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转化思想在解题中的应用

2015-11-19 10:07 来源:学术参考网 作者:未知

摘 要:

关键词:
  把面临的数学问题转化为与之等价的一个或几个较简单的数学问题,从而使原问题得到解决的思想方法叫做转化的思想方法。转化是一种重要的数学思想。怎样才能从山重水复疑无路到达柳暗花明又一村的境界呢?转化的思想方法既可以转化问题的条件,又可以转化问题的结论;既可以转化问题的内部组织结构,有可以转化问题的外部表现形式。
一  转化问题的模式
  例1  在有理数范围内分解因式      x9+ x8+…… + x2+x +1
本题若采用提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等模式均难以奏效,若利用等比数列求和公式Sn=a1(1-q)/(1-q)( q≠1)来分解就很容易得到解决。
  解  当x≠1,
  原式=(1-x10)/(1-x)
   =(1+x5)( 1-x5)/(1-x)
   =(1+x)(x4-x3+x2-x+1)×(1-x)( x4+x3+x2+x+1)/(1-x)
   =(1+x)( x4-x3+x2-x+1)( x4+x3+x2+x+1)
二  转化问题的结构
  当命题的原结构不利于问题的解答是,可以考虑将问题的原结构进行有目的改造,然后,在深入认识新结构中元素的作用,从中找到新的解题方法。数学家伯利亚在《怎样解题》中强调:“我们可以变换出各种不同的方式提问同一个问题。”就是这种思维方式。
  例2 不定方程的正整数解有多少组?
  本题若利用方程的知识来接,十分复杂。于是采用整体结构变换方法把它变成另一个更形象,更熟悉的问题:八本相同的书,分给5个学生,全部分完,有多少种分法?
结合图示,把八本书视为八个“?”,????????,现把它分为5部分(分给5个学生),就等于在这八个?之间的七个空中有变化的插入歌“+”,如?+?+?+?????就表示x1+x2+x3+x4+x5=1+1+1+1+4的一种结果(一种分法),于是本题的答案为C47
  推而广之,不定方程x1+x2+……+xn的正整数解应当有Cn-1m-1组
三  转化问题的主元
  在处理含有多个变量的数学问题时,常选择其中某一个(或多个)变量为“主元”,其余各变量视为常量,把已知关系当做“主元”的方程,函数,多项式等,从而使问题获得新颖别致的解法。
  例3 设,化简x5+2x4-ax3+(a+1)x-a
  若直接代入化简,因为有x,故很麻烦,现在以a为主元代入就会简单许多。
  解  由x=-1  得a=(x+1)2      故
  原式= x5+2x4-(x+1)2x3+[(x+1)2+1]x- (x+1)2
  =-1
四 引入参数转化问题的变量
  就是通过引入参数,使原问题的形式和解题目标发生变化,从而有利于从新的角度分析和认识问题,有利于开拓思路。它既可以作一般代换,又可以作三角代换,或数值代换,甚至技巧性更强的一些代换。
  例4 求函数z=3x2+2xy+3y2-4x+4y的最小值
  解  令x=a+b,y=a-b  即
   z=3(a+b)2+2(a+b)(a-b)+3(a-b)2-4(a+b)+4(a-b)
    =4(2a2+b2-2b)=4(2a2+(b-1)2)-4≥ -4
   当且仅当a=0且b=1,即x=y=1时,z最小=-4
  说明  这种两数和与差代换法最适用二元二次函数,x2项项与y2项系数相等且含有xy项的情况.
  本文通过以上几粒简单的介绍了转化思想在解题中的应用,转化作为一种重要的数学思想,出本文所述外,他在上学各个领域都有着广泛的应用。

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