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教育专业毕业论文题目只是需要题目吗？论文呢？
设 是定义在 上的实值函数。 若对任意 ， 存在 ，使得对 上的任意有限个互不相交的开区间 ， 当 时，满足则称 是 上的绝对连续函数。
1、选题尽量与日常工作结合起来一是便于收集数据，二是通过论文写作，对考生今后工作也有帮助，一举两得。反之，选一个与工作毫不相干的题目，从头开始，只能落得个事倍功半的结果。2、选择感兴趣的题目做论文是原创性的工作，因此，考生对某个方面感兴趣，会促使自己积极主动地探讨这方面的问题，强烈的成就动机将是做一篇优秀论文的基础。3、学术类文献综述类题目尽量不要选对所有参加自学考试的考生来讲，做学术论文是一件极具挑战性的工作，绝不是想象中那样轻松。自考过程中，考生可以通过强化复习通过考试，但做研究是完全不同的过程。只有在考生花费精力查阅大量文献后，才能知道可以做什么课题，还需要考生自己去收集数据，分析数据，撰写报告。综述性论文需要查阅大量的参考文献，从选题到提交论文，一般仅有3个月时间，真正码字可能就一两个星期的时间，在这么短的时间内要查阅到写综述的参考文献，难度相当大。时间短难度大，很少考生能将这些类型的论文写得好和有一定深度。不过，如果你实力很强，那也是可以的。当然，每次没能通过论文答辩的考生，绝大部分都是选择了这些雷区类型题目，希望大家吸取教训。
1. 生活中处处有数学 2、解数学竞赛题的整体策略 3、谈数学解题中发掘隐含条件的若干途径4、论数学教育中性别差异的影响 5、逆向思维在数学论证中的作用及培养6、谈小学、初中数学的衔接 7、容斥原理及其应用8、从高中课程改革看大学课程改革 9、信息化教育问题10、数学素质教育中的教师素质问题 11. 浅析课堂教学的师生互动12、谈设疑法在课堂教学中的应用 13、计算机辅助小学数学教学的探索 14、谈一类重要的数学方法--分类讨论法15、小学数学竞赛题的教育价值16、在解题中培养学生的数学直觉思维 17. 反思教学中的一题多解18. 初探影响解决数学问题的心理因素 19、在数学教学中培养学生的反思意识 20、关于探索性命题的若干问题 21、数学实验教学模式探究22、论小学数学竞赛题的解题方法 23、奥林匹克数学的解题策略24、三角形面积在竞赛中的应用 25. 数学教育中的科学人文精神 26. 数学几种课型的问题设计 27. 在探索中发展学生的创新思维 28. 把握发现式教学实质,优化课堂教学 29. 如何评价小学学生的数学素质 30. 阅读材料在数学教学中的作用 31. 数学中的判断之我见 32. 关于学生数学能力培养的几点设想 33. 反例在数学中的作用 34. 谈谈类比法 35. 数学教学设计随笔 36. 数学CAI应遵循的原则 37. 我国数学教育改革的若干问题 38. 当代数学教学模式的发展趋势 39. “问题解决教学”的实践与认识 40. 数学教学中的“理论联系实际” 41. 小学数学课堂教学探究性学习案例简析 42. 数学训练，贵在科学 43. 教学媒体在数学教学中的作用 44. 培养数学能力的重要性和基本途径 45. 初探在数学教学中开展研究性学习 46. 浅谈数学学习兴趣的培养 47. 如何使计算机辅助教学变得更方便 48. 精心设计习题，提高教学质量 49. 我对概念教学的的再认识 50. 数学教学中的情境创设 51. 结合数学教学实际开展教研教改 52. 为学生展开想象的翅膀创造环境 53. 利用习题变换，培养思维能力 54. 课堂教学中培养学生创造能力的尝试 55. 观察法及其在数学教育研究中的应用 56. 直觉思维在解题中的运用 57. 数学方法论与数学教学—案例三则 58. 概念课是思维训练的重要环节 59. 对概念导入和问题设计的思考 60. 把握概念本质注重思维能力的培养 61. 将研究性学习引入数学课堂教学 62. 数学教学的现代研究 63. 数学探究性活动的内容、形式及教学设计 64. 注重创新性试题的设计 以上为参考论文选题，学生写论文时可选用，也可按选题提供的范围和方向，根据自己教学过程中体会最深的某方面自定论文选题1．关于数学教学目的问题； 2．关于数学思维问题； 3．关于数学教学方法问题； 4．关于学习的迁移问题； 5．关于数学教学的评价问题； 6．关于熟练技能与深刻理解的关系问题； 7．数学的实用功能与数学的文化教育功能相关关系的研究； 8．数学教学的德育功能研究； 9．班级授课制中集体教学、小组教学和个别教学在数学教学中的地位和作用； 10．数学发现法(探究式)教学可实施的基本内容、对象和范围； 11．对数学教学中“可接受性原则”的认识及其具体做法的实验研究； 12．中学生数学学习习惯与学习方法的调查分析； 13．诊断和鉴别数学学习困难学生的方法探析； 14．数学智力因素与数学非智力因素的界定及其对学生学习成绩交互作用的研究； 15．数学教学中激发学生学习兴趣的内在机制和外部因素的研究； 16．教法与学法的双向作用研究； 17．学生“用数学”意识和能力的形成机制以及培养途径的实验研究； 18．数学新课程实施中转变学生学习方式的途径； 19．学生数学观念或数学意识的形成机制和培养途径的实验研究； 20．创设良好的数学教学心理氛围与提高数学教学质量相关关系 的研究。 21．中学数学教育的地位与作用。 22．形象思维与数学教学。 23．直观思维与数学教学。 24．非智力因素与数学学习。 25．数学美与数学教学。 26．在数学教学中怎样培养学生的数学能力。 27．数学作图及图形的教学。 28．数学解题错误的探讨。 29．怎样配备数学习题。 30．数学解题常用的一些思维方法。 31．怎样提高学生的自学能力。 32．怎样培养学生学习数学的兴趣。二、《概率论与数理统计》参考题 1．有关概率论发展的历史。 2．随机性与必然的数学基础与认识。 3．随机变量的直观认识与数学描述。 4．古典概率型的计算技巧。 5．几何概率型的分析处理。 6．有关概率论之介绍。 7．概率论中数学期望概念。 8．利用期望概率统一引人矩阵概率。 9．期望概率在概率论中的地位和作用。 10．特征函数与因数在概率论中的作用及其含义。 11．关于独立性。 12．大数定律与中心定律之含义。 13．大数定律与概率的统计定义。 14．有关概率不等式。 15．条件概率与条件期望。 16．Bayes公式的扩展。 17．概率在其它学科中的应用。 18．其它数学分支在概率论中的应用。 19．概率题目计算的多解性。 20．数理统计概念。 21．数理统计的过去与现在。 22．数理统计在客观现实中的作用。 23．假设检验的实质与作用。 24．参数估计的作用与处理方法。 25．数理统计在你自己工作实践中的应用(实例)。 26．学习概率统计的实践与体会。 27．概率统计中的错题分析。 28．如果我讲概率统计的话，我将这样讲(要求具体详细，资料充实，结构新颖)。 29．利用回归分析方法处理问题。 30．回归分析理论中存在的问题与解决的设想。三、《微分几何》参考题 1．空间曲线的基本公式及其在曲线论中的作用。 2．渐近线与渐缩线。 3．空间曲线弯曲性的研究。 4．曲率与挠率。 5．曲面的第一基本形式在曲面论中的作用。 6．等矩映象与曲面的内在几何。 7．曲面的第二基本形式在曲面论中的作用。 8．曲面上的曲率线，渐近曲线，测地线。 9．曲面的内在几何与外在几何的相依性。 10．曲面内的基本定理与曲线论的基本定理的比较(相仿之处与不同之处)。 11．高斯曲率的意义与作用。 12．等矩映射与等角映射及等积映射的关系。 13．高斯与波涅公式的意义与作用。 14．伪球面与罗氏几何。四、《复变函数》参考题 1．复变函数在一点解析的等价定义。 2．幅角多值性所导出的问题汇集。 3．小结复变函数的积分。 4．解析与调和函数的关系。 5．漫谈复数∞。 6．0，∞与函数 7．多值函数单值分支的表达与计算。 8．分式线性函数全体对乘法——函数复合——构成群。 9．∞和∞邻域的引进使扩充复平面的为紧空间。 lo．等比级数 ，在函数的泰勒展开式和罗朗展开式中的作用。 11．谈复数的比较大小问题。 五、《实变函数》参考题， 1．关于积分号下取极限(积分与极限交换次序问题)。 ①在什么条件下可以积分号下取极限，是积分的一个重要性质，例 如关系到微积分基本定理成立的条件，函数项级数和的性质等等。 ②列举勒贝格积分和黎曼积分在几个问题上的基本结论，分析其 中最基本的要求和相互关系(书上P146第6题可供参考)，可以发现勒贝格积分在这方面比黎曼积分好得多，而且是用勒贝格积分的主要好处之一。 ③给出上述基本结论的简单推论，新的证明方法应用例题，并说明它们的意义。 2．关于微积分基本定理(牛顿一菜布尼兹公式) ①什么是微积分基本定理，它的重要意义在哪里? ②黎曼积分情形，相应定理的条件是什么?有什么不足之处? ③勒贝格积分情形，相应的定理的结论和条件又是怎样的?条件减弱在哪里?还有什么问题? ④应用例题。 3．关于绝对连续函数。 ①绝对连续的定义是什么?有些什么等价说法或充分必要条件，并证明之。绝对连续与连续、一致连续有什么不同，有什么关系。 ②证明绝对连续函数列一致收敛的极限，可微函数与绝对连续函 数复合，仍为绝对连续的。 ③绝对连续函数几乎处处可微，能否做到处处可微?举例!绝对连续函数与它的导致关系如何，与微积分基本定理有什么关系。 ④绝对连续函数全体组成线性空间。 4．关于勒贝格积分。 ①试将关于勒贝格积分的定义综合起来，做出一个统一，一般的勒贝格积分定义，并说明勒贝格积分仍然是“分割、求积、取极限”的结果，勒贝格积分的“分割”与黎曼积分又有何根本不同之处? ②说明勒贝格积分在几何上仍是“曲边梯形的面积”。 ③证明对于勒贝格积分，也和黎曼积分一样，无界函数的积分(广 义积分)和无界区域上的积分(无穷积分)，都是有界函数在有界域上的积分的极限。 ④勒贝格积分有哪些黎曼积分所没有的重要性质。从积分的定义看，是什么原因导致这两类积分有许多重大差别。 ⑤勒贝格积分有许多重要性质，带来一些什么好处? 5．关于测度。 ①总结定义点集的勒贝格测度的过程，并与数学分析中定义区域的面积的过程(重积分前面部分)作比较，分析其中不同之处，以及为什么因为这些不同，导致黎曼积分和勒贝格积分在性质上有许多重大差别。 ②说明勒贝格测度长度、面积、体积概念的推广，当平面区域可求面积时，它的面积和勒贝格测度相等。 ③列举勒贝格测度的重要性质，说明它们与勒贝格积分性质的关 系(例如测度的可数可加性与积分的可数可加性有什么关系，单调集列极限的测度(定理3、2、6～3、2、10)与勒维定理(定理5、4、2的关系)。 6．关于可测函数。 ①可测函数与连续函数，可积函数从定义上、性质上看有什么关系和差别。 ②全体可测函数构成线性空间，构成环。 ③试说明鲁金定理的意义，以及它与黎斯定理、叶果洛夫定理的关系。你如何理解“可测函数近于连续函数”及其理由。 7．关于可测函数列的各种收敛概念。 ①试述实变函数论中及数学分析中讲过的各种收敛概念的定义和性质、互相之间的关系。以及引进这些概念的意义和用处。 ②从黎斯定理和叶果洛夫定理出发说明，你怎么理解“几乎处处收敛，近乎一致收敛”。 8．关于点集上的连续函数。 ①定义，性质。 ②与数学分析中讲的连续的关系。 9．集合论和点集论的方法在实变函数论中的意义。 从一些具体例子出发说明，为了解决数学分析中一些结果不够完善的问题，如推广它们的结论，有必要用这种方法去研究函数，用它也确实有好的效果。说明集合论是测度论和积分论的基础。 以上问题，除参考．所用教材外，还可参考程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》。朱玉楷编《实变函数简编》等有关书籍资料。
还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法
讨论函数的一致连续性意义：所谓一致连续，就是要求当函数的自变量的改变很小时，其函数值的改变也很小，从而要求函数的导数值不能太大——当然只要有界即可。
函数f（x）在［a，b］上一致连续的充分必要条件是在［a，b］上连续。
函数f（x）在［a，b）上一致连续的充分必要条件是f（x）在（a，b）上连续且f（b-）存在。
意义
从上述定义中可以看出，当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。
某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x'和x"，当满足|x'-x"|<δ时，|f(x')-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。
由函数的连续性定义到一致连续性定义的理解思路（因为 数学语言 很严谨，但却不丰富，故不少朋友对这两个定义理解起来都比较吃力，其实这两个定义有很大的差别，现在以我的理解，用比较饱满的言语，来叙述一下连续性定义到一致连续性定义的理解思路以及二者的区别。其实将本文耐心读完后，你就知道这两个定义想讲什么了。） 一、由函数的连续性定义到一致连续性定义的理解思路： 函数连续性的定义是 ：对于任意小的ε>0，和在区间I上所有的点x而言，存在δ>0，同时对于任意属于N（x,δ）的y而言，如果都存在|f(y)-f(x)|<ε的话，那么说明对于I上任意的点x而言极限都是存在的，从而点点都连续，故函数在I上连续。 某牛逼的数学家看到这个定义后，他画了一个函数图，比如说F=1/x这个函数图，显然这个函数F是连续的，也适用于函数连续性的定义。于是某牛逼开始根据这个图和连续的定义来胡思乱想了。。。。。。 这个牛逼的人，琢磨的是F在 第一象限 即x>0时的图像，他将连续的定义用于这个图中：他在图上取了任意的三个点，根据连续的定义，他先假设这三个点在Y轴上都对应同一个已经被确定下来的ε，这时他观察X轴发现，图上三个点也都可以找到与之对应的δ，但也惊奇的发现，三个点对应的δ区间却不一样。。。 （他开始回忆什么是δ区间？对于函数中一个固定的点而言，一个固定的ε肯定对应着许多δ，这些δ可以组成一个最大的区间，叫δ区间。即一个固定的点，一个确定的ε，对应一个确定的δ区间，而且只有当ε改变时，这个δ区间才会改变，从而也说明对于一个固定的点而言，δ区间的改变只受ε改变的影响。） 但他在三个点上看到的却不是这么一回事，从三个点的角度看，即使固定下来一个ε，δ区间也会随着三个点位置的不同而发生变化，所以他得出了一个结论——基于三个点，进而对于函数的全局上来说，δ区间除了受ε影响外，还会受到点位置的不同的影响。 基于连续性的定义，从一个点的角度看，δ区间的改变只受ε改变的影响；从全局看呢，δ区间还受点位置的影响。这时他在琢磨了：在连续性定义中，δ区间受到两个因素的影响，在这个定义下，δ区间受到的影响因素太多了，以后碰到事情不好分析，他希望创造出一个新的连续定义来规避其中点位变化的因素，在这个新的连续性定义下，让δ只受ε的影响。这该如何规避呢？ 他发现，此前X1 X2 X3 三个点对应着三个不同的δ区间δ1，δ2，δ3，其中区间δ3最小，于是他选了其中最小的一个区间δ3，他将区间δ3放在X1，X2这两个点上试了一下他发现，如果X1、X2不用此前的δ1，δ2区间，而只用最小的这个δ3区间，其实函数也是连续的。进而他想，对于一个连续函数，在确定一个ε后，在区间I上那么多点X中，肯定也存在一个最小的δ区间，使得函数连续。那么如果把这个最小的δ区间构建到新的定义中，取代原来的那些大小不一变化的δ区间，结果会如何，会不会达成规避点位影响的目标呢？ 于是他弄了一个新的连续定义，起名一致连续定义，同时他给最小的这个δ区间取了个新名字，叫δ（ε），该定义是： 如果函数是一致连续的，那么对于任意小的一个ε>0，对于在区间I上所有的点x而言，就对应着许多不同的δ区间，同时也会存在一个最小的δ区间，记为δ（ε）>0，然后，对于任意属于N（x,δ（δ））的y而言，也将存在|f(y)-f(x)|<ε。 某牛逼回想了一下发现，在这个新的连续概念中，虽然事实上ε不变，δ区间还是会随着点位置的不同而发生变化，但好在δ（ε）是变化的δ区间中被确定的最小的一个，所以在新概念中，δ（ε）不随点位的变化而变，只随ε的变化而变，从这个意义上，他规避了点位的影响。 函数的连续性 一致连续性的异同 一：δ的概念不一样： 函数连续性的定义是 ：对于任意小的一个ε>0，和在区间I上所有的点x而言，存在δ>0，同时对于任意属于N（x,δ）的y而言，如果都存在|f(y)-f(x)|<ε的话，那么说明对于I上任意的点x而言极限都是存在的，从而点点都连续，故函数在I上连续。 （这里每个点对应的δ都可能会不同） 一致是： 对于任意小的一个ε>0，对于在区间I上所有的点x而言，就对应着许多不同的δ区间，同时也会存在一个最小的δ区间，记为δ（ε）>0，然后，对于任意属于N（x,δ（δ））的y而言，存在|f(y)-f(x)|<ε。 （这里的δ都是固定的最小的一个） 二：规避X的影响因素 连续的δ受X影响，一致的δ（ε）因为是被固定下来了，δ虽然受X影响，δ（ε）只受ε影响。 三：适用的连续图像不同 如对于1/x的图像，看 第一象限 ， 函数连续性定义是适用的，但一致连续就不适用。因为在一致的概念中，需要首先找到一个最小的δ区间即δ（ε），把δ（ε）定下来后，使得整个区间I都适用，但在该图像 第一象限 中，X趋于0时，δ区间是不断变小的，在整个I上你都无法确定哪一个是最小的δ，即无法确定下来δ（ε），先天条件就不足，当然不适用一致性。换句话说，即使你选了一个点位，你认为该点的区间是最小的δ（ε），当你将这个δ（ε），向X趋于无穷大套用时，当然都连续，但当你将这个δ（ε），向X趋于0的方向套用时，你始终会碰到一个点，使得|f(y)-f(x)|》=ε。 四：一致性是指X变化一致（这点我觉得最关键，是逆向思维） 从一致性的定义中可以看出来，如果函数一致连续的，那么当所有的点在X上同时变化一个相等的范围δ（ε）时，其所有点对应函数值Y的变化最大范围，就是那个最小的δ区间即δ（ε）映射的范围，也就是说，对于一致连续函数，如果固定的一个δ（ε），当所有的点都同时变化时，函数值Y的变化有上限范围ε。 但是在连续的定义中就看不出以上类似结论，只能说，当所有的点其函数值同时变动一个相等的范围ε时，其在X上变动的范围对应着不同的δ。 综上，一致连续的定义更严格，条件更细致，也让我们看到了连续的一些新的特质。
是，函数在某点存在极限，只要左右极限存在且相等，而与该点是否有定义无关。函数在某点连续，则要求左右极限存在且相等，且都等于该点的函数值。换言之，该点必须有定义，且函数值等于左右极限值。函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。扩展资料：以的极限为例，f(x)在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数使得当x满足不等式时对应的函数值f(x)都满足不等式：那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。如函数极限的唯一性。参考资料来源：百度百科--函数极限
2017大学数学论文范文
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。但是特殊函数往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。下面是我整理的关于几类特殊函数的性质及应用的数学论文范文，欢迎大家阅读。
几类特殊函数的性质及应用
【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。
【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分
1.引言
特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。
特殊函数定义及性质证明
特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。
特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。
2.伽马函数的性质及应用
伽马函数的定义：
伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。
Г函数在区间连续。
事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。
，伽马函数的递推公式
此关系可由原定义式换部积分法证明如下：
这说明在z为正整数n时，就是阶乘。
由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....
用Г函数求积分
贝塔函数的性质及应用
贝塔函数的定义：
函数称为B函数(贝塔函数)。
已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：
贝塔函数的性质
对称性：=。事实上，设有
递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有
即
由对称性，
特别地，逐次应用递推公式，有
而，即
当时，有
此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为
由上式得以下几个简单公式：
用贝塔函数求积分
例
解：设有
(因是偶函数)
例贝塔函数在重积分中的应用
计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，
解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是
通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。
贝塞尔函数的性质及应用
贝塞尔函数的定义
贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ是任一实数。
贝塞尔函数的'递推公式
在式(5)、(6)中消去则得式3，消去则得式4
特别，当n为整数时，由式(3)和(4)得：
以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。
又因为
以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。
为半奇数贝塞尔函数是初等函数
证：由Г函数的性质知
由递推公式知
一般，有
其中表示n个算符的连续作用，例如
由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数(n为正整数)都是初等函数。
贝塞尔函数在物理学科的应用：
频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，.根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令
称为的Fourier变换。它的逆变换是
若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值(这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，
这就是Shannon取样定理。Shannon取样定理中的母函数是
由于Shannon取样定理收敛速度不够快，若当这时允许的最大取样间隔特征函数Fourier变换：
以下取样方法把贝塞尔函数引进取样定理，其特点是收敛速度快，且可根据实际问题调节收敛速度，这样就可以由不太多的取样值较为精确地确定函数。
首先建立取样定理
设：
其中是零阶贝塞尔函数。构造函数：
令
经计算：
利用分部积分法，并考虑到所以的Fourier变换。
通过函数卷积法，可加快收敛速度，使依据具体问题，适当选取N，以达到预期效果，此种可调节的取样定理，计算量没有增加很多。取：
类似地
经计算：
经计算得：
则有：设是的Fourier变换，
记则由离散取样值
因为，故该取样定理收敛速度加快是不言而喻的，通过比较得，计算量并没有加大，而且N可控制收敛速度。
例，利用
引理：当
当
因为不能用初等函数表示，所以在求定积分的值时，牛顿-莱布尼茨公式不能使用，故使用如下计算公式
首先证明函数满足狄利克雷充分条件，在区间上傅立叶级数展开式为：
(1)
其中
函数的幂级数展开式为：
则关于幂级数展开式为： (2)
由引理及(2)可得
(3)
由阶修正贝塞尔函数
其中函数，且当为正整数时，取，则(3)可化为
(4)
通过(1)(4)比较系数得
又由被积函数为偶函数，所以
公式得证。
3.结束语
本文是关于特殊函数性质学习及其相关计算的探讨，通过对特殊函数性质的学习及其相关计算的归纳可以更好的掌握特殊函数在日常学习中遇到相关交叉学科时应用，并且针对不同的实例能够应用不同的特殊函数相关性质进行证明、计算，从而更加简洁，更加合理的利用特殊函数求解相关问题。有些特殊函数的应用不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。
参考文献：
[1] 王竹溪.特殊函数概论[M].北京大学出版社，，90-91.
[2] 刘玉琏.数学分析讲义(下册)[M].高等教育出版社，2003，331.
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[4]王坤.贝塔函数在积分计算中的应用.[J]科技信息，2012(34)
[5] 王纪林.特殊函数与数学物理方程[M].上海交通大学出版社，2000，96-98.
[6] 陶天方.由特殊函数表达的快速取样定理 [J]. 上海大学学报(自然科学版),1997,8(4):368-371.
[7]饶从军，王成.让数学建模活动促进数学教学改革[J].中央民族大学学报(自然科学版)，2004，2.
[8]赵宜宾.一类特殊函数定积分的求解[J].防灾技术高等专科学校学报,2010,1(3):38-39.
[9]董林.降次公式的探究—兼论一个猜想的证明[J].教学通报，.
[10] 李德新.利用对称原理计算定积分的三种方法[J].高等数学研究，2004，7(6)：41—42.
[11]翟忠信，龚东山.高等数学的教与学[J].高等理科教育，2004(6)：29—34.
[12]胡淑荣. 函数及应用[J]. 哈尔滨师范大学学报.2002,18(4):12~15.
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摘要 :穆勒的算术哲学包含两个方面的内容 :一方面是对先天论几何观和唯名论算术观的批判 ;另一方面是对数的性质和数的形成方式的阐明。尽管这种算术哲学通常被认为具有一种“极端的”或“狭隘的”经验主义特征而受到弗雷格和胡塞尔等人的严厉批判 ,但这些批判本身也都面临着各自的困难 ,而这使得穆勒的算术哲学至今都不能被彻底抛弃。
文发网 提供免费参考文献 还可以提供写作指导 帮助发文章摘 要:在多载波码分多址系统上行链路的频率选择性信道中,本文提出了一种使用多天线分集接收的基于改进人工鱼群算法的多用户检测方案。仿真结果表明,在相同计算复杂度下,基于Pareto优化准则的个体选择机制AFSA-MUD的误码率性能要远远优于基于代价函数线性合并的个体选择机制。Abstract: A improved artificial fish swarm algorithm (AFSA) assisted multi-user detection (MUD) is proposed for the receive-antenna-diversity-aided multi-carrier code-division multiple-access (MC-CDMA) systems in frequency-selective fading channel. Simulation results showed that: with the same computation complexity, the strategy has much better bit error rate (BER) performance than the convention , MC-CDMA, MUD关键词:天线分集;多载波码分多址;多用户检测中图分类号: 文献标识码:B 文章编号:1009-9166(2009)020(c)-0107-01一、信号模型考虑工作于同步模式下的MC-CDMA系统上行链路,假设在同一小区同一频率同一时隙同时有K个激活用户。假定基站接收端使用M个接收天线。只有第k个用户被激活,基站接收端第m个接收天线分支接收到等效频域信号可表示为:(1)bk(t)为用户k传输的数据,A为用户k发射信号的功率,Ck是用户k归一化的扩频码,Hk,m是用户k到基站第m个接收天线之间的等效的频域信道矩阵。第m个天线,对数似然函数(LLF)定义为:(2)因为不同天线信道经历的衰落是相互独立的,所以就存在 。对于最大似然检测,不同天线的对数似然函数可以通过式(3)进行合并:(3)二、基于AFSA算法的多用户检测选择行为在迭代中人工鱼个体的选择直接决定了下一代鱼群的质量,从而决定了ASFA-MUD的性能。基于Pareto准则。每条鱼有M+1个相关的适应值,定义为f(bp)=[∧1(bp),k∧M(bp),∧(bp)]。假如人工鱼个体i和人工鱼个体j满足:(4)称个体i被个体j支配。如果一条人工鱼个体在鱼群中按照式(4)没有被任何粒子支配,就认为该个体是一个Pareto最优解。交叉行为根据一定的概率从T个个体选择两个父亲个体按照均匀交叉原则两两进行交叉。反复直至形成P个个体的新的鱼群。在进行选择时,第p个人工鱼个体被选中的概率根据均方差缩放原则由其代价函数 决定。聚群行为聚群行为是当前人工鱼个体bp探索可见区域内伙伴数目nf以及中心位置bc。dpi定义为人工鱼向量bp和bi的异或,visial是一给定的可见距离。当1≤nf∧(bp),就向该方向前进一步,否者就进行觅食行为。觅食行为觅食行为操作就是当前人工鱼状态bp在其可见区域内随机产生一个新的状态bj。假如∧(bj)>∧(bp),就向该方向前进一步,即bj代替bp,反之,选择新的状态。三、仿真结果考虑上行同步的MC-CDMA系统,基站接收端使用两个接收天线,采用BPSK调制,使用正交Walsh码作为扩频码。设定信道为两径等增益衰落信道。图3给出了子载波数目N=32,用户数K=16(半载系统)和种群个体数目P=10,种群进化代数Y=10,觅食行为的试探次数 =2、6时基于改进AFSA-MUD和其它检测方法的误比特率(BER)性能。从图3可以看出,基于Pareto优化准则的个体选择机制的改进AFSA-MUD的BER性能要远远好于其它传统次优检测方法,同时也远远优于基于代价函数线性合并的个体选择机制的方案。当TN增大时,误码率性能有很大的改善,但是这样增大了计算的复杂度。因此设置不同的K、P、Y和TN的取值,可在性能与复杂度之间进行有效配置。这篇文章可以不？
论文中相对数指标变量要取对数的原因：平时在一些数据处理中，经常会把原始数据取对数后进一步处理。之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是单调增函数，取对数后不会改变数据的相对关系。
缩小数据的绝对数值，方便计算。例如，每个数据项的值都很大，许多这样的值进行计算可能对超过常用数据类型的取值范围，这时取对数，就把数值缩小了，例如TF-IDF计算时，由于在大规模语料库中，很多词的频率是非常大的数字。
适用性
是乘积形式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式的情况，求导时比较适用对数求导法，这是因为：取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。
以WPS 2019版为例
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没有办法，只能是封面，目录另做
毕业论文排版格式要求
紧张又充实的大学生活即将结束，众所周知毕业前要通过最后的毕业论文，毕业论文是一种有准备的检验大学学习成果的形式，毕业论文我们应该怎么写呢？下面是我收集整理的毕业论文排版格式要求，欢迎大家分享。
毕业论文排版格式要求
一、纸张和页面要求
纸型为A4，上下页边距为、左边距为、右边距为、正文行距为固定值23磅。单面打印。
二、论文装订页码顺序
1、封面(学校统一下发)
2、题名页
3、中文摘要、关键词
4、英文摘要、关键词
5、目录(要求至少有二个层次，注明页码)
6、论文正文
7、结论
8、参考文献
9、致谢
以上9项分别从新页开始。
三、章节目序号
按照正式出版物的惯例，章节编号方法应采用分级数字编号方法，按三级标题编写：
1 ……
……
……
如三级标题后面要继续编目，请按下列标号进行：
(1) ……
1) ……
① ……
四、排版格式
1、学校下发的封面，一律用黑水笔正楷填写或打印。
2、题名页见样张一：
(1)题目用二号黑体，居中，单倍行距。题目上空4行，下空10行，空行均为三号，单倍行距。
(2)专业、学生姓名、指导教师姓名及提交时间用三号黑体，单倍行距，上下对齐。
(3)此页不加页眉，不加页码。
3、论文中文摘要见样张二：
(1)题目用三号黑体，居中，单倍行距。题目上下各空一行，空行均为三号，单倍行距。
(2)居左打印“摘要” 二字(四号黑体，不加粗)。
(3)“摘要”后面空两格打印摘要内容(小四号宋体)。
(4)摘要内容后下空一行居左打印“关键词”三字(四号黑体，不加粗)，其后空两格为关键词(小四号宋体)，每一关键词之间用逗号隔开，最后一个关键词后不打标点符号。
(5)此页加页眉，不加页码。
4、英文摘要见样张三：
(1)题目用三号Times New Roman字体，居中，单倍行距。题目上下各空一行，空行均为三号，单倍行距。
(2)居左打印“ABSTRACT” (四号Times New Roman，加粗)，“ABSTRACT”后空两格打印英文摘要内容(小四号Times New Roman，不加粗)。
(3)摘要内容第二段开始每段开头留四个空字符。
(4)摘要内容后下一行为“KEY WORDS” (四号Times New Roman，加粗)，其后空两格为关键词用小写字母(小四号Times New Roman，不加粗)，每一关键词之间用逗号隔开，最后一个关键词后不打标点符号，关键词全部小写。
(5)此页加页眉，不加页码。
5、目录格式见样张四。
(1)“目录”二字为小二号黑体，居中打印;上下各空一行(二号，单倍行距)，目录下的各章节标题为章、节、小节及其开始页码(小四宋体)。
(2)章节编号，用分级阿拉伯数字编号方法，即第一级为1、2、3等，第二级为、、等，第三级为、、。第一级标题顶头编排，第二级标题分别比上一级空2格开始编排，第三级标题分别比上一级再空2格开始编排。对齐方式为分散对齐。
(3)目录页加页眉
(4)单独编排页码：阿拉伯数字，居中，小五号宋体。
6、正文格式要求见样张五：
字体：所有一级标题均采用三号黑题(不加粗)，居中，上下各空一行;所有二、三级标题均采用小四号黑体(不加粗)，靠左对齐，首行缩进2个字符;二级标题前空一行，二级标题后不空行;三级标题前后均不空行。
所有正文均采用小四号宋体，靠左对齐，首行缩进2个字符，行距均为固定值23磅。
sci论文排版格式要求
1、尺寸：A4(210×297毫米)。
2、装订位置：左面竖装，装订位置距左边界0毫米。
3、版芯位置(正文位置)：按照A4纸张默认格式。
4、页码：采用页脚方式设定，采用五号Time New Roman，处于页面下方、居中。
5、论文题目：三号黑体，居中。
6、作者：论文题目下隔一行，居中，采用小四号仿宋体，
7、中文摘要和中文关键词：用五号仿宋体、两端对齐方式排列。
8、正文文本：宋体小四号、标准字间距、行间距为倍行距、所有标点符号采用宋体全角、英文字母和阿拉伯数字采用半角的要求排版，采用多级符号版式。如：一级标题用阿拉伯数字(1、2、3 ……)标引，采用四号黑体并缩进4个字符排列;二级标题缩进4个字符并用阿拉伯数字(、、 ……)标引，字体采用小四号黑体。
9、文中图表：所涉及到的全部图、表，不论计算机绘制还是手工绘制，都应规范化，符号、代号符合国家标准，字体大小与正文协调，手工绘制的要用绘图笔，图表名称和编号准确无误。
10、参考文献：位于正文结尾后下隔2行，“参考文献” 四字左对齐，采用宋体小四号加粗;具体参考文献目录按五号宋体、靠左对齐、阿拉伯数字标引序号([1]、[2]……)的方式排列。
论文格式排版要点
一、论文印装
毕业论文必须用计算机按规定格式单面打印。打印按本规范对各部分字体的要求。
二、文本结构
01、封页(由校统一制作)
02、论文扉页
03、毕业论文中文摘要
04、毕业论文英文摘要
05、毕业论文目录
06、毕业论文正文
07、参考文献
08、致谢
09、附录
10、文献翻译(含扉页，外文资料原文)
11、实习报告(含扉页)
三、毕业论文撰写的内容与要求
1、论文题目
论文题目应该简短、明确、有概括性。标题字数要适当，不应超过20汉字。
2、中外文摘要及关键词
简要概括论文的主要内容和观点。中文摘要400字以内，配相应的英文摘要;关键词一般以3～5个为妥。按词条的外延层次从大到小排列。
3、目录
目录应独立成页。目录按二级标题编写，要求层次清晰，且要与正文标题一致。目录还应包括绪论、致谢、参考文献、论文后的附录等。
4、论文正文
论文正文包括引言或问题的提出、论文主体及结论等部分。
引言或问题的提出，要在论文主体之前，用简练概括性语言引出论文所要研究的问题，不必体现“引言”字样。它应是综合评述前人工作，说明论文工作的选题目的和意义，以及论文所要研究的内容。
论文主体是论文的主要部分，应文字流畅，语言准确，层次清晰，论点清楚，论据准确，论证完整、严密，有独立的观点和见解。论文正文文字应不少于10000字。
结论是对整个论文主要成果的归纳，要突出论文的创新点，以简练的文字对论文的主要工作进行评价，一般为400～1000字。
5、参考文献与注释
引用是学术论文的重要写作方法，“参考文献”是论文中引用文献出处的目录表。参考文献必须是学生本人真正阅读过，以近期发表的文献为主，应与论文工作直接有关。参考文献数量不少于15篇，其中外文文献不少于3篇。
注释是对论著正文中某一特定内容的进一步解释或补充说明，一般排印在该页地脚。参考文献序号用方括号标注，按引用先后，在正文的相关处用上标表明(如[1]，[2]，)，并与文末的参考文献相对应，而注释用数字加圆圈标注(如①、②)。如果在注释里引用参考文献的，参考文献的格式不变，但需用括号标示。
6、致谢
对导师和给予指导或协助完成论文工作的组织和个人表示感谢。内容应简洁明了、实事求是，避免俗套。
7、附录
根据需要可在论文中编排附录，附录序号用“附录一、附录二”等字样表示。有些不宜放在正文中，但有参考价值的内容(如外文文献复印件及中文译文、等)可编入论文的`附录中。
四、毕业论文打印格式
除外文资料可以复印外，其它文字统一使用Windows平台下的Word字处理软件打印，一律采取A4纸张，页边距一律采取默认形式(上下，左右，页眉，页脚)，行间距取多倍行距(设置值为);字符间距为默认值(缩放100%，间距：标准)。页眉从正文开始，一律设为“天津科技大学XXXX届本科生毕业论文”，采用宋体五号字居中书写。页码从正文开始按阿拉伯数字(宋体小五号)连续编排，居中书写。注意中英文标点符号的区别，不能混用。
1、扉页格式
中文题目要求：宋体;二号;加粗;居中。英文题目要求：TimesNewRoman;大写;小四;加粗;居中。其它文本要求：宋体;小三。(译文及实习报告的扉页格式不做统一要求)。
2、摘要
中文摘要采用小四号宋体字;西文摘要采用小四号“TimesNewRoman”字型，中英文摘要的内容要一致，均要有3-5个的关键词，各关键词之间要有1个空格及分号。中英文摘要分页编排。
3、目录
目录按二级标题编写，目录采用四号字，其中一级题目用黑体字，二级题目用宋体字，并注明起始页码，题目和页码间用“……”相连。
4、毕业论文正文
正文文字内层次采用如下格式：
5、参考文献
另起一页。引用文献标示应置于所引内容最末句的右上角，用小五号字体。所引文献编号用阿拉伯数字置于方括号“[]”中，如“二次铣削[1]”。当提及的参考文献为文中直接说明时，其序号应该与正文排齐，如“由文献[8，10～14]可知”。
文科论文引用文献，若引用的是原话，要加引号，一般写在段中;若引的不是原文只是原意，文前只需用冒号或逗号，而不用引号。
参考文献书写格式应符合GB7714-1987《文后参考文献著录规则》。常用参考文献编写项目和顺序规定西文文献中第一个词和每个实词的第一个字母大写，余者小写;俄文文献名第一个词和专有名词的第一个字母大写，余者小写;日文文献中的汉字须用日文汉字，不得用中文汉字、简化汉字代替。文献中的外文字母一律用正体。作者为多人时，一般只列出3名作者，不同作者姓名间用逗号相隔。外文姓名按国际惯例，将作者名的缩写置前，作者姓置后。
学术会议若出版论文集者，可在会议名称后加上“论文集”字样。未出版论文集者省去“出版者”、“出版年”两项。会议地址与出版地相同者省略“出版地”。会议年份与出版年相同者省略“出版年”。学术刊物文献无卷号的可略去此项，直接写“年，(期)”。
序号应按文献在论文中的被引用顺序编排。换行时与作者名第一个字对齐。若同一文献中有多处被引用，则要写出相应引用页码，各起止页码间空一格，排列按引用顺序，不按页码顺序。
6、致谢
另起一页。“致谢”二字中间空两格、四号字、黑体、居中。内容限1页，采用小四号宋体。
7、附录
另起一页。“附”“录”中间空两格、四号字、黑体、居中。具体打印要求与正文保持一致。
8、文献翻译
译文资料要尽可能与所做课题紧密联系，避免翻译资料选取的随意性，译文不少于5000汉字。外文资料用A4纸复印，译文采用小四号宋体字打印。译文的打印格式除页眉改为“天津科技大学外文资料翻译”外，其它一切格式严格按照毕业论文正文文本格式打印。
1、分节：在目录的最后，用“插入”——“分隔符”——“分节符”，选“下一页”。2、插入罗马字页码：光标放在在封面处，“插入”——“页码”——去掉“首页显示页码”前面的勾，“格式”——“数字格式”，选择罗马数字，在“页码编排”里选择“起始页码”，填“0”。3、插入正文页码：光标放在绪论处，“插入”——“页码”——在“首页显示页码”前面打勾，“格式”——“数字格式”，选择阿拉伯数字。在“页码编排”里选择“起始页码”，填“1”。OK！