 假定其解存在唯一, 为求解的近似值, 类似于前面的做法,

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

问题二:有限差分方法算出其数值解及误差 对于 原问题 ,取步长 h= ,用 有限差分 求其 近似解 ,并将结果与 精确解y(x)=-x-1 进行比较.

因为

先以将区间划分为5份为例，求出数值解

结果:

是不是解出数值解就完事了呢？当然不是。我们可以将问题的差分格式解与问题的真解进行比较，以得到解的可靠性。通过数学计算我们得到问题的真解为 ，现用范数来衡量误差的大小：

结果:

接下来绘图比较 时数值解与真解的差距：

结果:

将区间划分为 份, 即 时.

结果:

绘图比较 时数值解与真解的差距：

最后，我们还可以从数学的角度分析所采用的差分格式的一些性质。因为差分格式的误差为 ， 所以理论上来说网格每加密一倍，与真解的误差大致会缩小到原来的 . 下讨论网格加密时的变化：

结果：

我只会前两种方法，即欧拉法和龙哥库塔法。后面的不是很熟悉

计算方法又称数值分析。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法，计算方法主要内容包括函数逼近论、数值微分、数值积分、误差分析等，常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等，现代计算方法要求适应电子计算机的特点。

误差与原则误差种类模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差，法则加减运算近似数加减时，把其中小数位数较多的数四舍五入，使其比小数位数最少的数多一位小数，计算保留的小数位数与原近似数最小数位数最少者相同。

乘除运算近似数乘除时，各因子保留位数应比小数位数最少的数多一位小数，计算保留的小数位数与原近似数最小数位数最少者位数至多少一位，乘方与开方运算近似数乘方与开方时，计算保留的小数位数与原近似数位数相同，对数运算近似数对数时，计算保留的小数位数与原近似数位数相同，注意避免两个相近的数相减，避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法，避免大数吃掉小数，计算讲效率，尽可能减少运算。

计算方法的特点

插值方法Lagrange插值线性插值、抛物线插值，Newton插值，分段插值，Hermite插值，分段三次Hermite插值，三次样条插值，最小二乘法直线拟合与多项式拟合，数值积分机械求积法梯形公式、中矩形公式、Simpson公式，Newton-Cotes求积法，复化求积法复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式，Romberg求积法，Guass求积法，数值微分求积法。

常微分方程的数值解法尤拉方法尤拉法、隐式尤拉法、二步尤拉法，改进尤拉方法，龙格-库塔方法，线性多步法亚当姆斯方法， 方程求根的数值解法二分法，迭代法，埃特金法，牛顿法牛顿下山法，近似牛顿法简化牛顿法、弦截法抛物线法，线性方程组的解法高斯消去法顺序消去法、列主元消去法、全主元消去法，矩阵三角分解法，追赶法平方根法，范数，简单迭代法Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法。