毕业论文几何发展史

几何学的发展史几何学研究的主要内容,为讨论不同图型的各类性质,它可说是与人类生活最密不可分的.远自巴比伦,埃及时代,人们已知道利用一些图的性质来丈量土地,划分田园.但是并没有把它当作一门独立的学问来看,只把它当作人类生活中的一些基本常识而已.真正认真去研究它,则是从古希腊时代才开始的.所以由此,我们约略的将几何学的发展,分为下列几个方向:古希腊的几何学解析几何投影几何非欧几何微分几何几何的公理化 古希腊的几何学的发展1. 发展阶段2. 古希腊几何发展的原因3. 欧基里德的贡献———介绍"Elements"4. 阿基米德的贡献5. 阿波罗尼阿斯的贡献6. 古希腊几何学中的著名问题(1)方圆问题(2)倍积问题(3)三等分角问题(4)平行公设7. 影响数学发展的人物8. 古希腊数学衰退的原因9. 与几何学有关的应用科学10.古希腊数学的批判1. 发展阶段:古希腊所发展的几何学是所有近代数学的原动力.若要了解整个数学的架构,必定要先了解古希腊几何学的发展.我们可将其分为三个阶段:(1)启蒙期:主要人物有泰利斯(Thales),毕达哥拉斯(Pythagoras),尤多沙斯(Eadoxus).泰利斯:为古希腊天文学与几何学之父,他曾正确的预测日蚀的时间.他开始对一些几何图形做有系统的研究.毕达哥拉斯(毕式学派):首创集体创作,称为毕式学派.也是一位音乐家,发明毕式音阶.毕式定理为几何学中的重要定理.这个学派认为"数"是宇宙万物的基础.C,尤多拉斯:创立穷尽法(exhaustion method),所谓穷尽法就是"无穷的逼近"的观念,主要构想是为了求取圆周率π的近似值.所予理论上说尤多拉斯是微积分的开山祖师.尤多拉斯的另一贡献,为对比例问题做有系统的研究 (2)巅峰期:重要人物有:欧基里德(Euclid)阿基米德(Archimedes)阿波罗尼阿斯(Apollonoius)欧基里德:他将一些前人对数学的结果,加以整理,写成"Elements"这本书(中译为几何原本).这本书是有史以来第一本数学教科书,也是最畅销的.在往后数学的每一分支都是由这本书出发的.目前初中所学的平面几何学,内容仍以"Elements"这本书为主.这本书的详细内容,将在后面单独介绍.这本书的另一优点为浅显易读(readable).欧基里德本身并没有什麼重大的数学突破,它是一个数学的集大成者.这本书直到明朝中叶以后才传人中国.阿基米德:生於西西里岛,曾留学埃及亚历山大城.是有史以来三大数学家之一,发明不计其数,以后我们将单独介绍他及他的贡献.阿波罗尼阿斯:与阿基米德同一时代.最大一贡献是对於圆锥曲线的研究,这对於以后的解析几何,以至於微积分的发明有直接的影响.圆锥曲线的应用,直到16世纪才由刻卜勒加以发扬光大.(3)衰退期:自阿基米德及阿波罗尼阿斯之后,希腊数学已渐渐走入衰退期.在这中间,仍有几位值得一提的人物.托勒密:将三角函数发扬光大,并由此将天文学炒热.帕布斯:可说是末代时期的代表人物.2.古希腊几何发展的原因:我们不禁要问:为什麼古希腊会发展出这麼伟大的一些数学结果,是什麼原动力使他们如此 在希腊以前的各支文明,都把大自然看成是无秩序的,神秘的,多元的,可怕的.自然的现象均为神控制.人的生活和运气都是神的意志决定.但是希腊文明期,知识份子对自然摆出一种新的姿势,也就是理智的,评价的,现实的,他们主张自然界是有秩序的依照某一公式而表现其作用.人类不仅能研究自然的法则,甚至预言什麼事情将发生.毕学派首先提出下列观念:"将神秘性,不确定性从自然活动中抹去,并将表面看似纷乱不堪的自然现象,重新整理成可理解的次序和型式,并决定性的关键就在於数学的应用."继承毕式学派观念的就是柏拉图:柏拉图主张:"只有循数学一途,才能了解实体世界的真面目,而科学之成为科学,在於它含有数学的份."就是因为希腊时代的一些学者对於自然的这种看法和确立了依循数学研究自然的做法,给食腊时代本身及后来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因.而在数学的领域中,几何学是最接近实际的描述.对希腊人而言,几何学的原则是宇宙结构的具体表现,本身正一门实际空间的科学.几何学就是数学,研究的中心.3.欧基里德的贡献:"Elements"这本书共有13册,其内容为:(1)1-6册:平面几何学,它是以下列五大公设为基础:a,任二点之间可作一直线.b,直线可以任意延长.c,可以以任意点为圆心,任意长为半径,画出一圆.d,直角皆相等.e,平行公设.以研究下列性质:三角形的性质—全等,相似,等等.平行线的性质—内错角,同位角.毕式定理.圆的性质 - 内接圆,外切圆.比例的问题.平行四边形的性质.(2)7,8,9册:整数论讨论奇数,偶数,质数的问题,另外也讨论了穷尽法的应用.(3)11,12,13册:立体几何讨论角锥,圆锥,圆柱等性质,也提到了穷尽法的应用.(4)第10册:不可测问题类似无理数的性质.这本书的最大的特色就是:它只引用了几个简单的假设,再根据这些假设,推导出一连串的定理,最后变成一套完整的理论,在因果之间确立了严密的逻辑推理,由此确立了数学为一门演绎的科学.这本书也有一些缺点,而事实上这些缺点,就是使日后数学发扬光大的原动力.举例来说,在第五个(平行公设)中,有无数的数学家在这假设上打转,最后终於在19世纪造就了非欧式几何学,而直接产生了爱因斯坦的相对论."Elements"为第一部成型的数学著作.数学之基本概念,证明模式,定理布局的逻辑性,都经由研读它而得以通晓.欧基里德的其他著作:锥线(Conics)它的内容是阿罗尼阿斯的"圆锥曲线"骨架.现象讨论天文学的问题.4.阿基米德的贡献:阿基米德在西元前287年生於西西里岛的西那库斯,他在亚力山大城求学. 他治学的态度是从一些简单的公理出发,再用无懈可击的逻辑导出其他的定理,把物理及数学联合起来一起叙述,他算是第一人,因此我们也可以称他为物理学之父,他是第一个有科学精神的工程师,他找一般性的原理,然后用到特殊的工程问题上.他最重要的贡献是将"穷尽法"发扬光大,它已经将等於这个观念跨向"任意趋近於"的观念,而这已经跨进近代微积分的领域,他曾用穷尽法算π的近似值,得到:<π<阿基米德创立了流体静力学(浮力原理是最重要的结果),同时发现的杠杆原理,所以可以把他视为一个工艺学家(美劳专家).阿基米德的去世,可代表著希腊数学开始衰退的起点,我们到后面会专门讨论衰败的原因.阿基米德著作的一个缺点是内容非常难懂,不具可读性的特性,所以未能像Element这本书流传这样广.顺便一提的是,在1906年时在土耳其,发现了一本当年阿基米德的著作"The Method",在当时引起一阵轰动.5.阿波罗尼阿斯的贡献:他居住亚力山大,与阿基米德同一时期.他主要的研究对象是圆锥曲线,在他之前也有一些零星的结果,但是由他开始对圆锥曲线作严密的定义与讨论.由几何学的观点来看,它所著的"圆锥曲线"这本书可说是古希腊几何学的巅峰.这本书计有八册,共有487个项目.其真正的实用性,直到16世纪才被发扬.事实上,在这以后,任何时期的数学家在启蒙入门时大概都是靠欧基里德的"Element"与阿波罗尼阿斯的"圆锥曲线"起家的.6.希腊数学中的著名问题:所谓的问题,就是只能用圆规与没有刻度的直尺之下,是否可以解决下列问题:方圆问题:是否能将一个已知的圆,变成一个正方形,而使得两者面积相等 这个问题在由尤多拉斯时代,就有许多人在这方面的研究,直到十九世纪才证明其为不可能,但是研究期间,已经另外产生了许多数学的分支.倍积问题:对一个已知的正立方体,长,宽,高应该扩大,才可使新的立方体为原来立方体体积的两倍.等分角问题:对任意的一个角,如何将其三等分.问题2,3到十九世纪才被解决,证明为不可能.平行公设:有人认为平行公设不为一公设,所以有人将平行公设这个去除,结果造出一套新的几何学出来,而又不会违背原来的欧式几何,这也就是非欧几何学.也就是爱因斯坦相对论的基础.也许有人认为希腊人不切实际,这三个问题在当时,可说完全无实用性,只可说是一些有闲阶级的人磨练脑力之用.但是就是因为有那麼多人投下心力去研究,才会间接带动几何学研究的风潮.而因此产生以后数学蓬勃的发展.7.对数学发展有影响力的人物(1)亚力山大大帝(2)托勒密王朝:建立了亚力山大城,并建立了亚力山大图书馆,为世界当时最大图书馆.在这个图书馆中,产生了许多有影响力的学者.(阿基米德等人)Hiero国王:为西西里岛国王,阿基米德的直接赞助者.苏格拉底,柏拉图,亚里斯多德.克利奥派翠亚(埃及艳后)托勒密王朝的末代人物,亚力山大图书馆的第一次大火,就因它而起.(第一认浩劫).基督教领袖与回教领袖:对希腊数学作第二次与第三次摧毁的主要角色.8.希腊数学的衰退在阿基米德,阿波罗尼阿斯等人之后,希腊数学开始衰退,以后我们将讨论它所遭受的灾难:第一次浩劫:罗马人的来临,使得希腊数学遭到破坏.罗马人都很实际,他们设计完成很多工程,但是却拒绝去深思用的原理.罗马的皇帝也不热衷的支持数学家.希腊在公元前十四世纪完全被罗马征服.当时托勒密王朝的末代君主为克利奥派翠亚(埃及艳后)与凯撒很好,凯撒为了帮助她与她的兄弟的纷争,放火烧了亚力山大港的战舰,结果大火无法控制,将亚力山大图书馆也烧掉了.大概有数以百万计的图书及手稿全部付之一炬,造成重大损伤.这一次损伤,耗了希腊数学不少元气.第二次浩劫:基督教的兴起,使得希腊数学面临第二次浩劫.因为他们反对教会外的研究,并且嘲弄数学,天文学及物理学.基督徒被迫禁止参与希腊研究,以防止受到污染.所以又有成千上万的希腊书被毁.第三次浩劫:回教徒征服亚力山大城后连最后的一些图书都被烧掉,当时的回教征服有一句话说:若是这些书的内容在可兰经中已有,则我们不必去读它.若在可兰经中没有则更不应该去读它,所以全部图书付之一炬.残余的部份:此时,一些学者都移居君士坦丁堡,寄托於东罗马帝国之下,虽然仍感到基督徒的不友好气氛,但是总是较安全,使得知识的库存又慢慢增加,直到14世纪文艺复兴时才又再发扬光大.9.与几何学有关的科学天文学:对希腊人而言,几何学的原则是宇宙空间的具体表现,所以几乎每个数学家都曾在天文学上下过功夫.事实上,三角学的发明,就是要研究天文学而发展出来的技术.有许多数学家都曾设计过天体间星球运行的模型.当时流行的有日心识菟地心说,日心说由阿里斯塔克提出(他是亚力山大城第一位伟大的天文学家),但是当时反对的人很多.地心说由托勒密提出来的.这个学说直到16世纪时才被推翻.在托勒密的时代,也就是天文学发展最巅峰的时期.另一位伟大的天文学家是阿波罗尼阿斯,他以数量的观点来描述过星球运动,这已接近18世纪时天文学的研究领域.托勒密的Almagest为经典之作.另外，中国的历代数学家在几何在也作出了不小的贡献，单列如下：中国几何发展史自明朝后期(十六世纪)欧几里得"几何原本"中文译本一部分出版之前，中国的几何早已在独立发展着。应该重视古代的许多工艺品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蕴藏了丰富的几何知识。 中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内己有规和矩二个字，规是用来画圆的，矩是用来画方的。 汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理(勾股二个字的起源比较迟)。 圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置。墨子对圆的定义是："圆，一中同长也。"—个中心到圆周相等的叫圆，这解释要比欧几里得还早一百多年。 在圆周率的计算上有刘歆(？一23)、张衡(78—139)、刘徽(263)、王蕃(219—257)、祖冲之(429—500)、赵友钦(公元十三世纪)等人，其中刘徽、祖冲之、赵友钦的方法和所得的结果举世闻名。祖冲之所得的结果π=355/133要比欧洲早一千多年。 在刘徽的"九章算术"注中曾多次显露出他对极限概念的天才。 在平面几何中用直角三角形或正方形和在立体几何中用锥体和长方柱体进行移补，这构成中国古代几何的特点。 中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果． 江苏吴云超解答供参考！

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几何学的发展大致经历了四个基本阶段。1、实验几何的形成和发展几何学最早产生于对天空星体形状、排列位置的观察,产生于丈量土地、测量容积、制造器皿与绘制图形等实践活动的需要,人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验,形成了一批粗略的概念,反映了某些经验事实之间的联系,形成了实验几何.我国古代、古埃及、古印度、巴比伦所研究的几何,大体上就是实验几何的内容。例如,我国古代很早就发现了勾股定理和简易测量知识,《墨经》中载有“圜（圆）,一中同长也”,“平（平行）,同高也”,古印度人认为“圆面积等于一个矩形的面积,而该矩形的底等于半个圆周,矩形的高等于圆的半径”等等,都属于实验几何学的范畴。2、理论几何的形成和发展随着古埃及、希腊之间贸易与文化的交流,埃及的几何知识逐渐传入古希腊.古希腊许多数学家,如泰勒斯（Thales）、毕达哥拉斯（Pythagoras）、柏拉图（Plato）、欧几里德（Euclid）等人都对几何学的研究作出了重大贡献.特别是柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学,确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础,而后欧几里德在前人已有几何知识的基础上,按照严密的逻辑系统编写的《几何原本》十三卷,奠定了理论几何（又称推理几何、演绎几何、公理几何、欧氏几何等）的基础,成为历史上久负盛名的巨著。《几何原本》尽管存在公理的不完整,论证有时求助于直观等缺陷,但它集古代数学之大成,论证严密,影响深远,所运用的公理化方法对以后数学的发展指出了方向,以至成为整个人类文明发展史上的里程碑,全人类文化遗产中的瑰宝。3、解析几何的产生与发展公元3世纪,《几何原本》的出现,为理论几何奠定了基础.与此同时,人们对圆锥曲线也作了一定研究,发现了圆锥曲线的许多性质.但在后来较长时间里,封建社会中的神学占有统治地位,科学得不到应有的重视.直到15、16世纪欧洲资本主义开始发展起来,随着生产实际的需要,自然科学才得到迅速发展.法国笛卡尔（Descartes）在研究中发现,欧氏几何过分依赖于图形,而传统的代数又完全受公式、法则所约束,他们认为传统的研究圆锥曲线的方法,只重视几何方面,而忽略代数方面,竭力主张将几何、代数结合起来取长补短,认为这是促进数学发展的一个新的途径。4、现代几何的产生与发展在初等几何与解析几何的发展过程中,人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密之处,并不断地充实一些公理,特别是在尝试用其他公理、公设证明第五公设“一条直线与另外两条直线相交,同侧的内角和小于两直角时,这两条直线就在这一侧相交”的失败,促使人们重新考察几何学的逻辑基础,并取得了两方面的突出研究成果。

解析几何诞生于17世纪的法国，数学家笛卡儿和费马通过把坐标系引入几何中，将几何的基本元素——点，与代数的基本研究对象——数对应起来，从而将几何问题转化为代数问题。解析几何学的产生可以说是数学发展史上的一次飞跃。它为17世纪数学最重要的成就之一——微积分的创立奠定了基础；解析几何把变量引入数学，因此完成或者简化了其他学科中一些定理的证明；同时，通过对图形方程的建立和研究将几何图形更好的应用到我们的生活中。公元前146年，罗马人征服了希腊本土。公元前47年，凯撒纵火焚毁停泊在亚历山大港的埃及船队，大火延及该城，并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬。罗马统治者推崇的基督教的传播，迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想象，使希腊数学蒙受了更大的灾难。查封学园，禁止学习研究数学，使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期。15世纪，随着拜占庭帝国的瓦解，难民们带着包括古希腊文化在内的财富逃亡到意大利，从15世纪中期到16世纪末，这段时期在欧洲称为文艺复兴时期。在这一时期，欧洲开始出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步，包括数学在内的科学文化开始复苏并繁荣起来。到17世纪，从封建社会内部产生出来的资本主义生产关系，处于它的上升时期，促进了社会生产力的迅速发展，远洋航行、矿山开采、机械制造以及资本的对外扩张，向自然科学提出了大量的问题，例如天体运行、钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等，所有这些，都已超出欧几里得几何学的范围。费马和笛卡儿创立的解析几何学解决了以上问题，解析几何是代数与几何相结合的产物，通过把坐标系引入几何中，将几何的“形”与代数的“数”对应起来，从而将几何问题转化为代数问题，它把变量引入数学，使得人们借助数学对运动变化规律进行定量分析成为可能。美国著名数学史家莫里斯·克莱茵指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”17世纪上半叶，数学家们已经积累了微积分的大量知识和方法，解析几何的出现为微积分的创立奠定了基础。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数；有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”在解析几何中，我们可以通过构造向量完成一些定理的证明，或者简化一些定理证明过程。利用空间解析几何中的数量积、向量积以及混合积运算，对一个向量与三个不共面向量的分解式进行混合积运算，之后在空间右手直角坐标系下应用混合积的坐标表示，代入四个向量的坐标以后可以证明线性代数中解线性方程组的重要定理——克莱姆法则。通过数量积的定义和空间直角坐标系下数量积的坐标表示式可以证明数学分析中的重要不等式——柯西—施瓦茨不等式；还可以利用双重向量积的计算公式证明数学分析中的两个重要等式——拉格朗日恒等式和雅可比恒等式。在三角形中构造向量以后，可以运用数量积的定义和运算律证明三角学中的余弦定理，还可以利用向量积模的定义证明三角学中的另一定理——正弦定理。