摘 要：本文针对近年来实变函数的教学情况，从多角度说明该门课程中证明的重要性，并给出如何处理数学证明的方法，使学生更好的理解这门课程。
关键词：抽象思维；逻辑推理；数学证明
熟知，实变函数是数学专业的一门重要的承上启下的课程。所谓"承上"，是指这门课程是数学分析的继续、发展、深化和推广；所谓"启下"是指这门课程又是泛函分析、偏微分方程和概率与随机过程等课程学习的基础。它和泛函分析一起被排在数学"新三高"之首，其重要性非常清楚。但其内容抽象程度较高，是一些在抽象思维和逻辑推理方面接受训练较少的学生感到难学。近年来随着高校的扩招，大学从精英教育转到大众教育，许多学者提出一些授课的技巧和方法，大多提倡以思想方法和理论形成为主，简化证明以方便学生学习。笔者认为除了这些以外，更要注重定理的证明，学习数学的目的不仅仅是为了了解数学的形成和发展，更主要的为了训练人的逻辑推理能力和抽象思维的能力等多方面的能力，简言之，学习数学的目的就是为了开发人的大脑，培养人的学习能力。但是实变函数中的证明往往难于理解，结合课程实际，给出如何处理该课程证明的一些方法。
一、除了要明确学习本课程的目的，更要明白什么是数学证明以及数学证明的目的。
实变函数学习的目的就是要使学生掌握近代抽象分析的基本思想, 在获取知识和运用知识过程中, 学会思考问题和解决问题的科学方法和必要技能,在思维方法上受到科学训练,培养良好的思维品质以及抽象思维、逻辑推理、数学表达能力、学习能力和创新精神与能力, 提高数学素质。也使学生能够从实变函数论的内容、观点和方法中吸取营养, 开阔视野, 加深对数学分析及有关课程理论和方法的认识与理解，用其严密的论证来培养严谨的数学素养。
而数学证明就是引用一些真实的命题来确定某一命题的真实性的思维过程。它同概念、判断、推理一样，是理性思维的一种形式，属于主观思维运动的范围。具体的从知识角度来看，使学生复习旧知识，并能用旧知识推导出新知识，以便更好的理解旧知识在这个知识体系中的地位和作用；从能力的角度来看，有利于提高合情推理能力、逻辑推理能力；从情感态度方面来看，有利于让学生养成科学的、严谨的态度。
通过严格的数学证明可以培养严谨的数学思考方式，数学思考的方式具有根本的重要性，简言之，数学为组织和构造知识提供方法，以至于用于技术时，就能使科学家和工程师们生产出系统的、能够复制的、并且是可以传播的知识。数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，它还有一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能。也就是说数学学习的目的就是训练思维活动，开发大脑。
二、数学科学的特点注定了必须重视实变函数中的数学证明
数学科学的特点主要体现在数学理论的严密性和抽象性上，所谓的严密性是指数学中的一切结论都必须经过可以接受的证明证实之后才能被认为是正确的，在数学中只有"是"与"不是"，经常都说"是"就必须证明，"不是"就要举出反例。当然，这不是说几何直观和例证不重要，它们主要用于启发人们的思维，不能代替证明。 正因为如此，数学家都认为实变函数中这些"繁琐"的证明恰好是这门课程的核心。如果删去像叶果洛夫定理、鲁金定理、勒贝格积分列的极限定理等的证明就等于丢掉了本课程的精华部分。所以，在教学中我们必须使学生认真研读证明过程，理解上下结构，从中体会数学思维和逻辑推理的严密性。
抽象思维法就是利用概念，借助言语符号进行思维的方法。它是数学学科公认的一个特点，这种思维形式既表现在数学的结论中，又体现数学研究的过程之中。抽象思维是思维的高级形式，又称为抽象逻辑思维或逻辑思维。其思维的基本单位是概念，人们通过概念进行判断和推理，通过分析、综合、抽象、概括等基本方法协调运用，来揭示事物的本质，这也就是数学的证明过程。这一点在实变函数中体现的尤为突出，这门课程从头到尾都是运用基本数学概念和符号，进行分析、综合、抽象和概括得到几乎难以相信的结论，很少用到运算的技巧，正因为如此，有学者提出实变函数的证明其实就是"扣定义"，能够很好训练抽象思维。
三、如何处理实变函数中的数学证明
首先，证明过程分层次进行，也就是把大问题变为小问题。在实变函数中，有许多定理证明较长，学生难于理解，但对多数定理进行综合分析可以发现，一方面，一个较长的证明往往包含了几个具有独立性的结论的证明和使用，这些结论一个套着一个，前者为后者做准备，后者以前者为基础，若前一个命题没有理解，后一结论就难以弄清，因此在教学过程中对定理证明的分析可采用两头考虑，中间分析的方法比较有效，也就是常说的分析法和综合法同时并用，例如叶果洛夫定理的证明以及应用可测函数是简单函数列的极限证明鲁金定理等都可采用此法。另一方面，实变函数中的许多证明都是运用定义来证明的，因而可以采取许多老师说的"扣定义"的方法，也就是我们从要证明的目标出发，去寻找结论所需要的条件，最后和已知联系起来就可以解决。例如要证明一个集合是开集，就要从开集的定义出发与内点联系起来，而内点又要和邻域联系在一起等等。
其次，在数学证明中把直观和抽象结合起来。许多学生感到实变函数不可捉摸、难于理解的思想本质就是其理论的高度抽象性，这也是该门课程迷人的一个特点，就是存在某些完全违背直观的结论，这些结论虽能令人信服的被证明，但却超出人们的想象与情理推断相矛盾。比如说不通过数学证明又有谁能相信区间与整个所包含的元素"一样多"？以往认为是"繁琐"的证明恰好是数学的核心。叶果洛夫定理、鲁金定理、勒贝格积分列的极限定理、勒贝格微分定理、富比尼定理等，这些定理的证明长而难于理解，在以往的教学中历来难于过关，如果因难教难学和学时减少而删去这些定理的证明就等于丢掉了本课程的精华部分。但是许多地方可以先从直观化引入教学，方便理解。例如讲解不存在最大基数问题时，可以从有限集合开始引入描述（在有限集合上有），勒贝格积分与黎曼积分的差别也可以从勒贝格提出的数钱例子出发说明。
再次，恰当运用反例，使学生更好的理解概念和定理。数学中的反例就是用以否定错误命题而举
的例子，通常反例分成三类，一是用来否定事是而非的命题的，实变函数中的许多命题结论都是错误的，就需要举出反例；二是用来说明命题和定理的条件、结论是不可更改的，比如在叶果洛夫定理的证明中，集合的测度能否小于正无穷；三是用来纠正直观上可能产生的错觉的。比如说明完备集能否铺满空间中的一块，就用康托集来说明是不可能的。
最后，和数学分析紧密联系，运用比较方法增强学生对问题的理解。实变函数是数学分析的继续和发展，其基本概念都是针对旧的有关概念在理论和方法上存在的某些缺陷或不足，进行改造而成的，讲解时尽可能由浅入深，由具体到一般，由已知到未知，逐步对学生加以引导。例如讲解勒贝格测度、勒贝格积分等概念时，可从学生熟悉的线段的长度、平面图形的面积及立体图形的体积等度量出发，引入到Jordan测度以及它与Riemann积分存在的不足，过渡到勒贝格测度和勒贝格积分。另外，也可由上、下积分相等来定义Riemann积分来理解Jordan内测度和Jordan外测度来定义Jordan测度，可测函数与连续函数等都可运用对比手段讲述。
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