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第一页写作者信息（包括作品名称，作者姓名等），第二页先写标题，再写摘要，关键词，然后是正文，结尾注明参考文献。
三个要点：
1、课题要小而集中，要有针对性。
2、见解要真实、独特，有感而发，富有新意。
3、要用自己的语言表述自己要表达的内容。
4、生动形象，把自己对数学的兴趣写出来。
“数学小论文”是让学生以日记的形式描述他们发现的数学问题及其解决，是学生数学学习经历的一种书面写作记录。
它可以是学生对某一个数学问题的理解、评价，可以是数学活动中的真实心态和想法，可以是进行数学综合实践活动遇到的问题，也可以是利用所学的数学知识解决生活中数学问题的经过等。
举例：
《人民币中的数学问题》
有一天，我跟妈妈去逛商场。妈妈进了超市买东西，让我站在付钱的地方等她。我没什么事，就看着营业员阿姨收钱。
看着看着，我忽然发现营业员阿姨收的钱都是1元、5元、10元、20元、50元、100元的，我感到很奇怪：人民币为什么就没有2元、3元、4元、6元、7元、8元、9元或30元、40元、60元呢？
我赶快跑去问妈妈，妈妈鼓励我说：“好好动脑筋想想算算，妈妈相信你能自己弄明白为什么的。”我定下心，仔细地想了起来。
过了一会儿，我高兴地跳了起来：“我知道了，因为只要有1元、5元就可以随意组成2元、3元、4元、6元、7元、8元、9元，只要有10元、20元、50元同样可以组成30元、40元、60元……”
妈妈听了直点头，又向我提了一个问题：“如果只是为了能随意组合的话，那只要1元不就够了吗？干吗还要5元、10元、20元呢？”
我说：“光用1元要组成大一点的数就不方便了呀。”这下妈妈露出了满意的笑容，夸奖我会观察，爱动脑筋，我听了真比吃了我最喜欢吃的冰激凌还要舒服。
论文啊一:标题,包括主标题和副标题.主标题是对你的论点进行提精,而副标题是对主标题辅助行的说明,就象报纸的标题一样,有主副之分,但是一般情况下也可以省略副标题.二:内容摘要,就是对你所写的论文进行概括行的阐述,但是字数要限制在200到250字之间,不能太长也不能太短三:关键词,把你论文中出现频率比较高的词写出来,当然必须与你所论述的内容有关的词,词性不限,个数一般在5-6个左右四:正文,要尽可能详细的论述你的论点,首先你要有个明确的论点,不能写跑了,要紧依你提出的问题展开论述.其中又可细分为三个部分,一是提出问题,就是提出所论述到底是什么内容,要用明确的用词和语气,不能含含糊湖,叫人不清楚.二是分析问题,就是用具有说服力的材料论述你观点的正确行和可信程度,不能想当然的东扯西拉,这样反而会让你的论述的可信下降.三是解决问题,就对你在上步分析问题的基础上提出你的解决办法,就是你的论点以及看法.最后来段结束就更好了
其实，小论文即论文，知识篇幅短，是中学生对论文的初级入门，写论文即可一般格式:⑴题名.是以最恰当,最简明的语词反映论文中最重要的特定内容的逻辑组合,应避免使用的不常见的省略词,首字母缩写字,字符,代号和公式,字数一般不宜超过20个题名用语.⑵作者姓名和单位,两人以上,一般按贡献大小排列名次.①文责自负;②记录成果;③便于检索⑶摘要:是论文的内容不加注释和评论的简短陈述,中文摘要一般不会超过300字,不阅读全文,即可从中获得重要信息.外文250实词.包括:①本研究重要性;②主要研究内容,使用方法;③总研究成果,突出的新见解,阐明最终结论.重点是结果和结论.⑷关键词.是从论文中选取出以表示全文主题内容信息款目的单词或术语,一般3-7个,有专用《主题词表》.⑸引言.回来说明研究工作的目的,范围,相关领域的前,人工作和知识布局,理论基础和分析,研究设想,研究方法,预期结果和意义.⑹正文⑺结论:是指全文最终的,总体的结论,而不是正文中各段小结的简单重复.要求准确,完整,明晰,精练.⑻致谢:是对论文写作有过帮助的人表示谢意,要求态度诚恳,文字简洁.⑼参考文献表(注释),文中直接引用过的各种参考文献,均应开列,格式包括作者,题目和出版事项(出版地,出版社,出版年,起始页码)连续出版物依次注明出版物名称,出版日期和期数,起止页码.⑽附录:在论文中注明附后的文字图表等.
论文格式由题目、摘要、关键词、目录、正文、谢辞、参考文献顺序填写。毕业论文字数根据专业及课题不同要求在8000字以上，论文内容应完整、准确，层次分明，数据可靠，文字简练，分析透彻，推理严谨，立论正确
毕业论文的一般格式
导语：论文格式就是指进行论文写作时的样式要求，以及写作标准。直观地说，论文格式就是论文达到可公之于众的标准样式和内容要求。论文常用来进行科学研究和描述科研成果文章。下面为大家带来了毕业论文的一般格式，欢迎大家阅读参考！
一、论文一般应依次包括下述几部分：
（一）封面。
（二）题目：应准确概括整个论文的核心内容，简明扼要，让人一目了然，一般不宜超过20个字。
（三）中文摘要：内容摘要要求在300字以内。力求用精炼、准确的语言，简要说明本论文的核心内容；在本页的最下方另起一行，注明本文的关键词（3—5个）。
（四）目录：既是论文的提纲，也是论文组成部分的小标题（标题用三号黑体，其余部分用四号宋体）。
（五）正文：是学位论文的主体。另起一页，分为三至四级标题：一级标题用“一、二”表示；二级标题用“（一）、（二）”表示；三级标题用“1、2”表示；四级标题用“（1）、（2）”表示。
（六）参考文献：一篇论文的参考文献是将论文在研究和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾（通篇正文之后）。外文用原文，不必译成中文；文献是期刊时，一般书写格式为：作者、篇名、期刊名、年月、卷号、期数、页码；文献是图书时，一般书写格式为：作者、书名、出版单位、年月、版次、页码；文献来自网络时，一般书写格式为：作者、篇名、频道、网址、年月日。
（七）封底。
二、论文的打印和装订要求？
（一）毕业论文要用A4纸打印。封面统一用我校印制的“自学考试毕业论文”的封面。封面上各栏目必须认真、正确填写。
（二）论文要求字迹和标点符号清楚、工整、正确。
（三）页码：全文要求统一编页，页码从正文页开始采用页脚形式按阿拉伯数字（1，2，3……）居中编排。
（四）正文打印要求：左边距：30mm，右边距：25mm，上边距：30mm，下边距：25mm，页眉边距：23mm，页脚边距：18mm。
（五）论文一律在左侧装订。需打印8—10本。
1 、毕业论文格式
一般说来，一篇毕业论文要具备相对固定的格式。这些提到的毕业论文格式仅供参考。学校有具体规定的，则按规定办。这里以文件中规定的毕业论文格式为准。
①论文题目，有的含副标题。题目之下是作者署名，署名之前或下边一行写作者的校、院、系、年级。
②“摘要”与“关键词”（或称“内容提要”），一般为300字左右。位于作者署名之后，正文之前。关键词，结合标题和正文内容一般选取3至5个。
③引论。用“O”标示，常写作“引言”、“引论”、“绪论”，引言较短时可不标出“O。引言”类小标题。引论的内容一般是交代选题背景，主要有：课题来源，本课题在国内外的研究进展状况。已有的研究成果，存在的问题。选题的意义，讨论的问题。本文分几部分，从哪些方面进行讨论，以及指导思想、论证方法等，均可根据内容的需要写在引论中。
④正论。正论常分几部分写，分别标示“一”“二”“三”“四”等，有的加小标题，或以分论点的形式出现，以凸现论述的观点或主要内容。这部分是对研究过程及分析、归纳、概括的表达，体现出分析方法与思路，充分有力的论证。正论还要体现出明确的指导思想。
⑤结论。一般用“结语”“小结”“余论”等标示。也可不标示“结语”之类的词儿，在正论之后空一行直接写结论或总结。在毕业论文格式中，结论是对整个研究工作的归纳、综合或概括，也可以提出进一步研究的建议。若是在正论之后，对相关联的问题还想简短论述一下，或是对较为重要的问题再说一些想法，可写成“余论”。
⑥毕业论文致谢。接上文另起一段。简述自己撰写毕业论文的体会，并对指导老师以及有关人员表示感谢。“毕业论文致谢”并非形式，也不是走过场，是一个大学生修养的表现。
⑦注释与参考资料。注释专指“本文注”，即作者对论文有关内容所作的解释，一般用脚注（放在本页末）（属毕业论文格式的非必备项）。参考文献专指“引文注”，即作者对引用他人作品的`有关内容所作的说明，在引文结束处右上角用[1][2]等标示，序号与文末参考文献列表一致。同一著作或文章被多次引用时只著录一次。
⑧附录。收录和论文有直接关系的文字材料、图表、数据、试验结果等。中文方面的毕业论文格式中作附录的情况似乎不多见（属毕业论文格式的非必备项）。
以上是一篇毕业论文格式要求，是一般撰写毕业论文必需的表达形式，其中除“注释”和“附录”可有可无外，其他部分的毕业论文格式是必备的。
2、毕业论文格式的其他要求：
①毕业论文的字数要求。一般来说，文学、新闻、历史、哲学等方面的毕业论文在7000字以上，语言方面的论文在6000字左右，也有对函授学员、自考生要求在5000字左右的。我的想法是对字数不去“斤斤计较”，关键是在毕业论文的内容要有创见。一般说来，达到了内容的要求，相应地也会满足字数的要求。
②表述要求。毕业论文是对自己研究成果的详细表述。要求论理正确、论据确凿、逻辑性强、层次分明，表意准确、鲜明，语言通顺、流畅，用规范汉字，不写错别字。一般情况下应采用计算机打印成文，若手抄则要求书写工整。
③修改要求。论文初稿写好后，全文阅读，前后对照，检查论点论据论证和词句运用，修改好了之后，搁置几天或者一两周，再来挑毛病，经过多次修改、加工、润色，最后在老师指导下定稿。
论文的排版格式规范化要求1、版面尺寸: a4 (210×297毫米)。2、装订位置:左面竖装，装订位置距左边界0毫米。3、版芯位置(正文位置)︰按照a4纸张默认格式。4、页码:采用页脚方式设定，采用五号time new roman，处于页面下方、居中。5、论文题目:三号黑体，居中。6、作者:论文题目下隔一行，居中，采用小四号仿宋体，7、中文摘要和中文关键词:用五号仿宋体、两端对齐方式排列。8、正文文本:宋体小四号、标准字间距、行间距为1。25倍行距、所有标点符号采用宋体全角、英文字母和阿拉伯数字采用半角的要求排版，采用多级符号版式。如:一级标题用阿拉伯数字(1、2、3....）”标引，采用四号黑体并缩进4个字符排列;二级标题缩进4个字符并用阿拉伯数字(、、.....）标引，字体采用小四号黑体。9、文中图表∶所涉及到的全部图、表，不论计算机绘制还是手工绘制，都应规范化，符号、代号符合国家标准，中科知库上传的论文就挺不错的，字体大小与正文协调，手工绘制的要用绘图笔，图表名称和编号准确无误。10、参考文献:位于正文结尾后下隔2行，“参考文献”四字左对齐，采用宋体小四号加粗;具体参考文献目录按五号宋体、靠左对齐、阿拉伯数字标引序号([1]、[2]…....”的方式排列。
题目要有概括性，摘要的语言要精炼，论文格式标准：题目要有概括性，字数不可以超过20个字；摘要的语言要精炼，字数不可以超过200个字； 扩展资料 论文格式标准：题目要有概括性，字数不可以超过20个字；摘要的`语言要精炼，字数不可以超过200个字；3-5个关键词；写出目录；正文的字数要超过3000字；参考文献等。
论文最好能建立在平日比较注意探索的问题的基础上，写论文主要是反映学生对问题的思考， 以下就是提供的标准论文格式要求。（一）标题论文（设计）标题应简短、明白，把毕业论文的内容、专业特性概括出来。标题主标题字数普通不宜超越20个字，能够设副标题。主标题用宋体三号字加粗；副标题用宋体小三号字，均在文本居中位置。（二）摘要及关键词（中文在前，英文在后）论文摘要字数要恰当，中文摘要普通以300字左右为宜，“中文摘要”字样为黑体四号字，居中格式。另起一行打印摘要内容。关键词是反映论文（设计）主题概念的词或词组，普通每篇可选3～5个，多个关键词之间用分号分隔。摘要内容和关键词与正文字体字号相同，均为宋体小四号字，行距为倍，但“关键词”三个字字样要加黑，其后要加冒号，左对齐。另起一页打印英文摘要和关键词，英文摘要的内容应与中文摘要相符，普通以200个英文单词左右为宜。空一行后打印英文标题，再空一行居中位置打印四号加黑“ABSTRACT”字样，另起一行小四号打英文摘要。运用的英文应该精确、通畅。“Key Words”加黑并加冒号，左对齐，多个关键词之间用分号分隔。英文全部采用Times New Roman字体。（三）正文毕业论文正文中各级标题次第为：一、（一）、1、（1）、①。毕业设计可采用下列标题次第：1、、、①。一级标题即“一”用四号黑体打印，每一局部完毕后另起一页开端下一局部。正文内小标题力图简短、明白，题末不用标点符号。。二级标题（一）用黑体小四号字。三级标题1后用点“.”，宋体小四号字加黑。四级标题（1），字体字号同正文，为宋体小四号字，行距为倍。文中如有插图和照片，应比例恰当，分明美观；插图应标明图序和图题，序号和图题之间空一格；图序以阿拉伯数字连续编号，图题普通居中位于图的下方。文中如有表格，应构造简约，表格应有表序和表题。序号和表题居中位于表格上方，两者之间空一格。表序以阿拉伯数字连续编号。假如表格援用别处，要注明表格的出处和相关信息。文中一行不占页，一字不占行。（四）注释毕业论文注释统一采用页下注的方式，在所需援用或注释处用上标①、②、③……表示，注释内容包括作者、出处、出版年份、页码等信息。注释也可是解释性语句。一切注释采用小五号宋体。（五）参考文献按正文参考文献呈现的先后次第用阿拉伯数字在方括号中连续编号。文献中假如有三位以上作者时，只罗列前三位作者，中间以逗号隔开，其他以“等”字表示。在正文后另起一页采用四号黑体打印“参考文献”四字，空一行，采用小四号宋体打印参考文献的内容。“参考文献”字样和内容均采取左对齐格式。每篇论文的参考文献不得少于15条，要注重文献的时效性和权威性。（六）页眉论文的页眉内容为论文标题，宋体小五号字，居中。（七）附录（必要时可加，不用要时，无需附录）关于一些不宜放在正文中，但又具有参考价值的内容能够编入毕业论文（设计）的附录中。依照文中呈现的次第依次列出附录的内容。（八）页码论文页码一概采用页下居中方式。正文前的目录和摘要局部单独编排页码，页码采用罗马文字“Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ”等标示，正文独立编排页码，用阿拉伯数字“1、2、3、4、5……”等标志。（九）电子文档请求毕业论文的电子文档，学生应存成以学号和姓名为名字的.doc文件，如一个学生学号035272001叫王波的学生，其文件名为035272001王波.doc。
1.用WPS打开你所好的Word文档。02.点击左上角的插入，找到右边的页眉和页脚，点击页眉页脚，文档上下方会出现页眉页脚的编辑区域。03.点击左上角的页眉页脚选项，把奇偶页不同、显示奇数页页眉横线、显示偶数页页眉横线前面都打上勾，如下图所示：04，现在分别对页眉页脚进行编辑，先设置页脚，点击首页页脚的插入页码。05，分别选择页码样式、位置、应用范围，并勾选重新开始编号，起始值设为1。06，页脚设置成功。07：首先我们学习一下页眉的格式：1.页眉位置距中；2.不同章节奇数页的页眉不同，论文中每个章节的页眉是你的论文该章节的标题。（比如你的论文有四个章节，第一章为序言，第二章为研究概况，第三章为研究内容，第四章为结论展望，那么论文中绪论所在部分的奇数页页眉就是“绪论”；论文中研究概况所在部分的奇数页的页眉就是“研究概况”，其他以此类推）3.偶数页页眉的内容都是你论文的题目。08，现在开始设置页眉，把鼠标光标移到论文正文首页页眉位置，此处填写你的论文第一章的标题，如图所示：（从正文开始设置）09，正文第一页的页眉设置好了以后关闭页眉页脚设置。10，把鼠标光标移到刚才编辑页眉的那一页的最下方，点击插入，点击分页，选择下一页分页符。11，此时回到下一页的页眉设置，取消同前节，只要点击一下同前节就可以取消了，然后在页眉编辑区域输入论文的题目。12，关闭页眉设置，移动鼠标光标到该页的最下方，点击插入下一页分页符，在回到下一页（奇数页）的页眉编辑区域，输入该章节的标题。13，以后每一页的页眉设置与以上内容相雷同，需要注意的是：1.每一页编辑好页眉后，在该页的下方插入分页符（下一页分页符）；2.偶数页的页眉相同，为论文题目；3.不同章节奇数页的页眉不同，论文中每个章节的页眉是你的论文该章节的标题。4.编辑好后注意检查页眉页脚是否出错，出错后及时修改。
01论文格式主要包含前置部分：封面、授权书、摘要和目录，主体部分：引言、正文、结语和参考文献，附录部分：附录、后记和学术成果。每个学校要求不同，有的附录部分是可以不要的。02论文封面：需要表达出论文的主题，作者，学号，级别，专业名称等等。03题目：应简洁、明确、有概括性，字数不宜超过20个字。1、中文主标题格式：可选用本模板中的样式所定义的“论文中文主标题”，或手动设置（黑体，三号，居中，段前1行、段后0行，单倍行距）。2、中文副标题格式：可选用本模板中的样式所定义的“论文中文副标题”，或手动设置（楷体_GB2312，四号，居中，段前行，段后0行，单倍行距）。3、中文标题下空一行为摘要。“摘要：”格式：首行缩进2字符，黑体，小四。“摘要：”后紧接摘要正文。字数在200字左右。04摘要：摘要写作要求，摘要的内容要包括研究的目的、方法、结果和结论。计量单位一律换算成国际标准计量单位。除特殊情况外，数字一律用阿拉伯数字。中、英文摘要的内容应严格一致。中文摘要，中文摘要前打印毕业论文（毕业设计）的标题。主标题一般不超过20个汉字。如有副标题，应另起一行（副标题前加破折号），副标题（包括破折号在内）同样不得超过20个汉字。中文摘要正文格式：可选用本模板中的样式所定义的“中文摘要正文”，或手动设置（楷体_GB2312，小四，行距为固定值20磅）。中文摘要正文后空一行，另起一行列出3－5个关键词。“关键词：”格式：首行缩进2字符，黑体，小四。“关键词：”后紧接关键词。关键词之间用分号间隔，最后一个关键词末尾不加标点。中文关键词格式：楷体_GB2312，小四，行距为固定值20磅。05英文摘要：中文关键词下空两行打印毕业论文（毕业设计）的英文标题。英文主标题首字母大写，标题中其他单词实词首字母大写，其他均为小写。1、英文主标题格式：可选用本模板中的样式所定义的“论文英文主标题”，或手动设置（Times New Roman，四号，加粗，居中，段前段后均为0行，单倍行距）。2、英文副标题格式：可选用本模板中的样式所定义的“论文英文副标题”，或手动设置（Times New Roman，小四，加粗，居中，段前行，段后0行，单倍行距）。3、英文标题下空一行为英文摘要。“Abstract：”格式：首行缩进2字符，Times New Roman，小四，加粗。“Abstract：”后紧接英文摘要正文。4、英文摘要正文格式：可选用本模板中的样式所定义的“英文摘要正文”；或手动设置（Times New Roman，小四，行距为固定值20磅）。5、英文摘要后空一行，另起一行列出英文关键词。“Key words：”格式：首行缩进2字符，Times New Roman，小四，加粗。“Key words：”后紧接英文关键词。关键词之间用分号间隔，最后一个末尾不加标点。英文关键词全部小写。6、英文关键词格式：Times New Roman，小四，行距为固定值20磅。06目录：写出目录，标明页码。目录需要黑体加粗的三号。07论文格式基本要求论文正文格式可选用本模板中的样式所定义的“正文”，每段首行缩进2字符。纸 型：A4纸，单面打印。页边距：上，下，左、右。页 眉：，页脚：2cm，左侧装订。字 体：正文全部宋体、小四。间 距：段前、段后均为0行，固定行距20磅，取消网格对齐选项。引言：从引言开始，是正文的起始页，页码从1开始编排。引言包含的内容：说明论文的主题和选题的范围；对本论文研究主要范围内已有文献的评述；说明本论文所要解决的问题等。注意不要与摘要内容雷同。引言部分应明确标注出同行相近的和已取得的成果，避免抄袭之嫌。建议与相关历史回顾、前人工作的文献评论、理论分析等相结合。标题“引 言”格式：选用本模板中的样式所定义的“标题1”。引言正文格式：可选用本模板中的样式所定义的“正文”，或者手动设置（对齐方式：每段落首行缩进2字符；字体：宋体；字号：小四；间距：段前、段后均为0行；固定行距20磅；取消网格对齐选项）。08论文正文格式：可选用本模板中的样式所定义的“正文”，或者手动设置（对齐方式：每段首行缩进2字符；字体：宋体；字号：小四；间距：前段、后段均为0行，固定行距20磅，取消网格对齐选项）。章节标题格式：1．每章的章标题选用本模板中的样式所定义的“标题1”，居中，或者手动设置（对齐：居中；字体：黑体；字号：三号；间距：段前、段后各1行，单倍行距）。章序号为阿拉伯数字。在输入章标题之后，按回车键，即可直接输入每章正文。2．每节的节标题选用本模板中的样式所定义的“标题2”，左对齐；或者手动设置（对齐：左对齐；字体：黑体；字号：四号；间距：段前、段后各1行，单倍行距。3．节中的一级标题选用本模板中的样式所定义的“标题3”，左对齐；或者手动设置（对齐：左对齐；字体：黑体；字号：小四；间距：段前、段后各1行，单倍行距）。各章之间的衔接设置各章之间应留1行的间隔（前一章结束后空1行，打印后一章标题及正文）。09正文页眉页脚（页码）的编排页眉：宋体，五号，居中。页脚（页码）：页码标注在每页页脚底部居中位置。中英文摘要、目录等前置部分，用罗马数字单独编排页码。正文页码从引言首页开始，用从1开始的阿拉伯数字连续编写。10结语：写明你本次论文的通过论证结论是什么，总结下本次论文。参考文献：正文中参考文献的标注，一律采用顺序编码制。引用的文献用加方括号的阿拉伯数字（按顺序），以右上角标形式标注在引用处。按正文中引用的文献出现的先后顺序连续编码，并将序号置于方括号中。同一处引用多篇文献时，只需将各篇文献的序号在方括号内全部列出，各序号间用“，” 。 如遇连续序号，可标注起讫序号。多次引用同一著者的同一文献时，在正文中标注首次引用的文献序号，并在序号的“[ ]”外著录引文页码。文后参考文献著录项目与著录格式作者一律姓前名后（外文作者名应缩写），作者间用“,”间隔。作者少于3人的应全部列出，3人以上的列出前3人，后加“等”（用于中文文献）或“et al”（用于英文文献）。11谢辞：简述本身通过做毕业论文的体会，并应对指导教师和协助完成论文的有关人员表示谢意。 12毕业论文装订存档要求毕业论文按以下顺序侧面用铁质装订夹装订归档：封面→中摘要→关键词→目录→正文→谢辞→参考文献→注释→附录→外文资料及译文→毕业论文成绩评定表。
论文格式具体要求题目：简洁明了能够准确概括论文的文章内容。字体：黑体小一号，加粗并居中摘要：字数大概在300字左右就行了，需要用第三人称来简短明确的交代论文的背景以及该论文的所做的研究，或者将研究内容讲清楚即可。字体：黑体小二号关键词：关键词主要是针对于读者在搜索的过程中，可以快速的找到相关内容及资料，而且关键词要是论文的中心内容，所以该部分一般为3-8个词。字体：宋体四号，每个词之间用空格或者分号隔开。正文：这个是占据整个论文最多，也是最难下手的地方。大部分论文都是分为几个观点展开讨论的，所以格式也复杂一些。字体：章标题：黑体小二号，加粗并居中;小节标题：黑体小三号，加粗并居中;一级序号标题：黑体四号标题，加粗并顶格;二级序号标题：宋体小四号，不加粗并顶格;剩下的标题都为宋体小四号，不加粗并缩进两字。参考文献：要如实列举出论文中所参照或者是借用观点的相关文献，也有助于读者可以更方便的找到该文字或语句的出处，从而读者也可以去阅读该文献，并在相关知识上得到更深层的了解。每篇论文一般都要有8-15篇的参考文献。字体：“参考文献”用黑体五号，加粗;文献名及序号用宋体五号，并序号要求用“[1]、[2]”这种类型的。总结：在论文的不同部分，所用的字体以及大小也会有相应的变化，所以在写的时候要注意具体的格式要求。
需要联系同学原，创，查，重
1、题目。应能概括整个论文最重要的内容，言简意赅，引人注目，一般不宜超过20个字。 论文摘要和关键词。
2、论文摘要应阐述学位论文的主要观点。说明本论文的目的、研究方法、成果和结论。尽可能保留原论文的基本信息，突出论文的创造性成果和新见解。而不应是各章节标题的简单罗列。摘要以500字左右为宜。
关键词是能反映论文主旨最关键的词句，一般3-5个。
3、目录。既是论文的提纲，也是论文组成部分的小标题，应标注相应页码。
4、引言（或序言）。内容应包括本研究领域的国内外现状，本论文所要解决的问题及这项研究工作在经济建设、科技进步和社会发展等方面的理论意义与实用价值。
5、正文。是毕业论文的主体。
扩展资料
撰写毕业论文的过程是训练学生独立进行科学研究的过程。通过撰写毕业论文，可以使学生了解科学研究的过程，掌握如何收集、整理和利用材料；如何观察、如何调查、作样本分析；如何利用图书馆，检索文献资料；如何操作仪器等方法。
撰写毕业论文是学习如何进行科学研究的一个极好的机会，因为它不仅有教师的指导与传授，可以减少摸索中的一些失误，少走弯路，而且直接参与和亲身体验了科学研究工作的全过程及其各环节，是一次系统的、全面的实践机会。
撰写毕业论文的过程，同时也是专业知识的学习过程，而且是更生动、更切实、更深入的专业知识的学习。首先，撰写论文是结合科研课题，把学过的专业知识运用于实际，在理论和实际结合过程中进一步消化、加深和巩固所学的专业知识，并把所学的专业知识转化为分析和解决问题的能力。
论文的标准格式和字号要求一、封面题目：小二号黑体加粗居中。各项内容：四号宋体居中。二、目录目录：二号黑体加粗居中。章节条目：五号宋体。行距：单倍行距。三、论文题目： 小一号黑体加粗居中。四、中文摘要1、摘要：小二号黑体加粗居中。2、摘要内容字体：小四号宋体。3、字数：300字左右。4、行距：20磅5、关键词： 四号宋体，加粗。 词3-5个，每个词间空一格。五、英文摘要1、ABSTRACT：小二号 Times New 、内容字体：小四号 Times New 、单倍行距。4、Keywords： 四号 加粗。 词3-5个，小四号 Times New Roman. 词间空一格。六、绪论 小二号黑体加粗居中。内容500字左右，小四号宋体，行距：20磅七、正文(一)正文用小四号宋体(二)安保、管理类毕业论文各章节按照一、二、三、四、五级标题序号字体格式章：标题 小二号黑体，加粗，居中。节：标题 小三号黑体，加粗，居中。一级标题序号 如：一、二、三、 标题四号黑体，加粗，顶格。二级标题序号 如：(一)(二)(三) 标题小四号宋体，不加粗，顶格。三级标题序号 如：. 标题小四号宋体，不加粗，缩进二个字。四级标题序号 如：(1)(2)(3) 标题小四号宋体，不加粗，缩进二个字。五级标题序号 如：①②③ 标题小四号宋体，不加粗，缩进二个字。医学、体育类毕业论文各章序号用阿拉伯数字编码，层次格式为：1××××(小2号黑体，居中)××××××××××××××(内容用4号宋体)。××××(3号黑体，居左)×××××××××××××(内容用4号宋体)。××××(小3号黑体，居左)××××××××××××××××××××(内容用4号宋体)。①××××(用与内容同样大小的宋体)a.××××(用与内容同样大小的宋体)(三)表格每个表格应有自己的表序和表题，表序和表题应写在表格上方正中。表序后空一格书写表题。表格允许下页接续写，表题可省略，表头应重复写，并在右上方写“续表××”。(四)插图每幅图应有图序和图题，图序和图题应放在图位下方居中处。图应在描图纸或在洁白纸上用墨线绘成，也可以用计算机绘图。(五)论文中的图、表、公式、算式等，一律用阿拉伯数字分别依序连编编排序号。序号分章依序编码，其标注形式应便于互相区别，可分别为：图、表、公式()等。文中的阿拉伯数字一律用半角标示。八、结束语 小二号黑体加粗居中。内容300字左右，小四号宋体，行距：20磅。九、致谢 小二号黑体加粗居中。内容小四号宋体，行距：20磅十、参考文献(一)小二号黑体加粗居中。内容8—10篇， 五号宋体， 行距：20磅。参考文献以文献在整个论文中出现的次序用[1]、[2]、[3]……形式统一排序、依次列出。(二)参考文献的格式：著作：[序号]作者.译者.书名.版本.出版地.出版社.出版时间.引用部分起止页期刊：[序号]作者.译者.文章题目.期刊名.年份.卷号(期数). 引用部分起止页会议论文集：[序号]作者.译者.文章名.文集名 .会址.开会年.出版地.出版者.出版时间.引用部分起止页十一、附录(可略去)小二号黑体加粗居中。 英文内容小四号 Times New Roman. 单倍行距。翻译成中文字数不少于500字 内容五号宋体，行距：20磅。十二、提示论文用A4纸纵向单面打印。页边距设置：上，下，左，右。
第一次数学危机是无理数的诞生，发现根号2不能写成两个整数相除，最终无理数被纳入了实数范围第二次数学危机源于微积分工具的使用，由于定义不严格，无穷小量这些概念引起争论，最终建立了实数理论，极限理论，使得数学分析有了严格基础第三次数学危机关于集合论，即著名的罗素悖论，集合的定义收到了攻击。最终通过不同的公理化系统解决，使数理逻辑等学科得到发展希望对你有帮助！
数学史上出现的三次数学危机,与其说是“数学的危机”,不如说是“数学哲学的危机”.下面我给你分享三次数学危机论文，欢迎阅读。
摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
关键词：危机;万物皆数;无穷小;分析方法;集合
一、前言
数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生;第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题;第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产生与发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
二、数学史上的第一次“危机”
第一次数学危机是发生在公元前580-568年之间的古希腊。那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物旨数”。所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。在那个时期。上述思想是绝对权威、是“真理”。但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数!另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。
三、第二次数学危机
第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后。牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地――微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
四、数学史上的第三次危机
1.悖论的产生及意义
(1)什么是悖论
悖论来自希腊语，意思是“多想一想”。这个次的意义比较丰富，它包括一切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立;反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出原命题成立。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的;如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，他们震撼了逻辑学和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
(2)悖论产生的意义
疏忽学悖论是在数学学科理论体系发展到相当高的阶段才出现的。它是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示。虽然暂时引起人们的思想混乱，对正常的科学研究可能会形成一定的冲击，但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾，对于揭露原有理论的缺陷或局限性，对于这一步深入理解，任何和评价原有科学理念，对于原有的科学概念或理论的进一步充实完善和促进科学管理的产生都有相当重要的意义，同时也为科学研究提供新的课题和研究方向。
2.第三次数学危机的产生与解决
(1)第三次数学危机的产生
第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。
罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢?这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。
(2)第三次数学危机的解决
罗素的悖论产生后，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓zF公理系统)，这场数学危机到此缓和下来。
现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。
三次数学危机是我们数学史发展中的一个奠基，他为我们日后更详细、深入的研究数学做了很好的铺垫，我我想以后也许会有第四次数学危机，但数学家也会把它化解掉，只有出现危机，才能使我们的数学研究达到更高的境界。
数学的产生和发展，始终与人类社会的生产和生活有着密不可分的联系。在新教材中，任何一个新概念的引入，都特别强调它的现实背景、数学理论发展背景或数学发展的历史背景，只有这样才能让学生感到知识发展水到渠成。所以特别希望在教学中能不时渗透数学史的相关知识，充分发挥和利用数学史的教育价值，使学生通过了解数学史，而更加全面更加深刻地理解数学、感悟数学。
一、集合论的诞生
一般认为，集合论诞生于1873年底。1873年11月29日，康托尔(，1845-1918)在给戴德金(JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916)的信中提问“正整数集合与实数集合之间能否一一对应起来?”这是一个导致集合论产生的大问题。几天后，康托尔用反证法证明了此问题的否定性结果，“实数是不可数集”，并将这一结果以标题为《关于全体实代数数集合的一个性质》的论文发表在德国《克莱尔数学杂志》上，这是“关于无穷集合论的第一篇革命性论文”，在其系列论文中，他首次定义了集合、无穷集合、导集、序数、集合运算等，康托尔的这篇文章标志着集合论的诞生。
二、集合论成为现代数学大厦的基础
康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论，他处理了数学上最棘手的对象——无穷集合，让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神家园。它的概念和方法渗透到了代数、拓扑和分析等许多数学分支，甚至渗透到物理学等其他自然学科，为这些学科提供了奠基的方法。几乎可以说，没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。
集合论诞生的前后20年里，经历千辛万苦，但最终获得了世界的承认，到了20世纪初，集合论已经得到数学家们的普遍赞同，大家一致认为，一切数学成果都可以建立在集合论的基础之上了，简言之，借助集合论的概念，便可以建立起整个数学大厦，就连集合论诞生之初强烈反对的著名数学家庞加莱(JulesHenriPoincaré，1854-1912)也兴高采烈地在1900年的第二次国际数学家大会上宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了。”然而，好景不长，一个震惊数学界的消息传出，集合论是有漏洞的!如果是这样，则意味着数学大厦的基础出现了漏洞，对数学界来说，这将是多么可怕啊!
三、罗素(BertrandRussell，1872-1970)悖论导致第三次数学危机
1903年，英国数学家罗素在《数学原理》一书上给出一个悖论，很清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础，导致了数学危机的产生，史称“第三次数学危机”。
罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R，现在问R是否属于R?如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不属于自身，即R不属于R。另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R，这样，不论任何情况都存在矛盾，这就是有名的罗素悖论(也称理发师悖论)。
罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础，也波及到了逻辑领域，德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时，收到了罗素关于这一悖论的信，他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟，他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”这样，罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科——数学和逻辑学。
四、消除悖论，化解危机
罗素悖论的存在，明确地表示集合论的某些地方是有毛病的，由于20世纪的数学是建立在集合论上的，因此，许多数学家开始致力于消除矛盾，化解危机。数学家纷纷提出自己的解决方案，希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。
在20世纪初，大概有两种方法。一种是1908年由数学家策梅洛(Zermelo，ErnstFriedrichFerdinand，1871～1953)提出的公理化集合论，把原来直观的集合概念建立在严格的公理基础上，对集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，从而避免悖论的出现，这就是集合论发展的第二阶段：公理化集合。
解铃还须系铃人，在此之前，危机的制造者罗素在他的著作中提出了层次的理论以解决这个矛盾，又称分支类型化。不过这个层次理论十分复杂，而策梅洛则把这个方法加以简化，提出了“决定性公理(外延公理)、初等集合公理、分离公理组、幂集合公理、并集合公理、选择公理和无穷公理”，通过引进这七条公理限制排除了一些不适当的集合，从而消除了罗素悖论产生的条件。后来，策梅洛的公理系统又经其他人，特别是弗兰克尔()和斯科伦()的修正和补充，成为现代标准的“策梅洛——弗兰克尔公理系统(简称ZF系统)”，这样，数学又回到严谨和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支——《基础数学》迅速发展。
五、危机的启示
从康托尔集合论的提出至今，时间已经过去了一百多年，数学又发生了巨大的变化，而这一切都与康托尔的开拓性工作密不可分，也和数学家们的艰辛努力密不可分。从危机的产生到解决，我们可以看到，数学的发展跟提出问题和面对困难是离不开的，期间要经历无数的挫折和失败，但是只要坚持，终会走向成功。
矛盾的消除，危机的化解，往往给数学带来新的内容，新的变化，甚至革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史性动力的基本原理。正如数学家克莱因(FelixChristianKlein1849-1925)在《数学——确定性丧失》中说：“与未来的数学相关的不确定性和可疑，将取代过去的确定性和自满，虽然这次悖论已经找到解释，危机也已化解，但是更多的还是未知，因为只要仔细分析，矛盾又将会被认识更为深刻的研究者发现，这种发现不应该被认为是‘危机’，而应该感到，下一个突破的机会来到了。”
参考文献：
1.《普通高中课程标准实验教科书——数学必修1》教师教学用，人民教育出版社
2.胡作玄，《第三次数学危机》
中华人民共和国的诞生，为中国数千年的文明史揭开了新的篇章，我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象，以下是我搜集的一篇关于三次数学危机探讨的论文范文，供大家阅读参考，
从我国数学的发展看三次数学危机。
1 引言
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
2 三次数学危机
第一次数学危机发生在古希腊，源于毕达哥拉斯的以数为基础的宇宙模型和数是可公度的信条。毕达哥拉斯认为，事物的本质是由数构成的，并以数为基础，构造了宇宙模型[1].在毕达哥拉斯看来，数就是整数或整数之比。但这一信条后来遇到了困难。因为有些数是不可公度的。这一矛盾，导致了毕达哥拉斯关于数的信条的破产，并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产。这在当时产生的震动太大了，因此历史上称之为第一次数学危机。
17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机[2].在17世纪晚期，形成了微积分学。牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微积分，有明确的计算步骤，微分法和积分法互为逆运算[3].由于新诞生的微积分方法中隐含着逻辑推理上的严重缺陷，导致了无穷小悖论[4].当时牛顿等人不能自圆其说，而且，其后一百年间的数学家也未能有力的回答贝克莱的质问，由此而引起数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次数学危机.
19世纪末分析严格化的最高成就--集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学大会上宣称：现在我们可以说，完全的严格性已经达到了![5]但就在第二年，一场摇撼整个数学大厦基础的暴风雨来临了，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论。他把关于集合论的一个着名悖论用故事通俗地表述出来。
它和其它一些集合论悖论一样，对数学发展的影响是十分深刻、巨大的，甚至可以说是动摇了整个数学的基础，并导致了第三次数学危机。
3 从我国数学的发展看三次数学危机
中华人民共和国的诞生，为中国数千年的文明史揭开了新的篇章，我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象，这是我们国家社会主义建设的需要，也是我们党和国家非常重视科学技术的结果，
数学论文《从我国数学的发展看三次数学危机。中国科学院于1950年开始筹建数学研究所，1952年正式成立。全国各高等院校普遍设置了数学系，《数学学报》和《数学通报》复刊。1958年~1960年的大跃进时期，在极左思潮影响下，数学基础理论研究受到很大冲击，积极的一面是明确了向世界先进水平看齐的奋斗目标，也重视理论联系实际，线性规划得到大力推广并创造了切实可行的图上作业法,运筹学由此在我国发展起来。在发展我国高科技过程中，例如1965年9月17日，我国科学工作者在世界上首次用人工方法合成结晶牛胰岛素。
我们不能不承认，数学对于现实生活的影晌正在与日俱增。许多学科都在悄悄地经历着一场数学化的进程。现在，已经没有哪个领域能够抵御得住数学方法的渗透。因此，对于数学，特别是现代数学加以普及，使得数学和数学家的工作能对现实生活产生应有的积极影响，这已成为人们日益重视的课题。
4 总结
综上所述三次数学危机对数学的发展影响是巨大的。第一次数学危机中产生的欧几里德几何对树立天文学的发展起了很大的推动作用，第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化，使古希腊的数学基础转向几何。第二次数学危机中波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西指出无穷小量和无穷大量都是变量，并且定义了导数和积分;狄利克雷给出了函数的现代定义;美国数理逻辑学家罗宾逊又利用无穷小量引进超实数的概念，建立了非标准分析，同样也能精确的描述微积分，解决无穷小悖论。第三次数学危机建立了实数理论，且在此基础上建立了极限的基本定理，使数学分析建立在实数理论的严格基础之上，康托尔创立了集合论。而且还产生了公理化方法论和数理逻辑等一批新颖学科。我国以至世界各国的数学发展也都依赖于三次数学危机中产生的数学的新内容。整个数学的发展是一个层层深入、层层递进的过程。
参考文献：
[1]人民教育出版社中学数学室着.现代数学概论[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]张光远.现代化知识文库：二十世纪数学史话[M].知识出版社，
[3]袁小明.数学史话[M].山东教育出版社，1985.
[4]于寅.近代数学基础[M].华中理工大学出版社，.
一、第一次数学危机
从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”（指整数），数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
二、第二次数学危机
十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
三、第三次数学危机
数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。