有关数学严谨性论文的参考文献

人类对时空认识的探讨 摘要：人类对时空的认识经历了一个漫长、复杂和曲折的过程，在远古时代人们认为天方地圆，后来有了牛顿的绝对时空观，又有了爱因斯坦的相对论时空观，建立了在混沌分形理论基础上的时空观，近年又出现了在“光速改变”（VSL）理论基础上的新时空观，而建立在“超弦理论”基础上的多维时空更让人感到人类对时空的认识是一个永无止境又难以定论的话题。 关键词：天方地圆 绝对时空 相对时空 混沌分形 光速改变 超弦理论 多维时空 物理学和现代高科技经过百年的飞速发展，人类已经进入了一个全新的时代。但是物理学仍然面临许多迫切需要解决的问题，爱因斯坦终生没有解决的统一理论至今没有解决，另外弦理论还需要完善，宇宙大爆炸学说对普朗克时间[宇宙诞生的0.（42个零）1秒前]和黑洞的无奈，还有一些重大物理实验和所观察的现象无法用现有理论进行解读。伴随着新世纪到来物理学所面对的也和百年前一样是层层迷雾，超越爱因斯坦理论的物理学理论有可能出现。人类对时空的认识是一部不断发现、纠正、完善和挑战前人理论成果的科学。下面笔者从天方地圆的平直时空观到爱因斯坦相对论时空观，以及建立在超弦理论基础上的多维时空理论进行简介和探讨如下。 一、古老“天圆地方”的平直时空观 人类至产生以来，就可望对自己生存的环境有一定的了解，对时空观念有一个初步的印象。在中国上古神话中就有盘古开天，清则上升为天。浊则下沉为地之说，他们认为天方地圆。因大神共工撞倒不周山撑天柱，所以天倾西北，地倾东南，则有日月星晨从东方升起，西方降落。人类从产生时起就不断地研究时间和空间的问题。人类为了生存和发展，要了解宇宙，了解天气的变化，想知道风雨雪雷电是怎样产生的，一年四季如何变化，何时播种，何时收获。天与地本来是个巨大的空间，激发了我们的无限的想象和兴趣，可在封建社会，人们一直认为他们生活的在绝对平面上，地球是平的。有人称之这一时期宇宙定律为毕达哥拉斯定理（国人称之为勾股定理），既a2+b2 = c2，“毕达哥斯拉定理不仅在数学上的美是合理的，同时通过近代对它的研究还产生了著名的费马定理。费马定理在上个世纪80年代和90年代才被证明。 a2+b2 = c2不仅具有几何的美，更反映了人类对时间和空间的美的认识。它是一种平面思维的时空观。是人类认识自然的第一个重大的完美的定理。”（转至朱伟勇 朱海松《热抽象》P7） 近代由于航海发达等因素，人们看到远处出现的船不是简单的由小到大，而是好像从远处海平面以下钻出来一样，于是人们开始对海平面是否真的平，地球是否真是无限大的平面开始的怀疑，由于对地球形状的各种猜测，其中毕达哥达斯从球形是最完美的几何体的观点出发，认为大地是球形的，太阳、月亮和行星作匀速圆周运动思想。他认为地球沿着一个球面围绕着空间一个固定的“中央火”转动，另一侧有一个“对地星”与之平衡。这个“中央火”是人类永远看不见的。他认为天上发光体必然有十个，这十个天体到中央火之间的距离同音节之间有同样的比例关系，以保持星球的和谐，从而奏出天体的音乐。这使人想起了目前的超弦理论。（参考朱伟勇 朱海松《热抽象》P5）。 二、以“经典力学”为理论基础的绝对时空观 希腊人用几何方法来解释行星的运动，公元2世纪时出现的托勒密地心体系就是这些学说的代表。这个体系统治了十四个世纪之久，直到16世纪哥白尼日心体系的出现，到了17世纪以惯性系为基础的伽利略相对性原理的出现。于是有了以牛顿三大运动定律和万有引力定律为基础的经典力学的建立，也有了以经典力学为基础的绝对时空观念。牛顿认为绝对真实的数学时间，就其本质而言，是永远均匀地流逝，与任何外界无关。绝对空间就其本质而言是与任何外界无关的，它从不运动，并且永远不变。认为空间是立体的，OX、OY、OZ构成三维立体的空间，而且他把空间和时间分割开来，空间对时间没有明确定义，而是一个自然流动的均匀变化轴。经典时空认为同时的绝对性，时间间隔的绝对性，空间距离的绝对性，质量的不变性。所以时间、长度和质量这三个基本物理量在经典力学中都与参考系（观察者）的运动无关。 3.以“光速不变”为理论基础上的相对论时空观 1905年，爱因斯坦连续发表了5篇文章中，狭义相对论彻底改变了人们的时空观念。根据这一理论，“时间或空间因时因地而异，会发生膨胀或收缴”。后来这个理论发展成为一种用来解释宇宙现象的引力理论，既广义相对论。狭义相对论两条基本假设是：一是相对性原理。在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的；二是光速不变原理，不管是有哪个惯性参考系中，测得真空中的光速都相同。 关于“同时的相对性原理”的说明要从“爱因斯坦的奶牛梦”说起，爱因斯坦在青少年时做了一个很特别的梦，其梦境如下，在一个风景如画的牧场上有许多奶牛在带电的栅栏附近懒散的吃着草。当农夫给栅栏通上电时，农夫看到三头牛依次跳起来，而站在对面的爱因斯坦却看到三头牛一起跳起来。（参考《比光速还快》/P11¬¬¬¬---P8/乔奥.马古悠(Joăo Magueijo)著）那么在以上现象中，农夫和爱因斯坦谁错了？答案是谁都没错，这就是相对性原理。如图1所示，当在A位置的农夫合上电源开关起，电流以光速向奶牛的方向运动，当B牛受到电击跳起的景象回到农夫眼前所用总的时间为： 其中C为光速，同理农夫看到C位置的牛跳起距开关合上的时间为： ；农夫看到D位置的牛跳起距开关合上的时间为 。由于三头牛距农夫的距离不同，所以对农夫来说三头并不是同时跳起的。对于在农夫对面的观察者E来说，由于光和电传播的速度相同，因此，他看到的是三头牛同时跳起，对于同一类事件，由于观察者的位置不同，看到的其发生的时间是不同的，这就是相对性原理。爱因斯坦认为宇宙中不会有绝对静止的场所，从而否定了牛顿的绝对坐标，他认为任何惯性系（静止或匀速运动的系统）都与静止场所（坐标）没有区别。这就是狭义相对论的基础之一“相对性原理”。而狭义相对论的另一个基础就是“光速不变原理”，既使观测者或光源在移动，光对于观测者总是以每秒30万千米的速度行进。 相对论一个核心问题就是认为时间并不是绝对的，高速运动（接近光速）的物体，时间流速变慢，用公式 表示。其基本原理如图2所示，若飞船以接近光速向前飞行，在飞船中有一束光由A射向B，根据相对性原理，在飞行过程中，飞船上的人观测到的光运动的时间为： ，既相对于飞船上的观测者光走的是直线；而在飞船外看到飞船运动的观测者来说，这条光线是由A射向D，光线运动所用的时间是： ；显然由于SAD≻SAB=SCD，则有t2≻t1，也就是说对于飞船外的观测者来说，相对于飞船内的观测者，光线运动的时间变长了。 相对论的另一个核心问题是认为高速运动物体（接近光速），空间（长度）将发生收缩。用公式 表示。其基本原理如图3所示，在A处的观测者首先看到飞船的船头C，而此时的船尾在E处，当观测者的目光看到船尾时，船尾已经运动到了D点，而此时船头运动到了C点，这样对观测者来说，他看到的飞船长度只是SCD长度，而不是飞船的原来SCE的长度，飞船在运动方向上被压缩了。 狭义相对论的一个令惊奇的预言就是宇宙间任何物体运动都有一个速度上限，这个上限就是光速。也就是说无论用多么先进和技术对物体怎样加速，物体的速度都不可能超过光速，物体被加速时，其质量增大，所以物体越接近光速，加速就越困难，根据公式 可知，要想使物体达到光速几乎是不可能的。这一点我们仅通过光子在运动时有质量，在静止时没有质量就可见一斑。质量和能量是一会事，用公式 ，既用很小的质量转化为非常大的能量，这也是狭义相对论的一个关键点。 综上所述爱因斯坦关于同时的相对性、运动的时钟变慢、运动的空间收缩和运动的质量变大这四个观点已经彻底颠覆了牛顿的绝对时空观念。而爱因斯坦在把狭义相对论加以发展，将引力也纳入考虑之中建立起来的广义相对论引入的四个原理让我们对时空有了新的认识。其广义相对性原理如下：一是等效原理既在加速运动的场所观测出现的惯性力在本质上与引力没有区别，如在下落的箱子中，引力被惯性力完全抵消，引力滑失，这就是等效原理。二是引力使光线弯曲，因为光在运动时有质量，所以也受到万有引力作用，因此光线在地球或太阳附近发生了弯曲，这可以通过日全食时对隐藏在太阳后面星体的观测得到证明。黑洞也是光线弯曲或受到引力作用的一个证明。三是引力使空间发生弯曲，质量大的天体使光线弯曲，光在空间弯曲的部分也是直线行进，其结果就是在大质量的天体附近空间发生了弯曲，或者说整个宇宙是一个卷曲的空间。四是引力使时间流动变慢，引力越强，时间流动的越慢，在引力特别强的黑洞附近的天体，离它越近，时间流动越慢。如果行进到黑洞视界，时间甚到会停止。与狭义相对论不同的是，在引力强的地点，时间流动不是相对变慢，而是必然变慢，这一点在全球定位系统的运行中，已经得到了证明，且科学家们如果不去修正由于引力变化引起的时钟效益，卫星系统定位就不会在准确了。 四、以“混沌分形”为理论基础上的新时空观 自然界中大部分不是有序的，平衡的，而是处于无序的、非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的无序状态。在非线性世界里随机性和复杂性是其主要特征。但在表现之下还存在着某种自然规律。混沌分形理论以新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无序混乱现象和不规则形态，提示隐匿在复杂系统内部的规律，以及局部和整体之间的联系。 大物理学家约翰•惠勒（黑洞的命名者）说过，将来一个人如果不能熟悉混沌与分形，他就不能被认为是科学上的文化人。分形理论是美国科学家曼德勃罗（B•B•Mandel brot）1975年第一次提出“分形Fractal” 作为一个集合提出来的。分形理论的建立和迅速发展，涉及到几乎整个自然科学和社会科学。分形从字面上来说，分形是极其零碎而复杂的，但又有自相似和自仿性，它们在自然界中普遍存在。如变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、弯转曲折的海岸线、生物神经网络、不断分叉的树枝、江河及支流的走向网络等等。面对这些事物与现象，传统科学显得束手无策，而分形理论却大显身手，成为研究这些复杂事物的有力武器。所谓分形最简单的例子就是一棵树，如折其一主干、分枝、小杈，你会发现它们会有惊人的相似之处，小树杈很像大树的模型，大树又像小树的放大；又如江河的三角洲的相似之处，我们可以从地图上、飞机上、地面上看到从大到江河、小到小溪及细流，其分支形态与三角地带的几何形状成有很多相似之处；又如人体从大到动脉、静脉、小到毛细血管、其走向和分支形态都有同样的相似之处，这就是大自然让我们见到的分形理论。我国的一句名言“齐家、治国、平天下”是说一个人如果能治理好一个家庭，就能治理国家，也能平天下，这是分形理论在社会学上的体现；而“一叶知秋、一芽知春”也是分形理论的早期应用。就连《三国演义》的开篇“话说天下大势，合久必分，分久必合”也是分形理论在历史发展中的应用。综上所述，分形理论是我们对时空观的一次重新的认识。 关于混沌的探索早在二十世纪初许多科学家在研究三体问题中就提出来了，我们知道运用牛顿力学很容易计算出二体运动的轨道，而太阳、地球、月球这三个天体之间共同的运动规律到现在还没有很好的解释，这就是所谓三体问题，也是混沌问题研究的一个重要开始。因为在这个问题中包含许多我们认识自然界的基本的、原始的、直觉的、创新的东西在里面。这需要新思维、新理念、新方法、新理论。在这种历史背景下，人类从新认识自然和时空的理论混沌学出现了。“蝴蠂效应”作为研究混沌问题的著名例子，已经成为许多了解混沌学的一个窗口。“蝴蠂效应”是说明在已经建立的轨道上，在微小的干扰下，运动轨道会发生巨大的变化。为了描述混沌的复杂性系统的极端敏感性，洛沦兹打了个比喻，在南半球某地一只蝴蝶的偶然扇动翅膀所引起的小气流，几个星期后可能变成席卷北半球的一场龙卷风。“十月革命的一声炮响，给中国传来了马列主义”就是引起中国革命和世界社会主义革命的“蝴蠂效应”。而一棵马蹄钉跌倒一个王子，一个王子输掉了一场战争、一场战争失掉了一个王国，同时也改变了整个世界，这就是历史发展中的“蝴蠂效应”。混沌学研究的是无序中的有序，许多现象既使遵循严格的确定性的规律，但大体上仍然是无法预测的，混沌事件在不同的时间标度下表现的相似的变化模式，这与分形在空间标度下表现的相似性十分相似，混沌主要讨论非线性动力系统的不稳、发散的过程，但系统在相空间总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相似。混沌学与分形理论在很大程度上依赖于计算机的进步，并向传统的数学提出了全新的挑战。由于混沌理论的不确定性，和未来的不可预测性和无序中的有序，难免让人想起中国的易经、外国的星象术和一些宗教活动及预测等是否可以归纳为人们经过几千年的探索所解决问题的一种混沌现象呢？而在扑朔迷离的宇宙学中，人们只想用现有普遍的规律解释所观测到的天文现象，而最新的研究在宇宙中有许多我们不可知和难以解释的现象，如2003年10月美国加州理工学院迈克.•布朗（Mike Brown）等科学家发现的新天体能否算做太阳系的第十大行星，在海王星外为什会有大角度倾角轨道天体，在海王星外发现的大约1000多棵行星运动有什么样的规律，在宇宙学中还多少现象也许只能用混沌和分形理论去探索和解释。 五、建立在“光速改变”（VSL）新理论基础上的时空观 伴随着新世纪到来，物理学所面对的也和百年前一样是层层迷雾，超越爱因斯坦学说的物理学理论有可能出现。而剑桥大学理论物理学博士乔奥.马古悠(Joăo Magueijo)提出的VSL理论（varying speed of light “光速改变”理论）是近年来出现的解读宇宙寘实本质的一个不凡的疯狂点子，因为他向爱因斯坦理论的核心发起了挑战。VSL理论是：光速在早期宇宙比现在快，这么假设的话，至少部分宇宙问题不需要暴胀理论就可以解释，事实上在运用光速改变理论解决宇宙之谜时，宇宙几乎在告诉我们，光在以前行进得较快，而最基本的物理学理论似乎必须构建在比相对论更宽的结构上。让人兴奋的是近期澳大利亚国立大学的物理学家们利用稀土元素镨的硅酸晶体，制造出一个“超级光陷阱”。成功将光束“冻住”一秒钟，既然光束能被冻住，那不就是从实验否定了光速是不可改变的理论，证明光速是可以改变的。 按VSL理论里，光速不仅会随宇宙演化而变化，也会在不同空间发生变化，在接近行星与恒星时，这种效应几乎察觉不到，但是靠近黑洞时会有更剧烈的事清发生，研究方程表明，在视界时光速本身可能变为零。根据保守的VSL理论，如同狭义相对论里，光速应是个速限，只是可能会随地点不同而相异，你的速度永远必须比当地的C小，所以当速度极限降到零时，你将遇上终极红灯，你必须停在VSL黑洞的视界前。在悬崖边，你的自杀企图将初被阻止。VSL黑洞会封闭防止灾难。无论我们如何定义时间，这些时钟在靠近黑洞时会滴答的不一样，然而生物过程本身便具有电磁本质，也就是说人们老化的速度事实上便是极佳的电子时钟。我们发现在接近黑洞时，我们会老化的更快，不是因为爱因斯坦所说的时间延滞效应所造成，而是因为电磁作用的发生速度更快所致。因此当我们接近一个VSL黑洞时，心跳会加速，老化也会更快，或者倒过来说，当我们以自己生命的步调来测量，会看到自己朝向视界的运动变慢了。也就是说，就我们来看，接近视界要花上永恒的时间，然而若是C维持恒常，则可能只有一秒闪过而已。在VSL之下，视界更近，但是也是更难达到。VSL黑洞的视界就像是无穷远的目标，像太空无法触及的边缘，界限之后存在着奇妙的永恒。 VSL理论更惊人的理论意义在于当C可能在时间我空间里改变之后，又可能出现一个“快速道路”，建立在VSL场理论和宇宙弦的形式出现，沿着这些弦的方向光速可能会更高，在靠近弦之处的光速会变得更大，仿佛是一个超光速覆盖包含宇宙弦，这会创造一个走廊，具有一个极端高的速度极限延伸到宇宙，而这正是太空旅行所企求的一条快车道。但这甚至比快车道更好！沿VSL宇宙弦，时间仍然延滞效应，但是唯有当旅行者的速度相比于光速时（在这个理论里意味关C当地值），这种效应才会变得明显，既然沿着一个VSL宇宙弦时，C值可能会更高，所以可能在已经是很高的速度移动时，却仍然比C的当地值慢得多，因此时间延滞将可忽略。所以人类可以沿着快速道路超速移动，探索宇宙最遥远角落，但仍然比当地光速慢的多，他将能够避开“双子佯谬”的效应，在他返回时还是跟自己的孪生兄弟一般年纪。他不仅能够在有生之年拜访远方的星系，也可以在同代人有生之年返回家园。VSL理论将会改变我们对自己在宇宙中的看法，也会改变我们对于外星生命接触的期望。 六、建立在“超弦理论”基础上的多维时空 目前，有一新的理论认为，在亚原子的世界里，也就是在极度小的超微空间中的基本粒子不在是我现实中能够观察到的粒子，所谓基本粒子的存在只是一种微小振动的弦在微观世界的表现，这就象我们现实生活中看到的弦乐器中的一根普通的弦，它能奏出多种美妙的音乐。而在超微观世界中，正是有许多我们用现代任何仪器都无法观察到的弦的振动，形成一个丰富多彩的微观基本粒子大家庭。超弦理论认为世界是多维的，我们现在是生活在三维空间，或加上时间轴的四维时空中，而按其理论推导，应当还存在六维甚至是十维时空，让人不解的是，按照这种多维时空理论，通过数学的方法不难推导出爱因斯坦的狭义和广义相对论，相对论理论不再是天才的爱因斯坦的假想为基础建立起来的理论，而是通过严谨的数学理论推导出来的结论。在建立弦理论基础的多维时空理论下，把宇宙中的四种基本的力（强相互作用、弱相互作用、电磁力和万有引力）得到了统一，困惑物理学界多年的大统一理论在这个多维的超时空理论基础上得到了完美的解决。超弦理论和多维时空理论虽然完美和令人着谜，由于需要巨大的人类近几个世纪都不可能获得的能量（1028电子伏，是我们现在加速器可获得最大能量的1015倍），因此，这种理论属人类似乎永远难以通过实验来验证的理论。这一理论能否长期存在下去也许就只有上帝才知道。 说到多维时空，我们不得不从一维世界讲起，这里我们假如存在一个“直线国”，那里生活的人，他们每个人都生活在直线这样的一维时空里，他们只能生活在直线上，在他们的国度里根本没有平面这个概念，假如有一天，有一个直线国的人突然离开了直线，于是在他们的国度里就很难理解，这个人为什么会突然消失，这对直线这个一维空间的人是不能理解的，这就是一维世界。二维世界应当只是一个平面，假如有这样一个“平面国”，那生活在这个国度的人只有平面的概念，对他们我们完全可以画地为牢，只要你用笔画一个圈，他们就永远无法离开这个圈，因为在他们的世界里，根本就没有向上这个概念，假如有一个球经过他们的世界，那他们也只能看到一个从小到大，又从大到小的圆，最后，变成一个点后消失，至于球从那里来，最后消失到什地方，那对他们来说是不可想象的。三维世界就是我们现在生活的世界，在这个世界里人们认为空间是绝对的，对于他们来说，四维是不可想象的，也是不存在的，这就象前面说过的牛顿绝对时空观，他把时间和空间割裂开来，认为空间是绝对的，时间是均匀流淌和永恒不变的。爱因斯坦打破了牛顿的绝对时空观，建立了空间，时间组成的四维时空，他认为时间和空间都是相对的。那么，存不存在五维时空呢？从数学的角度，早在十九世纪五十年代，德国数学家黎曼超越了欧几里几何学，提出了四维空间的概念，创造性的提出了一个全新的被后人称之为黎曼几何学，为统一物理学所有定律做好了理论准备。二十世纪，多维理论又一次成为科学界的热门话题，有科学家重新提出了多维时空的理念，并进行了有效的计算，值得一提的是爱因斯坦的相对论中美妙的质能方程，就是通过数学的早期弦理论推导出来的，这不得不让人感到大自然之奇妙。 近来，弦理论已经成为物理学界一个热门话题，物理学家们认为。宇宙中不但存在五维时空，还存在六维甚至是十维时空，在早期的宇宙中，处于一个绝对真空中的奇点，此时存在一个十维时空，但十维时空是不稳定的，于是产生了我们这个宇宙的创生，在宇宙创生时期，十维时空断裂为四维时空和六维时空，六维时空收缩为无限小的奇点，四维时空处于宇宙的大爆炸阶段，于是有了现在我们这个暴胀的宇宙，倡导十维时空学说的科学家们认为我们这个宇宙在爆炸中创生，将来会变成收缩中的宇宙，并再次收缩为一个奇点，然后在重复宇宙创生的一幕，这就是宇宙的未来。多维时空理论能够很好的把爱因斯坦终没能解决的大统一理论进行完美的解释，并统一了人类目前所认识的自然界的四种相互作用力。《时间简史》作者，物理学家霍金认为宇宙最终要用量子理论来解释，我们生活的这个宇宙是众多平行宇宙中的一个，对于宇宙就像是飘在空中的众多肥皂泡一样，每个肥皂泡都是一个宇宙，各个肥皂泡之间是没有任何联系的，这就是霍金近来提出的新的宇宙观，他认为我们只不过是生活在多维平行宇宙中的一个，如果有可能在两个宇宙之间打开一个洞，也就是所为的蛀洞，那么人类通过这个蛀洞就可以实现超越时空的旅行。 七、超越时空的外层空间的三类文明 在结束本文之前，让我们在了解一下前苏联天文学家卡尔谢夫（Nikolai Kardashev）曾经以下面方式对人类未来文明进行分类。他认为：一类文明控制了整个行星上的能源的那种文明。这种文明能够控制气候，阻止地震，在地壳中采矿，以及在海洋中收割。这种文明已经完成了其在太阳系的探险。二类文明是控制太阳本身能量的文明，并不意味着被动地获取太阳能。这种文明可以开采太阳能。这种文明的能量需求如此之巨大，它直接消耗太阳能量来驱动机器。这种文明将开始局部恒星系统的殖民化。三类文明是控制整个星系能量的文明。就能源而言，它控制数十亿个星系统的能量。它可能掌握了爱因斯坦方程组，能够随意操纵时空。也许这种对未来文明的分类是错误的，但他确实就能量方面对物理定律进行了合理的解释。我们人类科学技术进入高速发展只走过了短短的几百年的历史，目前，还没有具备第一类文明的条件，人类在距走进第一类文明还有许多的路要走，还有许多风险。如核危机，现在人类所储存的核武器已经足够毁灭几次地球上的现代文明，假如某个人类狂人发动核战争，那地球将在核冬天中走向荒漠，也许今天的火星就是明天地球的命运。现在伴随着人类现代化进程的加快，人类生存环境变的越来越脆弱，而人口的爆炸式增长和现代建筑的增多，人类赖以生存的土地将越来越少，地球将成为钢筋水泥组成的城堡，环境污染、能源危机、自然灾害等诸多因素使这看似强大的人类将变得空前脆弱，任何人类预想到的或预想不到的、自然的、人为的突发事件都可能使这个蓝色星球处于极度危险之中甚至是毁灭。最后笔者衷心的祝愿人类能够珍惜环境、珍惜和平、珍惜大自然的和谐发展，祝愿人类平安的走向高明文明和高度现代化。 主要参考资料： 1、《比光速还快》/乔奥.马古悠(Joăo Magueijo)著/赵文译/湖南科学出版社/2005年5月/长沙 2、《热抽象》/朱伟勇 朱海松/广东经济出版社/2003年9月/广州 3、《在爱因斯坦的时空旅行》/ Gott著/刘军译/长春出版社/2004年1月/长春 4、《超越时空》/加来道雄/刘玉玺 曹志良/上海科技教育出版社/1999年5月/上海 5、《现代物理与高新技术》/何宝鹏/“广义相对论原理与应用”/张学荣/广东科技出版社/2000年1月/广州

这是一个学生的毕业论文后的参考文献[1] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法究（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2006[2] 陈纪修等．数学分析第二版[M]．北京：高等教育出版社，[3] 翟连林，姚正安．数学分析方法论[M]．北京：北京农业大学出版社，1992[4] 龚冬保．高等数学典型题解法、技巧、注释[M]．西安:西安交通大学出版社，2000[5] 郭乔．如何作辅助函数解题[J]．高等数学研究， (5)，48- 49[6] Patrick M．Fitzpatrick．AdvancedCalculus: A Course in Mathematical Analysis [M]．北京：中国工业出版社，2003[7] 林远华．浅谈辅助函数在数学分析中的作用[J]．河池师范高等专科学校学报，[8] 肖平．辅助函数的构造方法探寻．西昌师范高等专科学校学报[J]，供参考。

什么是数学美呢？它的本质是什么呢？从国内的研究来看，有这样一些描述：“数学美是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现”，“数学美是数学创造的自由形式”，“数学美是真与善的统一”，“数学美的本质在于序”……等等。 数学美的客观性：即指客观存在于数学领域中的审美对象是不以审美主体是否承认、是否意识到为转移的，尽管因审美主体的主观条件的不同，并不是所有的或特定的数学美都能为审美主体所感知，但这并不能改变这数学美的存在。 数学美的社会性：数学美是一种社会现象，因为数学美是对人而言的。数学家通过数学实践活动（特别是数学理论创造的实践活动），使自己的本质力量“对象化”了，或者说“自然人化”了。所谓的“人化”就是人格化，即自然物具有人的本质的印记，实质上就是社会化。这种社会化的内容正是数学美的内容，它是数学美产生的本原。 数学美的物质性：数学美的内容――人的本质力量必须通过某种形式呈现出来，必需要有附体，数学美的这种形式或附体，即数学美的物质属性。 数学美的宜人性：即数学美形式应该使审美主体感到愉悦。审美主体的愉悦性，一方面自然是由审美主体的心理和生理的原因造成的，另一方面，也是最根本的，还在于对象本身是具有足以引起主体愉悦的属性和条件。简言之，数学美的形式必须与人的认识、人类心灵深处的渴望的本质上相吻合。 首先要提到的当推古希腊时期的毕达哥拉斯，毕达哥拉斯学派第一次提出了“美是和谐与比例”的观点，认为宇宙的和谐是由数决定的，他运用这一美学思想形成了点子数（即形数）理论；并以所谓亲和数与完全数来反映体现宇宙和谐的“亲和”与“完全”。 作为古希腊唯心主义哲学的主要代表人物，柏拉图认为数学的美是一种纯抽象的美，尽管柏拉图的理念世界是抽象的世界，但他却第一次提出了理念世界是“真善美的统一”的见解。 17世纪，笛卡儿所创立的解析几何是数学史上极其杰出的成果，它使几何与代数得到完美的统一，充分揭示了数学的协调美和统一美。 18世纪，该世纪著名数学家欧拉的数学美思想在其《无穷小分析引论》中得到生动的体现，这是一部极其优美的数学专著。 19世纪，有人称19世纪的数学是“革命的数学”，数学美学思想在这一时期也极为活跃，拉普拉斯、高斯、哈密尔顿、黎曼等人在这方面都作出了贡献。 20世纪，数学家们开始自觉地运用数学美学方法，总结数学审美标准，探讨数学发明中的审定心理，其突出代表人物是19世纪末及20世纪初的庞加莱及被誉为“超人的天才”的冯·诺伊曼，还有研究数学领域中的发明心理学的法国著名数学家雅克·阿达玛。 数学美的表现形式 简单性 是数学美的基本表现形式之一。作为反映现实世界量及其关系规律的数学来说，那种最简洁的数学理论最能给人以美的享受。 简单性又是数学发现与创造中的美学因素之一。最简单的例子便是代数运算中之乘法与幂的运算的引进是源于避免重复的加法运算和重复的乘法运算： 统一性 是指部分与部分，部分与整体之间的内在联系或共同规律所呈现出来的和谐、协调、一致。 数学美中的统一性在数学中有很多体现。数学推理的严谨性和矛盾性体现了和谐；表现在一定意义上的不变性，反映了不同对象的协调一致。例如，数的概念的一次次扩张和数系的统一，运算法则的不变性；几何中的圆幂定理是相交弦定理、切、割线定理的统一形式。 对称性 是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。数学形式和结构的对称性、数学命题关系中的对偶性、数学方法中的对偶原理方法都是对称美的自然表现。毕达哥拉斯说：“一切立体图形中，最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”因为这两种形体在各个方向上都是对称的。此外，象正多边形、正多面体、旋转体和圆锥曲线等都给人以完善、对称的美感。在代数中轮换对称式表明了代数式中字母可以互换的对称关系。在数学解题方面，对称方法和反射方法往往使问题解决的过程简捷明快。 秩序性，就其愿意而言，秩序是事物在空间或时间上排列的先后、也可作为层次等等的理解。数学中的“秩序”具有极其重要的、决定性的意义，意大利数学家G·卡雷里认为，“数学是而且将总是一门被看作关系系统的序的科学。当涉及形式时，它从不会与它们的实质有关，而仅仅与这些形式之间可陈述的联系有关。单一元素只能在使之有序化的系统联系之中才得到决定并因而获得意义。” 奇异性，奇异性是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物（思想、方法、理论）所突破，或出乎意料、超乎想象的结果所带来的新颖和奇特。 数学美学方法的特点 1、直觉性，审美直觉是数学直觉中的一种重要类型，数学美学方法主要还是一种受审美直觉所驱动，而作出美学考虑的方法。正因为如此，数学美学方法的成功运用与主体的直觉能力就有很大关系。这一特点也说明，运用它所得到的结论，最终还要通过逻辑方法的检验才能成立。 2、情感性 数学美学方法的运用是建立在审美主体的数学美感之上的，和任何美感一样，人们对于数学的美感也具有强烈的感情色彩。愉悦、平和、明快、困惑、兴趣盎然、心满意足乃至于激动与惊异……数学美学方法总是是伴随着这种种感情体验，这与逻辑方法所具有纯粹理性形成了鲜明的对比。 3、选择性 数学美学方法是自觉地依据美学的考虑来作出选择的方法，它是“非常自足的、美学的、不受（近乎不受）经验的影响。”这种选择性使美学方法并不成为解决数学问题或获得数学发现的具体方法，而是一种确定方向、原则的策略方法。这种选择性是导致数学发现发明的指路灯，因此，它又使数学美学方法具有创造性。 4、评价性 数学美学方法常常表现为对已获数学成果的一种鉴赏与评价，一般来讲，逻辑方法的运用以问题的解决为方法的终结，而美学方法不仅关注问题是否解决，更主要是考虑问题的解决优美？前者着意于数学问题的“真”，后者着意于“真、善、美的统一”。庞加莱指出：“这并非华而不实的作风”，数学发展的历史已表明，美学方法的评价性对于“数学理论的富有成果性”来讲是不可或缺的。 数学美学方法运用的基本途径 1、增强审美自我意识，善于发现数学美因 在数学活动中，活动者的审美意识是客观存在的审美对象在活动者头脑中的能动反映，一般意义上也称为美感。它包括审美兴趣、审美倾向、审美能力、审美理想、审美感受等等。美感尽管表现为主观的，但它最终是来源于数学活动实践，数学中丰富的美的形式和美的因素（简称为美因）是美感产生的客观基础。只有在美因促使主体美感产生的条件下，主体才能作出美学的考虑。因此，善于发现数学美因，“识得庐山真面目”，是运用数学美学方法的前提。 2、在数学审美活动中，注意逻辑方法与直觉方法的结合。 美感的产生一般而言是直觉的，但这并不意味理性思维与审美无关，美学研究表明，理性思维在审美中是有重大作用的（数学审美更是如此）。在数学活动中，发获得真正的审美要，必须把逻辑思维方法与直觉方法结合起来。逻辑思维在数学审美中可以起到规范知觉、想象的趋向作用，前者渗透溶化于后者之中，才使审美感受不是一种初级的感性知觉，或一堆空幻的主观想象，而是对数学对象本质的某种能动的反映。 3、在数学认识、评价及创造过程中，自觉地以数学审美标准作指导。 审美教育的特征 1、和谐性：“和谐”是美学的一条重要的原理。中学数学教学中有许多内容是和谐性教育的好题材，和谐性也有助于开拓解题思路，培养学生解题的能力。 2、形象性：美育是一种形象性的教育，它总是通过审美对象的鲜明形象来诱发和感染教育者的。数学中直观教具、精美图形以及数形转化的方法都能产生审美教育中的形象性。 3、情感性：美育通过审美对象来激发人的审美情感，受教育者将有一定情绪体验，得到一定的情绪陶冶和心理满足，若能通过富有艺术性的教学活动激发起学生情感的涟漪，那无异于为学习添加了催化剂。 4、自由性：美育给人以自由感，人对客观事物的感受只有进入自由境界才能产生美感，因此，在审美教育中，要注意学生心理和生理的发展规律，善于引导和启发。 5、鲜明性：审美教育伴随着情感的激动，使受教育者不知不觉地在心灵中留下鲜明的印象，有时，即使知识被遗忘，而那触动情感的形象，却终生难忘。

是不是要科学小论文啊,我就不给!!!自己的事情自己做!!!!呵呵~~~~~~~!!!