泰勒中值定理的研究论文

泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数] 泰勒余项可以写成以下几种不同的形式： 1.佩亚诺(Peano)余项： Rn(x) = o((x-a)^n) 2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p) [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 3.拉格朗日(Lagrange)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 4.柯西(Cauchy)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 5.积分余项： Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数]

数学定理列表（按字母顺序排列） 阿贝尔-鲁菲尼定理 阿蒂亚-辛格指标定理 阿贝尔定理 安达尔定理 阿贝尔二项式定理 阿贝尔曲线定理 艾森斯坦定理 奥尔定理 阿基米德中点定理 波尔查诺-魏尔施特拉斯定理 巴拿赫-塔斯基悖论 伯特兰-切比雪夫定理 贝亚蒂定理 贝叶斯定理 博特周期性定理 闭图像定理 伯恩斯坦定理 不动点定理 布列安桑定理 布朗定理 贝祖定理 博苏克-乌拉姆定理 垂径定理 陈氏定理 采样定理 迪尼定理 等周定理 代数基本定理 多项式余数定理 大数定律 狄利克雷定理 棣美弗定理 棣美弗-拉普拉斯定理 笛卡儿定理 多项式定理 笛沙格定理 二项式定理 富比尼定理 范德瓦尔登定理 费马大定理 法图引理 费马平方和定理 法伊特-汤普森定理 弗罗贝尼乌斯定理 费马小定理 凡·奥贝尔定理 芬斯勒-哈德维格尔定理 反函数定理 费马多边形数定理 格林公式 鸽巢原理 吉洪诺夫定理 高斯-马尔可夫定理 谷山-志村定理 哥德尔完备性定理 惯性定理 哥德尔不完备定理 广义正交定理 古尔丁定理 高斯散度定理 古斯塔夫森定理 共轭复根定理 高斯-卢卡斯定理 哥德巴赫-欧拉定理 勾股定理 格尔丰德-施奈德定理 赫尔不兰特定理 黑林格-特普利茨定理 华勒斯-波埃伊-格维也纳定理 霍普夫-里诺定理 海涅-波莱尔定理 亥姆霍兹定理 赫尔德定理 蝴蝶定理 绝妙定理 介值定理 积分第一中值定理 紧致性定理 积分第二中值定理 夹挤定理 卷积定理 极值定理 基尔霍夫定理 角平分线定理 柯西定理 克莱尼不动点定理 康托尔定理 柯西中值定理 可靠性定理 克莱姆法则 柯西-利普希茨定理 戡根定理 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理 凯莱-哈密顿定理 克纳斯特-塔斯基定理 卡迈克尔定理 柯西积分定理 克罗内克尔定理 克罗内克尔-韦伯定理 卡诺定理 零一律 卢辛定理 勒贝格控制收敛定理 勒文海姆-斯科伦定理 罗尔定理 拉格朗日定理 (群论) 拉格朗日中值定理 拉姆齐定理 拉克斯-米尔格拉姆定理 黎曼映射定理 吕利耶定理 勒让德定理 拉格朗日定理 (数论) 勒贝格微分定理 雷维收敛定理 刘维尔定理 六指数定理 黎曼级数定理 林德曼-魏尔斯特拉斯定理 毛球定理 莫雷角三分线定理 迈尔斯定理 米迪定理 Myhill-Nerode定理 马勒定理 闵可夫斯基定理 莫尔-马歇罗尼定理 密克定理 梅涅劳斯定理 莫雷拉定理 纳什嵌入定理 拿破仑定理 欧拉定理 (数论) 欧拉旋转定理 欧几里德定理 欧拉定理 (几何学) 庞加莱-霍普夫定理 皮克定理 谱定理 婆罗摩笈多定理 帕斯卡定理 帕普斯定理 普罗斯定理 皮卡定理 切消定理 齐肯多夫定理 曲线基本定理 四色定理 算术基本定理 斯坦纳-雷姆斯定理 四顶点定理 四平方和定理 斯托克斯定理 素数定理 斯托尔兹-切萨罗定理 Stone布尔代数表示定理 Sun-Ni定理 斯图尔特定理 塞瓦定理 射影定理 泰勒斯定理 同构基本定理 泰勒中值定理 泰勒公式 Turán定理 泰博定理 图厄定理 托勒密定理 Wolstenholme定理 无限猴子定理 威尔逊定理 魏尔施特拉斯逼近定理 微积分基本定理 韦达定理 维维亚尼定理 五色定理 韦伯定理 西罗定理 西姆松定理 西尔维斯特-加莱定理 线性代数基本定理 线性同余定理 有噪信道编码定理 有限简单群分类 演绎定理 圆幂定理 友谊定理 因式定理 隐函数定理 有理根定理 余弦定理 中国剩余定理 证明所有素数的倒数之和发散 秩-零度定理 祖暅原理 中心极限定理 中值定理 詹姆斯定理 最大流最小割定理 主轴定理 中线定理 正切定理 正弦定理阿尔贝—鲁菲尼 19世纪之前的300年间，数学家们一直为证明一元四次以上的方程是否有解而忙碌着，可惜他们不是望而却步，就是半途而废，没有一位能揭开这个结。1818年，挪威一位阿尔贝，在研究了前人的有关这一问题的大量资料后，坚定地对他的老师说：“让我来解答这一历史难题吧，我能证明四次以上的方程是否有解。”他凭着自信，聪明和勤奋，花了六年的时间，给了历史一个圆满的回答：一般高于四次的方程没有代数解。这就是著名的阿尔贝—鲁菲尼定理。 1824年，阿贝尔证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方所谓方程有根式解(代数可解)，就是这个方程的解可由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来．关于代数方程的求解，从16世纪前半叶起，已成为代数学的首要问题，一般的三次和四次方程解法被意大利的几位数学家解决．在以后的几百年里，代数学家们主要致力于求解五次乃至更高次数的方程，但是一直没有成功．对于方程论，拉格朗日比较系统地研究了方程根的性质(1770)，正确指出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，从而实现了代数思维方式的转变．尽管拉格朗日没能彻底解决高次方程的求解问题，但是他的思维方法却给后人以启示．P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其“证明”存有缺陷．两年以后，高斯解决了分圆方程的可解性理论问题．拉格朗日和高斯的工作是阿贝尔研究工作的出发点．中学时，他就读过拉格朗日关于方程论的著作；大学一年级开始全面研究高斯的《算术研究》(Disquis-tiones arithmeticae)．后来，他又了解了柯西关于置换理论方面的成果．然而，他当时并不晓得鲁菲尼的工作．阿贝尔就是在这种背景下思考代数方程可解性理论问题的． 1824年，阿贝尔首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正确证明．更详细的证明，于1826年发表在克雷尔杂志第一期上．题目为“高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明”．在这篇论文中，阿贝尔讨论并修正了鲁菲尼论证中的缺陷．鲁菲尼的“证明”缺乏域的概念，所以不可能在由已知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下进行工作．另外，鲁菲尼“证明”中还用到了一个未加证明的关键性命题，后称阿贝尔定理．该定理说，如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．阿贝尔就是应用这个定理证明高于四次的一般方程不能有根式解的． 上面所说的阿贝尔定理，也就是“置换群”的思想。 他在进一步思考哪些方程（比如x^n-1=0)才可用根式解的问题的时候，阿贝尔证明了下述定理：对于一个任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一个根有理地表出(我们用x表示)，并且任意两个根Q(x)与Q1(x)(这里Q，Q1均为有理函数)，满足关系QQ1(x)=Q1Q(x)，那么所考虑的方程总是代数可解的．或者说，根xi=Q1(Xi)，Q2(Xi)，…，Qn(Xi)是根x1，x2，…，xn的一个置换．方程根进行这样置换的个数是n．阿贝尔考虑并证明了这些置换的性质，这就是“置换群”。 阿贝尔遗作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿，即“关于函数的代数解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions，1839)．文中叙述了方程论的发展状况，重新讨论了特殊方程可解性的问题，为后来E·伽罗瓦(Galois)遗作的出版开辟了道路．在前言部分，阿贝尔暗示出一种重要的思维方法，他认为解方程之前，应首先证明其解的存在性，这样可使整个过程避免“计算的复杂性”．在代数方程可解性理论研究中，他还提出了一个研究纲领，就是在他的工作中需要解决两类问题：一是构造任意次数的代数可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他试图全部刻画可用根式求解的方程的特性．但因早逝而没能完成这个工作，他只解决了第一类问题．几年后，伽罗瓦接过他的工作，用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论．其余的你可以在网上搜索一下。不罗列了。

勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，若a、b、c都是正整数，(a,b,c)叫做勾股数组。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

公式定义 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x) 其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1)，这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。）编辑本段证明 我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。麦克劳林展开式 ：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。 证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1) 由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。麦克劳林展开式的应用 ： 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。） 类似地，可以展开y=cosx。 2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项： e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈。 3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位） 证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。编辑本段泰勒展开式原理 e的发现始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算 之值,其结果无限接近一定值 ...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数. 计算对数函数 的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数. 若将指数函数 ex 作泰勒展开,则得 以 x=1 代入上式得 此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是 将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由 透过这个级数的计算,可得 由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 另方面, 所以, 我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在1873年得到的. 甲)差分. 考虑一个离散函数(即数列) R,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们就把这个函数书成 或 (un).数列 u 的差分 还是一个数列,它在 n 所取的值以定义为 以后我们干脆就把 简记为 (例):数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 ... 注:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推. 差分算子的性质 (i) [合称线性] (ii) (常数) [差分方程根本定理] (iii) 其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列. (iv) 叫做自然等比数列. (iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1) (乙).和分 给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢 我们有下面重要的结果: 定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn),使得 ,则 和分也具有线性的性质: 甲)微分 给一个函数 f,若牛顿商(或差分商) 的极限 存在,则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数,记为 f'(x0) 或 Df(x),亦即 若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称 为 f 的导函数,而 叫做微分算子. 微分算子的性质: (i) [合称线性] (ii) (常数) [差分方程根本定理] (iii) Dxn=nxn-1 (iv) Dex=ex (iv)' 一般的指数数列 ax 之导函数为 (乙)积分. 设 f 为定义在 [a,b] 上的函数,积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对 [a,b] 作分割: ;其次对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ;再求近似和 ;最后再取极限 (让每一小段的长度都趋近于 0). 若这个极限值存在,我们就记为 的几何意义就是阴影的面积. (事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.) 积分算子也具有线性的性质: 定理2 若 f 为一连续函数,则 存在.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.) 定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数,我们欲求积分 如果我们可以找到另一个函数 g,使得 g'=f,则 注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心! 上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样. 我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此. 甲)Taylor展开公式 这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数 f,我们要研究 f 的行为,但 f 本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数 g,使其跟 f 很「靠近」,那么我们就用 g 来取代 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清 两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度. (一) 对于连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f,我们要找一个 n 次多项函数 g,使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的「切近」,即 ,答案就是 此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式. g 在 x0 点附近跟 f 很靠近,于是我们就用 g 局部地来取代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则 f可展成 Taylor 级数,而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身. 值得注意的是,一阶 Taylor 展式的特殊情形,此时 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是,我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神,是微分学的精义所在. 利用 Taylor 展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」. 复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这么简单. 当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到 Fourier 级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.) 注:取 x0=0 的特例,此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式. (二) 对于离散的情形,Taylor 展开就是: 给一个数列 ,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt),使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的「差近」.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指: 答案是 此式就是离散情形的 Maclaurin 公式. 乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推 (一) 分部积分公式: 设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续,则 (二) Abel分部和分公式: 设(un),(v)为两个数列,令 sn=u1+......+un,则 上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式 的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然. (丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推) (一) 复利的问题是这样的:有本金 y0,年利率 r,每年复利一次,要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r) 根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式. (二) 若考虑每年复利 m 次,则 t 年后的本利和应为 令 ,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert 换句话说,连续复利时,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答. 由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推. (戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推) (一) Fubini 重和分定理:给一个两重指标的数列 (ars),我们要从 r=1 到 m,s=1到 n, 对 (ars) 作和 ,则这个和可以这样求得:光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然).亦即我们有 (二)Fubini 重积分定理:设 f(x,y) 为定义在 上之可积分函数,则 当然,变数再多几个也都一样. (己)Lebesgue 积分的概念 (一) 离散的情形:给一个数列 (an),我们要估计和 ,Lebesgue 的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和. (二)连续的情形:给一个函数 f,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积. Lebesgue 的想法是对 f 的影域 作分割: 函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐,令其为 , 于是 [a,b] 就相应分割成 ,取样本点 ,作近似和 让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 积分.余项 泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数] 泰勒余项可以写成以下几种不同的形式： 1.佩亚诺(Peano)余项： Rn(x) = o((x-a)^n) 2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p) [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 3.拉格朗日(Lagrange)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 4.柯西(Cauchy)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 5.积分余项： Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数]

你的论文和我的一样，哈哈！

On the Mean Value Theorem and Taylor's formula Mean Value Theorem and Taylor's formula is the basic formula of differential calculus, differential calculus constitute an important part of the basic theory. Mean Value Theorem is to use the function to study the nature of the function with its own nature in the interval a very powerful tool. It consists of Rolle's theorem; Lagrange mean value theorem; Cauchy Mean Value Theorem. Taylor's formula is a mathematical analysis of this course is an important formula, which is widely used in the calculation of a number of important issues and that the. This article describes some of their applications. Mean Value Theorem; Taylor formula; limit; inequality.